4.4: Автономні рівняння другого порядку
- Page ID
- 62238
Диференціальне рівняння другого порядку, яке можна записати як
\[\label{eq:4.4.1} y''=F(y,y')\]
де\(F\) незалежний від\(t\), як кажуть, автономний. Автономне рівняння другого порядку може бути перетворено в рівняння першого порядку, що стосується\(v=y'\) і\(y\). Якщо ми дозволимо\(v=y'\), рівняння\ ref {eq:4.4.1} стає
\[\label{eq:4.4.2} v'=F(y,v).\]
Так як
\[\label{eq:4.4.3} v'={dv\over dt}={dv\over dy}{dy\over dt}=v{dv\over dy},\]
Рівняння\ ref {eq:4.4.2} можна переписати як
\[\label{eq:4.4.4} v{dv\over dy}=F(y,v).\]
Інтегральні криві рівняння\ ref {eq:4.4.4} можуть бути побудовані в\((y,v)\) площині, яка називається фазовою площиною Пуанкаре рівняння\ ref {eq:4.4.1}. Якщо\(y\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:4.4.1} то\(y=y(t), v=y'(t)\) параметричне рівняння для інтегральної кривої Рівняння\ ref {eq:4.4.4}. Ми назвемо ці інтегральні криві траєкторії рівняння\ ref {eq:4.4.1}, і ми будемо називати рівняння\ ref {eq:4.4.4} еквівалент фазової площини рівняння\ ref {eq:4.4.1}.
У цьому розділі ми розглянемо автономні рівняння, які можна записати як
\[\label{eq:4.4.5} y''+q(y,y')y'+p(y)=0.\]
Рівняння цієї форми часто виникають у додатках другого закону руху Ньютона. Наприклад,\(y\) припустимо зміщення рухомого об'єкта з масою\(m\). Розумно думати про два типи незалежних від часу сил, що діють на об'єкт. Один тип - такий, як гравітація - залежить тільки від положення. Ми могли б написати таку силу, як\(-mp(y)\). Другий тип - такий, як атмосферний опір або тертя - може залежати від положення і швидкості. (Сили, що залежать від швидкості, називаються демпфуючими силами.) Ми пишемо цю силу як\(-mq(y,y')y'\), де\(q(y,y')\) зазвичай позитивна функція, і ми поставили фактор\(y'\) зовні, щоб зробити його явним, що сила знаходиться в напрямку, протилежному руху. У цьому випадку другий закон руху Ньютона призводить до Equation\ ref {eq:4.4.5}.
Еквівалент фазової площини рівняння\ ref {eq:4.4.5} дорівнює
\[\label{eq:4.4.6} v{dv\over dy}+q(y,v)v+p(y)=0.\]
Деякі твердження, які ми будемо робити щодо властивостей Equation\ ref {eq:4.4.5} і Equation\ ref {eq:4.4.6}, інтуїтивно обґрунтовані, але важко довести. Тому наша презентація в цьому розділі буде неформальною: ми просто скажемо речі без доказів, все це вірно, якщо припустити, що\(p=p(y)\) це постійно диференціюється для всіх\(y\) і\(q=q(y,v)\) постійно диференціюється для всіх\((y,v)\). Почнемо з наступних тверджень:
- Заява 1: Якщо\(y_0\) і\(v_0\) є довільними дійсними числами, то Рівняння\(\ref{eq:4.4.5}\) має унікальне рішення на\((-\infty,\infty)\) такі, що\(y(0)=y_0\) і\(y'(0)=v_0\).
- Заява 2: Якщо\(y=y(t)\) є розв'язком Рівняння\(\ref{eq:4.4.5}\) і\(\tau\) є будь-якою постійною, то\(y_1=y(t-\tau)\) це також рішення Рівняння\(\ref{eq:4.4.5}\),\(y\) і\(y_1\) мають однакову траєкторію.
- Заява 3: Якщо два\(y_1\) розв'язки\(y\) і Рівняння\(\ref{eq:4.4.5}\) мають однакову траєкторію, то\(y_1(t)=y(t-\tau)\) для деякої константи\(\tau\).
- Твердження 4: Різні траєкторії рівняння\(\ref{eq:4.4.5}\) не можуть перетинатися; тобто, якщо дві траєкторії рівняння\(\ref{eq:4.4.5}\) перетинаються, вони ідентичні.
- Заява 5: Якщо траєкторія розв'язку Рівняння\ ref {eq:4.4.5} є замкнутою кривою, то\((y(t),v(t))\) траєкторію проходить за скінченний час\(T\), а рішення є періодичним з періодом\(T\); тобто\(y(t+T)=y(t)\) для всіх\(t\) в\((-\infty,\infty)\).
Якщо константа\(\overline y\) така, що\(p(\overline y)=0\) тоді\(y\equiv\overline y\) є постійним розв'язком Рівняння\ ref {eq:4.4.5}. Ми говоримо,\(\overline y\) що рівновага рівняння\ ref {eq:4.4.5} і\((\overline y,0)\) є критичною точкою рівняння еквівалентного рівняння фазової площини\ ref {eq:4.4.6}. Ми говоримо, що рівновага і критична точка є стабільними, якщо для будь-якого даного\(\epsilon>0\) незалежно від того, наскільки малий, є\(\delta>0\), досить малий, такий, що якщо
\[\sqrt{(y_0-\overline y)^2+v_0^2}<\delta \nonumber\]
потім рішення початкової задачі значення
\[y''+q(y,y')y'+p(y)=0,\quad y(0)=y_0,\quad y'(0)=v_0 \nonumber\]
задовольняє нерівність
\[\sqrt{(y(t)-\overline y)^2+(v(t))^2}<\epsilon \nonumber\]
для всіх\(t>0\). Рисунок Template:index ілюструє геометричну інтерпретацію цього визначення у фазовій площині Пуанкаре: якщо\((y_0,v_0)\) знаходиться в меншому затіненому колі (з радіусом\(\delta\)), то\((y(t),v(t))\) має бути в більшому колі (з радіусом\(\epsilon\)) для всіх\(t>0\).
Якщо рівновага і пов'язана з нею критична точка не стабільні, ми говоримо, що вони нестабільні. Щоб побачити, чи дійсно ви розумієте, що означає стабільний, спробуйте дати пряме визначення unstable (Вправа 4.4.22). обидва визначення ми проілюструємо в наступних прикладах.
Незатухаючий корпус
Ми почнемо з випадку\(q\equiv0\), коли, так Equation\ ref {eq:4.4.5} зводиться до
\[\label{eq:4.4.7} y''+p(y)=0.\]
Ми говоримо, що це рівняння - як і будь-яка фізична ситуація, яку воно може моделювати - не затухає. Еквівалент фазової площини рівняння\ ref {eq:4.4.7} є роздільним рівнянням
\[v{dv\over dy}+p(y)=0. \nonumber \]
Інтеграція цієї врожайності
\[\label{eq:4.4.8} {v^2\over2}+P(y)=c,\]
де\(c\) константа інтеграції і\(P(y)=\int p(y)\,dy\) є антипохідним від\(p\).
Якщо Equation\ ref {eq:4.4.7} є рівнянням руху об'єкта маси\(m\), то\(mv^2/2\) є кінетичною енергією і\(mP(y)\) є потенційною енергією об'єкта; таким чином, Equation\ ref {eq:4.4.8} говорить про те, що загальна енергія об'єкта залишається постійною, або зберігається. Зокрема, якщо траєкторія проходить через задану точку,\((y_0,v_0)\) то
\[c={v_0^2\over2}+P(y_0). \nonumber\]
Розглянемо об'єкт з масою,\(m\) підвішеною до пружини і рухається вертикально. \(y\)Дозволяти зміщення об'єкта з позиції, яку він займає при підвішеному стані у спокої від пружини (Рисунок Template:index).
Припустимо, що якщо довжина пружини змінена на величину\(\Delta L\) (позитивну або негативну), то пружина чинить протилежну силу з величиною\(k|\Delta L|\), де k - позитивна константа. У розділі 6.1 буде показано, що якщо маса пружини незначна порівняно з\(m\) і ніякі інші сили не діють на об'єкт, то другий закон руху Ньютона передбачає, що
\[\label{eq:4.4.9} my''=-ky,\]
які можна записати у вигляді Рівняння\ ref {eq:4.4.7} с\(p(y)=ky/m\). Це рівняння можна легко вирішити методом, який ми вивчимо в розділі 5.2, але цей метод тут недоступний. Замість цього ми розглянемо еквівалент фазової площини Equation\ ref {eq:4.4.9}.
З Рівняння\ ref {eq:4.4.3} ми можемо переписати рівняння\ ref {eq:4.4.9} як роздільне рівняння
\[mv{dv\over dy}=-ky. \nonumber\]
Інтеграція цієї врожайності
\[{mv^2\over2}=-{ky^2\over2}+c, \nonumber\]
що означає, що
\[\label{eq:4.4.10} mv^2+ky^2=\rho\]
(\(\rho=2c\)). Це визначає еліпс у фазовій площині Пуанкаре (Рисунок Template:index).
Ми можемо визначити,\(\rho\) встановивши\(t=0\) в Equation\ ref {eq:4.4.10}; таким чином\(\rho=mv_0^2+ky_0^2\), де\(y_0=y(0)\) і\(v_0=v(0)\). Для визначення максимального та мінімального значень\(y\) ми встановлюємо\(v=0\) в Equation\ ref {eq:4.4.10}; таким чином,
\[\label{eq:4.4.11} y_{\max}=R \quad \text{and} \quad y_{\min}=-R, \quad \text{with} R=\sqrt{\rho\over k}.\]
Рівняння\ ref {eq:4.4.9} має рівно одну рівновагу\(\overline y=0\), і воно стабільне. Інтуїтивно можна побачити, чому це так: якщо об'єкт зміщений в будь-яку сторону від рівноваги, пружина намагається повернути його назад.
У цьому випадку ми можемо знайти\(y\) явно як функцію\(t\). (Не чекайте, що це станеться в більш складних проблемах!) Якщо\(v>0\) на інтервалі\(I\), рівняння\ ref {eq:4.4.10} означає, що
\[{dy\over dt}=v=\sqrt{\rho-ky^2\over m} \nonumber\]
на\(I\). Це еквівалентно
\[\label{eq:4.4.12} {\sqrt k\over\sqrt{\rho-ky^2}}{dy\over dt}=\omega_0,\quad \text{where} \quad \omega_0=\sqrt{k\over m}.\]
Так як
\[ \begin{align*} \int{\sqrt k\,dy\over\sqrt{\rho-ky^2}} &=\sin^{-1}\left(\sqrt{k\over\rho }y\right)+c \\[4pt] &=\sin^{-1}\left(y\over R\right)+c \end{align*}\]
(див. Рівняння\ ref {eq:4.4.11}), Рівняння\ ref {eq:4.4.12} означає, що існує\(\phi\) така константа, що
\[\sin^{-1}\left(y\over R\right)=\omega_0 t+\phi \nonumber\]
або
\[y=R\sin(\omega_0 t+\phi) \nonumber\]
для всіх\(t\) в\(I\). Хоча ми отримали цю функцію, припускаючи\(v>0\), що ви можете легко переконатися, що\(y\) відповідає рівнянню\ ref {eq:4.4.9} для всіх значень\(t\). Таким чином, зміщення періодично змінюється між\(-R\) і\(R\), з періодом\(T=2\pi/\omega_0\) (Рисунок Template:index). (Якщо ви пройшли курс елементарної механіки, ви можете розпізнати це як простий гармонійний рух.)
Тепер розглянемо рух маятника з масою\(m\), прикріпленого до кінця невагомого стрижня довжиною,\(L\) який обертається на осі без тертя (рис. Template:index). Ми припускаємо, що немає опору повітря.
\(y\)Дозволяти кут, виміряний від положення спокою (вертикально вниз) маятника, як показано на малюнку Template:index. Другий закон руху Ньютона говорить, що добуток\(m\) і тангенціальне прискорення дорівнює тангенціальній складовій сили тяжіння; отже, з Figure Template:index,
\[mLy''=-mg\sin y, \nonumber\]
або
\[\label{eq:4.4.13} y''=-{g\over L} \sin y.\]
Оскільки\(\sin n\pi=0\) if\(n\) є будь-яким цілим числом, Equation\ ref {eq:4.4.13} має нескінченно багато рівноваг\(\overline y_n=n\pi\). Якщо\(n\) рівна, маса знаходиться безпосередньо нижче осі (рис.\(\PageIndex{6a}\)) і сила тяжіння виступає проти будь-якого відхилення від рівноваги.
Однак якщо непарна, маса\(n\) знаходиться безпосередньо над віссю (рис.\(\PageIndex{6b}\)) і сила тяжіння збільшує будь-яке відхилення від рівноваги. Тому робимо висновок на фізичних підставах, що\(\overline y_{2m}=2m\pi\) є стабільним і\(\overline y_{2m+1}=(2m+1)\pi\) нестабільним.
Еквівалент фазової площини рівняння\ ref {eq:4.4.13} дорівнює
\[v{dv\over dy}=-{g\over L}\sin y, \nonumber\]
де\(v=y'\) - кутова швидкість маятника. Інтеграція цієї врожайності
\[\label{eq:4.4.14} {v^2\over2}={g\over L}\cos y+c.\]
Якщо\(v=v_0\) коли\(y=0\), то
\[c={v_0^2\over2}-{g\over L}, \nonumber\]
так рівняння\ ref {eq:4.4.14} стає
\[ \begin{align*} {v^2\over2} &={v_0^2\over2}-{g\over L}(1-\cos y) \\[4pt] &={v_0^2\over2}-{2g\over L}\sin^2{y\over2}, \end{align*}\]
що еквівалентно
\[\label{eq:4.4.15} v^2=v_0^2-v_c^2\sin^2{y\over2},\]
де
\[v_c=2\sqrt{g\over L}. \nonumber\]
Криві, визначені Equation\ ref {eq:4.4.15}, є траєкторіями рівняння\ ref {eq:4.4.13}. Вони є періодичними з\(2\pi\) крапкою в\(y\), що не дивно, оскільки якщо\(y=y(t)\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:4.4.13}, то так і\(y_n=y(t)+2n\pi\) для будь-якого цілого числа\(n\). Рисунок Template:index показує траєкторії за інтервалом\([-\pi,\pi]\). З Equation\ ref {eq:4.4.15} ви можете побачити, що якщо\(|v_0|>v_c\)\(v\) це не нуль для всіх\(t\), це означає, що об'єкт крутиться в тому ж напрямку назавжди, як на рис. Template:index. Траєкторії, пов'язані з цим кружним рухом, знаходяться над верхньою пунктирною кривою і нижче нижньої пунктирної кривої на рисунку Template:index. Ви також можете побачити з Рівняння\ ref {eq:4.4.15} що якщо\(0<|v_{0}|<v_{c}\), то\(v=0\) коли\(y=\pm y_{max}\), де
\[y_{\max}=2\sin^{-1}(|v_0|/v_c). \nonumber\]
У цьому випадку маятник періодично коливається між\(-y_{\max}\) і\(y_{\max}\), як показано на малюнку Template:index. Траєкторії, пов'язані з цим видом руху, є овалами між пунктирними кривими на рисунку Template:index. Можна показати (див. Вправа 4.4.21 для часткового доказу), що період коливання дорівнює
\[\label{eq:4.4.16} T=8\int_0^{\pi/2}{d\theta\over\sqrt{v_c^2-v_0^2\sin^2\theta}}.\]
Хоча цей інтеграл не може бути оцінений з точки зору звичних елементарних функцій, ви можете бачити, що він кінцевий if\(|v_0|<v_c\). >
Пунктирні криві на рисунку Template:index містять чотири траєкторії. Критичні точки\((\pi,0)\) і\((-\pi,0)\) є траєкторіями розв'язків нестабільної рівноваги\(\overline y=\pm\pi\). Верхня пунктирна крива, що з'єднує (але не включає) їх, виходить з початкових умов виду\(y(t_0)=0,\ v(t_0)=v_c\). Якщо\(y\) є будь-яке рішення з цією траєкторією, то
\[\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=\pi \quad \text{and} \quad \displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t)=-\pi. \nonumber\]
Нижня пунктирна крива, що з'єднує (але не включає) їх, виходить з початкових умов виду\(y(t_0)=0,\ v(t_0)=-v_c\). Якщо\(y\) є будь-яке рішення з цією траєкторією, то
\[\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=-\pi\quad \text{and} \quad \displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t)=\pi. \nonumber\]
Відповідно до цього, інтегральне рівняння\ ref {eq:4.4.16} розходиться на\(\infty\) if\(v_0=\pm v_c\). (Вправа 4.4.21).
Оскільки пунктирні криві відокремлюють траєкторії кружлячих розчинів від траєкторій коливальних розчинів, кожна з цих кривих називається роздільником.
Загалом, якщо Equation\ ref {eq:4.4.7} має як стабільні, так і нестабільні рівноваги, то роздільники - це криві, задані Equation\ ref {eq:4.4.8}, які проходять через нестабільні критичні точки. Таким чином, якщо\((\overline y,0)\) є нестабільною критичною точкою, то
\[\label{eq:4.4.17} {v^2\over 2}+P(y)=P(\overline y)\]
визначає сепаратрикс, що проходить через\((\overline y,0)\).
Умови стійкості та нестабільності для y» + p (y) = 0
Можна показати (Вправа 4.4.23), що рівновага\(\overline y\) незагашеного рівняння
\[\label{eq:4.4.18} y''+p(y)=0\]
є стабільним, якщо є відкритий\((a,b)\) інтервал\(\overline y\), що
\[\label{eq:4.4.19} p(y)<0\text{ if }a<y<\overline{y}\text{ and } p(y)>0\text{ if }\overline{y}<y<b\]
Якщо розглядати\(p(y)\) як силу, що діє на одиницю маси, Equation\ ref {eq:4.4.19} означає, що сила чинить опір всім досить малим переміщенням від\(\overline y\).
Ми вже бачили приклади, що ілюструють цей принцип. Рівняння Рівняння\ ref {eq:4.4.9} для незатухаючої пружинно-масової системи має вигляд Equation\ ref {eq:4.4.18} з\(p(y)=ky/m\), що має тільки стабільну рівновагу\(\overline y=0\). У цьому випадку Рівняння\ ref {eq:4.4.19} має значення\(a=-\infty\) і\(b=\infty\). Рівняння Рівняння\ ref {eq:4.4.13} для незатухаючого маятника має вигляд Рівняння\ ref {eq:4.4.18} с\(p(y)=(g/L)\sin y\). Ми бачили, що\(\overline y=2m\pi\) це стабільна рівновага,\(m\) якщо ціле число. В даному випадку
\[p(y)=\sin y<0\text{ if } (2m-1)\pi <y<2m\pi \nonumber \]
і
\[p(y)>0\text{ if } 2m\pi <y<(2m+1)\pi \nonumber \]
Це також може бути показано (Вправа 4.4.24), що\(\overline y\) є нестабільним, якщо є\(b>\overline y\) такий, що
\[\label{eq:4.4.20} p(y)<0\text{ if } \overline{y}<y<b\]
або\(a<\overline y\) такий, що
\[\label{eq:4.4.21} p(y)>0\text{ if } a<y<\overline{y}\]
Якщо розглядати\(p(y)\) як силу, що діє на одиницю маси, Equation\ ref {eq:4.4.20} означає, що сила має тенденцію до збільшення всіх досить малих позитивних переміщень від\(\overline y\), тоді як Equation\ ref {eq:4.4.21} означає, що сила має тенденцію до збільшення величини всіх досить малих негативних переміщень від\(\overline y\).
Незатухаючий маятник також ілюструє цей принцип. Ми бачили, що\(\overline y=(2m+1)\pi\) це нестабільна рівновага\(m\), якщо ціле число. В даному випадку
\[\sin y<0\text{ if }(2m+1)\pi <y<(2m+2)\pi \nonumber \]
так рівняння\ ref {eq:4.4.20} тримає з\(b=(2m+2)\pi\), і
\[\sin y>0\text{ if }2m\pi <y<(2m+1)\pi \nonumber \]
так рівняння\ ref {eq:4.4.21} тримається с\(a=2m\pi\).
рівняння
\[\label{eq:4.4.22} y''+y(y-1)=0\]
має вигляд Рівняння\ ref {eq:4.4.18} с\(p(y)=y(y-1)\). Отже\(\overline y=0\) і\(\overline y=1\) є рівновагами рівняння\ ref {eq:4.4.22}. Так як
\[\begin{aligned} y(y-1)&>0 &\text{if} &y<0 \text{ or }y>1 \\ &<0 &\text{if} &0<y<1 \end{aligned} \nonumber \]
\(\overline y=0\)нестійкий і\(\overline y=1\) стійкий.
Еквівалент фазової площини рівняння\ ref {eq:4.4.22} є роздільним рівнянням
\[v{dv\over dy}+y(y-1)=0. \nonumber \]
Інтеграція врожайності
\[{v^2\over2}+{y^3\over3}-{y^2\over2}=C, \nonumber\]
яку ми переписуємо як
\[\label{eq:4.4.23} v^2+{1\over3}y^2(2y-3)=c\]
після перейменування константи інтеграції. Це траєкторії рівняння\ ref {eq:4.4.22}. Якщо\(y\) є будь-яким розв'язком Equation\ ref {eq:4.4.22}, точка\((y(t),v(t))\) рухається по траєкторії руху\(y\) у напрямку збільшення у верхній половині площини (\(v=y'>0\)), або у напрямку зменшення\(y\) в нижній половині площини (\(v=y'<0\)).\(y\)
Рисунок Template:index показує типові траєкторії. Пунктирна крива через критичну точку\((0,0)\), отримана установкою\(c=0\) в Equation\ ref {eq:4.4.23}, розділяє\(v\) площину\(y\) - на області, що містять різного роду траєкторії; знову ж таки, ми називаємо цю криву роздільником. Траєкторії в області, обмеженій замкнутим контуром (b), є замкнутими кривими, тому рішення, пов'язані з ними, періодичні. Рішення, пов'язані з іншими траєкторіями, не є періодичними. Якщо ж\(y\) таке рішення з траєкторією не на сепаратриксі, то
\[\begin{array}{llrllr} \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) &= -\infty, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t) &= -\infty,\\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t) &= -\infty, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}v(t) &= \infty. \end{array} \nonumber \]
Сепаратрикс містить чотири траєкторії рівняння\ ref {eq:4.4.22}. Одним з них є точка\((0,0)\), траєкторія рівноваги\(\overline y=0\). Оскільки різні траєкторії не можуть перетинатися, сегменти роздільниці, позначені (a), b та (c) - які не включають\((0,0)\) - є різними траєкторіями, жодна з яких не може бути пройдена за скінченний час. Розв'язки з цими траєкторіями мають наступну асимптотичну поведінку:
\[\begin{array}{llrllrl} \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) &= 0, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t) &= -\infty,\\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t) &= 0, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}v(t) &= \infty\phantom{,}& \text{(on (a))} \\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) &= 0, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t) &= 0,\\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t) &= 0, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}v(t) &= 0\phantom{,}& \text{(on (b))} \\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) &= -\infty, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t) &= 0,\\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t) &= -\infty, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}v(t) &= 0\phantom{,}& \text{(on (c))}. \end{array}. \nonumber \]
Демпфірованний корпус
Еквівалент фазової площини затухаючого автономного рівняння
\[\label{eq:4.4.24} y''+q(y,y')y'+p(y)=0\]
є
\[v{dv\over dy}+q(y,v)v+p(y)=0. \nonumber\]
Це рівняння не є роздільним, тому ми не можемо вирішити його з точки зору\(y\), як ми це робили в незгасаному випадку, і збереження енергії не тримається.\(v\) (Наприклад, втрачається енергія, витрачена на подолання тертя.) Однак ми можемо вивчити якісну поведінку її рішень, переписуючи його як
\[\label{eq:4.4.25} {dv\over dy}=-q(y,v)-{p(y)\over v}\]
і розглядаючи напрямні поля для цього рівняння.
У наступних прикладах ми також покажемо створені комп'ютером траєкторії цього рівняння, отримані чисельними методами. Вправи закликають до подібних обчислень. Методи, розглянуті в главі 3, не підходять для цього завдання, оскільки\(p(y)/v\) в Equation\ ref {eq:4.4.25} не визначено на\(y\) осі фазової площини Пуанкаре. Тому ми змушені застосовувати до системи числові методи, коротко розглянуті в розділі 10.1.
\[\begin{aligned} y'&= v\\ v'&= -q(y,v)v-p(y),\end{aligned}\]
що еквівалентно рівнянню\ ref {eq:4.4.24} у значенні, визначеному в розділі 10.1. На щастя, більшість програмних пакетів диференціальних рівнянь дозволяють зробити це безболісно.
У тексті ми обмежимося випадком, де\(q\) є постійним, тому Equation\ ref {eq:4.4.24} і Equation\ ref {eq:4.4.25} зменшити до
\[\label{eq:4.4.26} y''+cy'+p(y)=0\]
і
\[{dv\over dy}=-c-{p(y)\over v}. \nonumber\]
(Більш загальні рівняння ми розглянемо у вправах.) Постійна\(c\) називається демпфірующей константою. У ситуаціях, коли Equation\ ref {eq:4.4.26} є рівнянням руху об'єкта,\(c\) є додатним; однак, бувають ситуації, коли\(c\) можуть бути негативними.
Затухаюча пружинна маса системи
Раніше ми розглядали пружинно-масову систему при припущенні, що єдиними силами, що діють на об'єкт, були сили тяжіння і стійкість пружини до змін її довжини. Тепер будемо вважати, що якийсь механізм (наприклад, тертя в пружині або атмосферний опір) протистоїть руху об'єкта з силою, пропорційною його швидкості. У розділі 6.1 буде показано, що в цьому випадку другий закон руху Ньютона передбачає, що
\[\label{eq:4.4.27} my''+cy'+ky=0,\]
де\(c>0\) - постійна демпфірування. Знову ж таки, це рівняння можна легко вирішити методом, який ми вивчимо в розділі 5.2, але цей метод тут недоступний. Замість цього ми розглянемо його еквівалент фазової площини, який можна записати у вигляді Equation\ ref {eq:4.4.25} як
\[\label{eq:4.4.28} {dv\over dy}=-{c\over m}-{ky\over mv}.\]
(Незначна примітка: рівняння\ ref {eq:4.4.26} насправді відповідає\(c/m\) цьому рівнянню.)\(c\) На малюнку Template:index показано типове поле напряму для рівняння такого виду. Нагадуючи, що рух по траєкторії має бути у напрямку збільшення\(y\) у верхній половині площини (\(v>0\)) і у напрямку зменшення\(y\) в нижній половині площини (\(v<0\)), можна зробити висновок, що всі траєкторії наближаються до початку за годинниковою стрілкою. Щоб підтвердити це, Figure Template:index показує те саме поле напряму з деякими заповненими траєкторіями. Усі наведені там траєкторії відповідають розв'язкам початкової задачі
\[my''+cy'+ky=0,\quad y(0)=y_0,\quad y'(0)=v_0, \nonumber\]
де
\[mv_0^2+ky_0^2=\rho\quad (\mbox{a positive constant}); \nonumber \]
Таким чином, якби не було демпфування (\(c=0\)), всі розв'язки мали б однакову пунктирну еліптичну траєкторію, показану на малюнку Template:index.
Розв'язки, що відповідають траєкторіям на рисунку Template:index, перетинають\(y\) вісь -нескінченно багато разів. Відповідні розв'язки, як кажуть, є коливальними (Рисунок Template:index) У розділі 6.2 показано, що існує\(c_1\) таке число, що якщо\(0\leq c<c_{1}\) тоді всі розв'язки (Template:index) є коливальними, тоді як якщо\(c\geq c_{1}\), жодних розв'язків (Template:index) мають цю властивість. (Насправді жодне рішення не однаково нуль не може мати більше двох нулів у цьому випадку.) На малюнку Template:index показано поле напряму та деякі інтегральні криві для (Template:index) у цьому випадку.
Тепер повертаємося до маятника. Якщо припустити, що якийсь механізм (наприклад, тертя в осі або атмосферний опір) протистоїть руху маятника з силою, пропорційною його кутової швидкості, другий закон руху Ньютона має на увазі, що
\[\label{eq:4.4.29} mLy''=-cy'-mg\sin y,\]
де\(c>0\) - постійна демпфірування. (Знову ж таки, незначна примітка:\(c\) у рівнянні\ ref {eq:4.4.26} насправді відповідає\(c/mL\) цьому рівнянню.) Для побудови поля напряму для Equation\ ref {eq:4.4.29} запишемо еквівалент його фазової площини як
\[{dv\over dy}=-{c\over mL}-{g\over Lv}\sin y. \nonumber\]
Рисунок Template:index показує траєкторії чотирьох розв'язків рівняння\ ref {eq:4.4.29}, всі задовольняють\(y(0)=0\). Для кожного\(m=0\),,\(1\),\(2\),\(3\), надання початкової швидкості\(v(0)=v_m\) змушує маятник робити\(m\) повні обороти, а потім осідати в занепад коливання про стабільну рівновагу\(\overline y=2m\pi\).
