Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.1: Набір проблем

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61210

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    1. Для кожного з наведених нижче ОД запишіть його як систему першого порядку, станьте залежні та незалежні змінні, вкажіть будь-які параметри в ODE (тобто невизначені константи) і станьте, чи є він лінійним або нелінійним, автономним або неавтономним,

      (а)

      \(\ddot{\theta}+\sigma\dot{\theta}+sin \theta = Fcos(\omega t)\),\(\theta \in \mathbb{S}^1\).

      (б)

      \(\ddot{\theta}+\sigma\dot{\theta}+\theta = Fcos(\omega t)\),\(\theta \in \mathbb{S}^1\).

      (c)

      \(\frac{d^{3}y}{dx^3}+x^{2}y\frac{dy}{dx}+y = 0\),\(x \in \mathbb{R}^1\).

      (г)

      \(\ddot{x}+\sigma\dot{x}+x-x^3 = \theta\),

      \(\ddot{\theta} + sin \theta = 0\),\((x,\theta) \in \mathbb{R}^1 \times \mathbb{S}^1\)

      (е)

      \(\ddot{\theta}+\sigma\dot{\theta}+sin \theta = x\),

      \(\ddot{x}-x+x^3 = 0\),\((\theta, x) \in \mathbb{R}^1 \times \mathbb{S}^1\)

    2. Розглянемо векторне поле:

      \(\dot{x} = 3x^\frac{2}{3}\),\(x(0) \ne 0\),\(x \in \mathbb{R}\).

      Чи має це векторне поле унікальні рішення?

    3. Розглянемо векторне поле:

      \(\dot{x} = -x+x^2\),\(x(0) = x_{0}\),\(x \in \mathbb{R}\).

      Визначити часовий інтервал існування всіх розв'язків в залежності від початкової умови,\(x_{0}\).

    4. Розглянемо векторне поле:

      \(\dot{x} = a(t)x+b(t)\),\(x \in \mathbb{R}\).

      Визначте достатні умови за коефіцієнтами a (t) і b (t), для яких розв'язки будуть існувати за весь час. Чи залежать результати від початкового стану?

    ​​​​​​​