8: Лаплас перетворюється

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 7.8E: Метод Фробенія III (вправи)
- 8.1: Вступ до перетворення Лапласа

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми вивчаємо метод перетворень Лапласа, який ілюструє одну з основних прийомів розв'язання задач в математиці: перетворити складну задачу в більш легку, вирішити останню, а потім використовувати її рішення для отримання розв'язку вихідної задачі. Розглянутий тут метод перетворює задачу початкового значення для рівняння постійного коефіцієнта в алгебраїчне рівняння, розв'язок якого потім може бути використаний для розв'язання початкової задачі. У деяких випадках цей метод є лише альтернативною процедурою вирішення проблем, які однаково добре можуть бути вирішені методами, які ми розглядали раніше; проте в інших випадках метод перетворення Лапласа є більш ефективним, ніж методи, розглянуті раніше. Особливо це стосується фізичних проблем, пов'язаних з переривчастими форсувальними функціями.

8.1: Вступ до перетворення Лапласа
Цей розділ визначає перетворення Лапласа та розвиває його властивості.
- 8.1E: Вступ до перетворення Лапласа (вправи)
8.2: Обернене перетворення Лапласа
У цьому розділі розглядається проблема пошуку функції, яка має задане перетворення Лапласа.
- 8.2E: Зворотне перетворення Лапласа (вправи)
8.3: Розв'язування початкових задач
Цей розділ застосовує перетворення Лапласа для розв'язання початкових задач для постійних коефіцієнтних диференціальних рівнянь другого порядку на (0, ∞).
- 8.3E: Розв'язування початкових задач (вправи)
8.4: Функція кроку блоку
У цьому розділі ми розробимо процедури використання таблиці перетворень Лапласа для пошуку перетворень Лапласа кусково-неперервних функцій та пошуку кусково-неперервних обертань перетворень Лапласа. У цьому розділі також представлена функція одиниці кроку.
- 8.4E: Функція кроку одиниці (вправи)
8.5: Рівняння постійного коефіцієнта з кусково-безперервними функціями форсування
Цей розділ використовує функцію одиничного кроку для розв'язання рівнянь постійних коефіцієнтів з кусково безперервними функціями форсування.
- 8.5E: Рівняння постійного коефіцієнта з кусково-безперервними функціями форсування (вправи)
8.6: Згортка
У цьому розділі розглядається теорема згортки, важлива теоретична властивість перетворення Лапласа.
- 8.6E: Згортка (вправи)
8.7: Рівняння постійного коефіцієнта з імпульсами
Цей розділ вводить ідею імпульсної сили та розглядає постійні коефіцієнтні рівняння з імпульсними функціями форсування. Розглядаються початкові задачі, де функція форсування представляє силу, яка є дуже великою протягом короткого часу і нульовою в іншому випадку. Імпульсивні сили виникають при зіткненні двох об'єктів. Оскільки неможливо представити такі сили як безперервні або кусково-неперервні функції, нам потрібна інша математична модель для боротьби з ними.
- 8.7E: Рівняння постійного коефіцієнта з імпульсами (вправи)
8.8: Коротка таблиця перетворень Лапласа
Цей розділ являє собою коротку таблицю перетворень Лапласа.