Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.4E: Функція кроку одиниці (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62174

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Q8.4.1

    У вправах 8.4.1-8.4.6 знайти перетворення Лапласа методом Прикладу 8.4.1. Потім висловіть задану функцію\(f\) через одиничні крокові функції, як у Рівнянні 8.4.8, і використовуйте теорему 8.4.1 для пошуку\({\cal L}(f)\). Графік\(f\) для вправ 8.4.3 і 8.4.4.

    1. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} {1,}&{0 \le t<4,}\\ {t,} & {t\ge4.} \end{array}\right.\)

    2. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t,&0 \le t<1,\\[4pt] 1,& t\ge1.\end{array}\right.\)

    3. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} 2t-1,& 0\le t<2,\\[4pt] t,&t\ge2.\end{array}\right.\)

    4. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}1, &0\le t<1,\\[4pt] t+2,&t\ge1.\end{array}\right.\)

    5. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t-1,& 0\le t<2,\\[4pt] 4,&t\ge2.\end{array}\right.\)

    6. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t^2,& 0\le t<1,\\[4pt] 0,&t\ge1.\end{array}\right.\)

    Q8.4.2

    У вправах 8.4.7-8.4.18 висловіть задану функцію через\(f\) одиничні ступінчасті функції та використовуйте теорему 8.4.1 для пошуку\(\cal{L} (f)\). Графік\(f\) для вправ 8.4.15-8.4.18.

    7. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} 0, &0\le t<2,\\[4pt] t^2+3t,&t\ge2.\end{array}\right.\)

    8. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t^2+2, &0\le t<1,\\[4pt] t,&t\ge1.\end{array}\right.\)

    9. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} te^t,& 0\le t <1,\\[4pt] e^t,&t\ge1.\end{array}\right.\)

    10. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} e^{\phantom{2}-t}, &0\le t<1,\\[4pt] e^{-2t},&t\ge1.\end{array}\right.\)

    11. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} -t,&0 \le t<2,\\[4pt] t-4,&2\le t<3,\\[4pt] 1,&t\ge3. \end{array}\right.\)

    12. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} 0,&0 \le t<1,\\[4pt] t,&1\le t<2,\\[4pt] 0,&t\ge2.\end{array}\right.\)

    13. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t,&0 \le t<1,\\[4pt] t^2,&1\le t<2,\\[4pt] 0,&t\ge2. \end{array}\right.\)

    14. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t,&0\le t<1,\\[4pt] 2-t,&1\le t<2,\\[4pt] 6,&t > 2. \end{array}\right.\)

    15. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} {\sin t,}&{0\leq t<\frac{\pi }{2}}\\{2\sin t,}&{\frac{\pi }{2}\leq t<\pi }\\{\cos t,}&{t\geq \pi } \end{array} \right.\)

    16. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}\phantom{-} 2,&0\le t<1,\\[4pt]-2t+2,&1\le t<3,\\[4pt]\phantom{-}3t,&t\ge 3.\end{array}\right.\)

    17. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}3,&0\le t<2,\\[4pt]3t+2,&2\le t<4,\\[4pt]4t,&t\ge 4.\end{array}\right.\)

    18. \(f(t)=\left\{\begin{array}{ll}(t+1)^2,&0\le t<1, \\[4pt](t+2)^2,&t\ge1.\end{array}\right.\)

    Q8.4.3

    У вправах 8.4.19-8.4.28 використовувати теорему 8.4.2 для вираження обернених перетворень з точки зору крокових функцій, а потім знайти різні формули для обернених перетворень на відповідних інтервалах, як у прикладі 8.4.7. Графік оберненого перетворення для вправ 8.4.21, 8.4.22 та 8.4.25.

    19. \(H(s)={e^{-2s}\over s-2}\)

    20. \(H(s)={e^{-s}\over s(s+1)}\)

    21. \(H(s)={e^{-s}\over s^3}+ {e^{-2s}\over s^2}\)

    22. \(H(s)=\left({2\over s}+{1\over s^2}\right) +e^{-s}\left({3\over s}-{1\over s^2}\right)+e^{-3s}\left({1\over s}+{1\over s^2}\right)\)

    23. \(H(s)=\left({5\over s}-{1\over s^2}\right) +e^{-3s}\left({6\over s}+{7\over s^2}\right)+{3e^{-6s}\over s^3}\)

    24. \(H(s)={e^{-\pi s} (1-2s)\over s^2+4s+5}\)

    25. \(H(s)=\left({1\over s}-{s\over s^2+1}\right)+e^{-{\pi\over 2}s}\left({3s-1\over s^2+1}\right)\)

    26. \(H(s)= e^{-2s}\left[{3(s-3)\over(s+1)(s-2)}-{s+1\over(s-1)(s-2)}\right]\)

    27. \(H(s)={1\over s}+{1\over s^2}+e^{-s}\left({3\over s}+{2\over s^2}\right) +e^{-3s}\left({4\over s}+{3\over s^2}\right)\)

    28. \(H(s)={1\over s}-{2\over s^3}+e^{-2s}\left({3\over s}-{1\over s^3}\right) +{e^{-4s}\over s^2}\)

    Q8.4.4

    29. Знайти\({\cal L}\left(u(t-\tau)\right)\).

    30. \(\{t_m\}_{m=0}^\infty\)Дозволяти послідовність точок такі\(t_0=0\), що\(t_{m+1}>t_m\), і\(\lim_{m\to\infty}t_m=\infty\). Для кожного невід'ємного цілого числа\(m\), нехай\(f_m\) бути безперервним на\([t_m,\infty)\), і нехай\(f\) буде визначено\([0,\infty)\) на

    \[f(t)=f_m(t),\,t_m\le t<t_{m+1}\quad (m=0,1,\dots).\nonumber \]

    Показати, що\(f\) є кусково-безперервним на\([0,\infty)\) і що він має подання функції кроку

    \[f(t)=f_0(t)+\sum_{m=1}^\infty u(t-t_m)\left(f_m(t)-f_{m-1}(t)\right),\, 0\le t<\infty.\nonumber\]

    Звідки ми знаємо, що серія праворуч сходиться для всіх\(t\)\([0,\infty)\)?

    31. На додаток до припущень вправи 8.4.30, припустимо, що

    \[|f_m(t)|\le Me^{s_0t},\,t\ge t_m,\,m=0,1,\dots, \tag{A}\]

    і що серіал

    \[\sum_{m=0}^\infty e^{-\rho t_m} \tag{B}\]

    сходиться для деяких\(\rho>0\). Використовуючи наведені нижче кроки, показати,\({\cal L}(f)\) що визначено для\(s>s_0\) і

    \[{\cal L}(f)={\cal L}(f_0)+\sum_{m=1}^\infty e^{-st_m}{\cal L}(g_m) \tag{C}\]

    для\(s>s_0+\rho\) того, де

    \[g_m(t)=f_m(t+t_m)-f_{m-1}(t+t_m).\nonumber\]

    1. Використовуйте (A) та теорему 8.1.6, щоб показати,\[{\cal L}(f)=\sum_{m=0}^\infty\int_{t_m}^{t_{m+1}}e^{-st}f_m(t)\,dt \tag{D}\] що визначено для\(s>s_0\).
    2. Показати, що (D) можна переписати як\[{\cal L}(f)=\sum_{m=0}^\infty\left(\int_{t_m}^\infty e^{-st}f_m(t)\,dt -\int_{t_{m+1}}^\infty e^{-st}f_m(t)\,dt\right). \tag{E}\]
    3. Використовуйте (A), передбачуване збіжність (B) та тест порівняння, щоб показати, що\[\sum_{m=0}^\infty\int_{t_m}^\infty e^{-st}f_m(t)\,dt\quad \text{and} \quad \sum_{m=0}^\infty\int_{t_{m+1}}^\infty e^{-st}f_m(t)\,dt\nonumber\] обидва ряди збігаються (абсолютно), якщо\(s>s_0+\rho\).
    4. Показати, що (E) можна переписати як\[{\cal L}(f)={\cal L}(f_0)+\sum_{m=1}^\infty\int_{t_m}^\infty e^{-st} \left(f_m(t)-f_{m-1}(t)\right)\,dt\nonumber \] ніби\(s>s_0+\rho\).
    5. Заповніть доказ (C).

    32. Припустимо\(\{t_m\}_{m=0}^\infty\) і\(\{f_m\}_{m=0}^\infty\) задовольняємо припущення Вправи 8.4.30 і 8.4.31, і є позитивна константа\(K\) така, що\(t_m\ge Km\) для\(m\) досить великих. Покажіть, що серія (B) вправи 8.4.31 сходиться для будь-якого\(\rho>0\), і зробити висновок з цього, що (C) вправи 8.4.31 тримає для\(s>s_0\).

    У Вправи 8.4.33-8.4.36 знайти крок функції подання\(f\) і використовувати результат вправи 8.4.32 знайти\(\cal{L}(f)\). ПІДКАЗКА: Вам знадобляться формули, пов'язані з формулою для суми геометричного ряду.

    33. \(f(t)=m+1,\,m\le t<m+1\; (m=0,1,2,\dots)\)

    34. \(f(t)=(-1)^m,\,m\le t<m+1\; (m=0,1,2,\dots)\)

    35. \(f(t)=(m+1)^2,\,m\le t<m+1\; (m=0,1,2,\dots)\)

    36. \(f(t)=(-1)^mm,\,m\le t<m+1\; (m=0,1,2,\dots)\)