8.7: Рівняння постійного коефіцієнта з імпульсами
- Page ID
- 62149
Поки що в цьому розділі ми розглянули початкові задачі для рівняння постійного коефіцієнта
\[ay''+by'+cy=f(t),\nonumber \]
де\(f\) суцільна або кусково-суцільна на\([0,\infty)\). У цьому розділі ми розглянемо проблеми початкового значення, де\(f\) являє собою силу, яка дуже велика протягом короткого часу і нуль в іншому випадку. Ми говоримо, що такі сили імпульсивні. Імпульсивні сили виникають, наприклад, при зіткненні двох об'єктів. Оскільки неможливо представити такі сили як неперервні або кусково-неперервні функції, ми повинні побудувати іншу математичну модель для боротьби з ними.
Якщо\(f\) інтегрується функція і\(f(t)=0\) для\(t\) поза інтервалом\([t_0,t_0+h]\), то\(\int_{t_0}^{t_0+h} f(t)\,dt\) називається сумарним імпульсом\(f\). Нас цікавить ідеалізована ситуація, коли\(h\) настільки мала, що загальний імпульс можна припустити, що миттєво застосовується\(t=t_0\). Ми говоримо в даному випадку, що\(f\) це імпульсна функція. Зокрема, позначимо імпульсною функцією з сумарним імпульсом, рівним одиниці, прикладеної при\(t=t_0\).\(\delta(t-t_0)\) (Імпульсна функція,\(\delta(t)\) отримана шляхом встановлення,\(t_0=0\) є \(\delta\)функцією Дірака.) Однак слід розуміти, що це\(\delta(t-t_0)\) не функція в стандартному розумінні, оскільки наше «визначення» означає, що\(\delta(t-t_0)=0\) якщо\(t\ne t_0\), в той час як
\[\int_{t_0}^{t_0} \delta(t-t_0)\,dt=1.\nonumber \]
З числення ми знаємо, що жодна функція не може мати цих властивостей; тим не менш, існує галузь математики, відома як теорія розподілів, де визначення можна зробити суворим. Оскільки теорія розподілів виходить за рамки цієї книги, ми візьмемо інтуїтивний підхід до імпульсних функцій.
Наше перше завдання - визначити, що ми маємо на увазі під розв'язанням початкової задачі.
\[ay''+by'+cy=\delta(t-t_0), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,\nonumber\]
де\(t_0\) - фіксоване невід'ємне число. Наступна теорема буде мотивувати наше визначення.
Припустимо,\(t_0\ge0.\) Для кожного додатного числа\(h,\) let\(y_h\) буде розв'язання початкової задачі
\[\label{eq:8.7.1} ay_h''+by_h'+cy_h=f_h(t), \quad y_h(0)=0,\quad y_h'(0)=0,\]
де
\[\label{eq:8.7.2} f_h(t)=\left\{\begin{array}{cl} 0,&0\le t<t_0,\\[4pt] 1/h,&t_0\le t< t_0+h,\\[4pt] 0,&t\ge t_0+h,\end{array}\right.\]
так\(f_h\) має одиницю загального імпульсу, рівну площі затіненого прямокутника на рисунку Template:index. Тоді
\[\label{eq:8.7.3} \lim_{h\to0+}y_h(t)=u(t-t_0)w(t-t_0),\]
де
\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over as^2+bs+c\right).\nonumber\]
- Доказ
-
Прийняття перетворення Лапласа в рівнянні\ ref {eq:8.7.1} дає
\[(as^2+bs+c)Y_h(s)=F_h(s),\nonumber\]
тому
\[Y_h(s)={F_h(s)\over as^2+bs+c}.\nonumber\]
Теорема згортки передбачає, що
\[y_h(t)=\int_0^t w(t-\tau)f_h(\tau)\,d\tau.\nonumber\]
Отже, рівняння\ ref {eq:8.7.2} означає, що
\[\label{eq:8.7.4} y_{h}(t)=\left\{\begin{array}{cl}{0,}&{0\leq t< t_{0},}\\{\frac{1}{h}\int_{t_{0}}^{t}w(t-\tau )d\tau , }&{t_{0}\leq t\leq t_{0} +h,}\\{\frac{1}{h}\int_{t_{0}}^{t_{0}+h}w(t-\tau )d\tau , }&{t> t_{0}+h.} \end{array} \right. \]
Так як\(y_h(t)=0\) для всіх\(h\) якщо\(0\le t\le t_0\), то випливає, що
\[\label{eq:8.7.5} \lim_{h\to0+}y_h(t)=0\quad \text{if} \quad 0\le t\le t_0.\]
Зараз ми покажемо, що
\[\label{eq:8.7.6} \lim_{h\to0+}y_h(t)=w(t-t_0)\quad \text{if} \quad t>t_0.\]
\(t\)Припустимо, фіксується і\(t>t_0\). З рівняння\ ref {еква:8.7.4},
\[\label{eq:8.7.7} y_h(t)={1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}w(t-\tau)d\tau\quad \text{if} \quad h<t-t_0.\]
Так як
\[\label{eq:8.7.8} {1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}d\tau=1,\]
ми можемо написати
\[w(t-t_0)={1\over h}w(t-t_0)\int_{t_0}^{t_0+h}\,d\tau= {1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}w(t-t_0)\,d\tau.\nonumber\]
З цього і рівняння\ ref {eq:8.7.7},
\[y_h(t)-w(t-t_0)= {1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}\left(w(t-\tau)-w(t-t_0)\right)\,d\tau.\nonumber\]
Тому
\[\label{eq:8.7.9} |y_h(t)-w(t-t_0)|\le {1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}|w(t-\tau)-w(t-t_0)|\,d\tau.\]
Тепер нехай\(M_h\) буде максимальне значення\(|w(t-\tau)-w(t-t_0)|\) як\(\tau\) змінюється протягом інтервалу\([t_0,t_0+h]\). (Пам'ятайте, що\(t\) і\(t_0\) фіксуються.) Тоді рівняння\ ref {eq:8.7.8} і рівняння\ ref {eq:8.7.9} означають, що
\[\label{eq:8.7.10} |y_h(t)-w(t-t_0)|\le {1\over h}M_h\int_{t_0}^{t_0+h}\,d\tau=M_h.\]
Але\(\lim_{h\to0+}M_h=0\), так як\(w\) є безперервним. Тому рівняння\ ref {eq:8.7.10} передбачає рівняння\ ref {eq:8.7.6}. Це і рівняння\ ref {eq:8.7.5} мають на увазі рівняння\ ref {eq:8.7.3}.
Теорема Template:index мотивує наступне визначення.
Якщо\(t_0>0\), то рішення початкового значення задачі
\[\label{eq:8.7.11} ay''+by'+cy=\delta(t-t_0), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,\]
визначено бути
\[y=u(t-t_0)w(t-t_0),\nonumber\]
де
\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over as^2+bs+c\right).\nonumber\]
У фізичних додатках, де вхід\(f\) і вихід\(y\) пристрою пов'язані диференціальним рівнянням
\[ay''+by'+cy=f(t),\nonumber\]
\(w\)називається імпульсною характеристикою приладу. Зверніть увагу, що\(w\) це рішення початкової задачі значення
\[\label{eq:8.7.12} aw''+bw'+cw=0, \quad w(0)=0,\quad w'(0)=1/a,\]
як видно за допомогою перетворення Лапласа для вирішення цієї проблеми. (Перевірити.) З іншого боку, ми можемо розв'язати Equation\ ref {eq:8.7.12} методами Розділу 5.2 і показати,\(w\) що\((-\infty,\infty)\) визначено
\[\label{eq:8.7.13} w={e^{r_2t}-e^{r_1t}\over a(r_2-r_1)},\quad w={1\over a}te^{r_1t}, \quad \text{or} \quad w={1\over a\omega}e^{\lambda t}\sin\omega t,\]
залежно від того, чи\(p(r)=ar^2+br+c\) має многочлен чіткі дійсні нулі\(r_1\) і\(r_2\), повторюваний нуль\(r_1\), або комплексні сполучені нулі\(\lambda\pm i\omega\). (У більшості фізичних додатків нулі характеристичного полінома мають негативні дійсні частини, так\(\lim_{t\to\infty}w(t)=0\).) Це означає, що\(y=u(t-t_0)w(t-t_0)\) визначається на\((-\infty,\infty)\) і має такі властивості:
\[y(t)=0,\quad t<t_0,\nonumber\]
\[ay''+by'+cy=0\quad \text{on} \quad (-\infty,t_0)\quad \text{and} \quad (t_0,\infty),\nonumber\]
і
\[\label{eq:8.7.14} y'_-(t_0)=0, \quad y'_+(t_0)=1/a\]
(Пам'ятайте, що\(y'_-(t_0)\) і\(y'_+(t_0)\) є похідними від правого і лівого відповідно) і\(y'(t_0)\) не існує. Таким чином, навіть якщо ми\(y=u(t-t_0)w(t-t_0)\) визначили рішення Equation\ ref {eq:8.7.11}, ця функція не задовольняє диференціальне рівняння в Equation\ ref {eq:8.7.11} at\(t_0\), оскільки воно там не диференційоване; насправді Equation\ ref {eq:8.7.14} вказує на те, що імпульс викликає стрибок розриву швидкості. (Щоб побачити, що це розумно, подумайте, що відбувається, коли ви б'єте м'яч битою.) Це означає, що початкове значення задачі Equation\ ref {eq:8.7.11} не має сенсу\(t_0=0\), якщо, оскільки\(y'(0)\) не існує в даному випадку. Однак\(y=u(t)w(t)\) може бути визначено як розв'язання модифікованої задачі початкового значення.
\[ay''+by'+cy=\delta(t), \quad y(0)=0,\quad y'_-(0)=0,\nonumber\]
де умова на похідній at\(t=0\) була замінена умовою на похідну від лівого.
Рисунок Template:index ілюструє теорему Template:index для випадку, коли імпульсна характеристика\(w\) є першим виразом у Equation\ ref {eq:8.7.13}\(r_1\) і\(r_2\) є різними і обома негативними. Тверда крива на малюнку є графіком\(w\). Пунктирні криві є розв'язками Equation\ ref {eq:8.7.1} для різних значень\(h\). Як\(h\) зменшується графік\(y_h\) рухається вліво до графіка\(w\).
Знайти розв'язок задачі початкового значення
\[\label{eq:8.7.15} y''-2y'+y=\delta(t-t_0), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,\]
де\(t_0>0\). Потім інтерпретуйте рішення для випадку, коли\(t_0=0\).
Рішення
Тут
\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over s^2-2s+1\right)={\cal L}^{-1}\left( 1\over(s-1)^2\right)=te^{-t},\nonumber\]
так теорема Template:index дає
\[y=u(t-t_0)(t-t_0)e^{-(t-t_0)}\nonumber\]
як розв'язок Рівняння\ ref {eq:8.7.15} якщо\(t_0>0\). Якщо\(t_0=0\), то Equation\ ref {eq:8.7.15} не має розв'язку; однак\(y=u(t)te^{-t}\) (який ми зазвичай пишемо просто як\(y=te^{-t}\)) є розв'язком модифікованої задачі початкового значення
\[y''-2y'+y=\delta(t), \quad y(0)=0,\quad y_-'(0)=0.\nonumber\]
Графік\(y=u(t-t_0)(t-t_0)e^{-(t-t_0)}\) показаний на малюнку Template:index
Визначення Template:index і принцип суперпозиції мотивують наступне визначення.
Припустимо,\(\alpha\) це ненульова константа і\(f\) є кусково-безперервною на\([0,\infty)\). Якщо\(t_0>0\), то рішення початкового значення задачі
\[ay''+by'+cy=f(t)+\alpha\delta(t-t_0), \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber\]
визначено бути
\[y(t)=\hat y(t)+\alpha u(t-t_0)w(t-t_0),\nonumber\]
\(\hat y\)де рішення
\[ay''+by'+cy=f(t), \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\nonumber\]
Це визначення також застосовується\(t_0=0\), якщо, за умови, що початкова\(y'(0)=k_1\) умова замінено на\(y_-'(0)=k_1\).
Вирішити початкову задачу значення
\[\label{eq:8.7.16} y''+6y'+5y=3e^{-2t}+2\delta(t-1),\quad y(0)=-3,\quad y'(0)=2.\]
Рішення
Ми залишаємо це вам, щоб показати, що рішення
\[y''+6y'+5y=3e^{-2t}, \quad y(0)=-3,\; y'(0)=2\nonumber\]
є
\[\hat y=-e^{-2t}+{1\over2}e^{-5t}-{5\over2}e^{-t}.\nonumber\]
Так як
\[\begin{array} {ccccc}{w(t)}&{=}&{\cal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s^{2}+6s+5} \right)}&{=}&{\cal{L}^{-1}\left(\frac{1}{(s+1)(s+5)} \right)} \\ {}&{=}&{\frac{1}{4}\cal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+5} \right) }&{=}&{\frac{e^{-t}-e^{-5t}}{4}} \end{array}\nonumber \]
розв'язок Рівняння\ ref {eq:8.7.16} дорівнює
\[\label{eq:8.7.17} y=-e^{-2t}+{1\over2}e^{-5t}-{5\over2}e^{-t} +u(t-1){e^{-(t-1)}-e^{-5(t-1)}\over2}\]
(Рисунок Template:index).
Визначення Template:index може бути розширено очевидним чином, щоб охопити випадок, коли функція форсування містить більше одного імпульсу.
Вирішити початкову задачу значення
\[\label{eq:8.7.18} y''+y=1+2\delta(t-\pi)-3\delta(t-2\pi), \quad y(0)=-1,\; y'(0)=2.\]
Рішення
Ми залишаємо це вам, щоб показати, що
\[\hat y= 1-2\cos t+2\sin t\nonumber\]
є рішенням
\[y''+y=1, \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2.\nonumber\]
Так як
\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over s^2+1\right)=\sin t,\nonumber\]
розв'язок Рівняння\ ref {eq:8.7.18} дорівнює
\[\begin{aligned} y&=1-2\cos t+2\sin t+2u(t-\pi)\sin(t-\pi)-3u(t-2\pi)\sin(t-2\pi)\\ &=1-2\cos t+2\sin t-2u(t-\pi)\sin t-3u(t-2\pi)\sin t,\end{aligned}\nonumber\]
або
\[\label{eq:8.7.19} y=\left\{\begin{array}{cl} 1-2\cos t+2\sin t,&0\le t<\pi,\\[4pt] 1-2\cos t,&\pi\le t<2\pi,\\[4pt] 1-2\cos t-3\sin t,&t\ge 2\pi\end{array}\right.\]
(Рисунок Template:index).
