8.1E: Вступ до перетворення Лапласа (вправи)

Q8.1.1

1. Знайти перетворення Лапласа наступних функцій, оцінюючи інтеграл\(F(s)=\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt\).

1. \(t\)
2. \(te^{-t}\)
3. \(\sinh bt\)
4. \(e^{2t}-3e^t\)
5. \(t^2\)

2. Скористайтеся таблицею перетворень Лапласа, щоб знайти перетворення Лапласа наступних функцій.

1. \(\cosh t\sin t\)
2. \(\sin^2t\)
3. \(\cos^2 2t\)
4. \(\cosh^2 t\)
5. \(t\sinh 2t\)
6. \(\sin t\cos t\)
7. \( {\sin\left(t+{\pi\over 4}\right)}\)
8. \(\cos 2t -\cos 3t\)
9. \(\sin 2t +\cos 4t\)

3. Покажіть, що

\[\int_0^\infty e^{-st}e^{t^2} dt=\infty\nonumber \]

для кожного дійсного числа\(s\).

4. Графік наступні кусково неперервні функції і оцінюють\(f(t+)\)\(f(t-)\), причому\(f(t)\) в кожній точці розриву.

1. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} -t, & 0\le t<2,\\ t-4, & 2\le t<3,\\ 1, & t\ge 3.\end{array}\right.\)
2. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t^2+2, & 0 \le t<1,\\4, & t=1,\\ t, & t> 1.\end{array}\right.\)
3. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} \sin t, & 0\le t<\pi/ 2,\\ 2\sin t, &\pi/ 2 \le t<\pi,\\ \cos t, & t\ge\pi.\end{array}\right.\)
4. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}t, & 0\le t<1,\\ 2, & t=1,\\ 2-t, & 1 \le t<2,\\ 3, & t=2,\\ 6, & t> 2.\end{array}\right.\)

5. Знайдіть перетворення Лапласа:

1. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} e^{-t}, & 0\le t<1,\\ e^{-2t}, & t\ge 1.\end{array}\right.\)
2. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} 1, & 0\le t< 4,\\ t, & t\ge 4.\end{array}\right.\)
3. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} t, & 0\le t<1,\\ 1, & t\ge 1.\end{array}\right.\)
4. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} te^t, & 0\le t<1,\\\phantom{t} e^t, & t\ge 1.\end{array}\right.\)

6. Доведіть, що якщо\(f(t)\leftrightarrow F(s)\) тоді\(t^kf(t)\leftrightarrow (-1)^kF^{(k)}(s)\). ПІДКАЗКА: Припустимо, що допустимо диференціювати інтеграл\(\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\) по відношенню до\(s\) під інтегральним знаком.

7. Використовуйте відомі перетворення Лапласа

\[{\cal L}(e^{\lambda t}\sin\omega t)={\omega\over(s-\lambda)^2+\omega^2} \quad\mbox{and }\quad {\cal L}(e^{\lambda t}\cos\omega t)={s-\lambda\over(s-\lambda)^2+\omega^2}\nonumber \]

і результат вправи 8.1.6 знайти\({\cal L}(te^{\lambda t}\cos\omega t)\) і\({\cal L}(te^{\lambda t}\sin\omega t)\).

8. Використовуйте відоме перетворення Лапласа\({\cal L}(1)=1/s\) та результат вправи 8.1.6, щоб показати, що

\[{\cal L}(t^n)={n!\over s^{n+1}},\quad n=\mbox{ integer}.\nonumber \]

9.

1. Показати, що якщо\(\lim_{t\to\infty} e^{-s_0t} f(t)\) існує і є кінцевим,\(f\) то має експоненціальний порядок\(s_0\).
2. Покажіть,\(f\) що якщо має експоненціальний порядок,\(s_0\) то\(\lim_{t \to\infty} e^{-st} f(t)=0\) для всіх\(s>s_0\).
3. Показати,\(f\) що якщо має експоненціальний порядок\(s_0\) і\(g(t)=f(t+\tau)\) де\(\tau>0\),\(g\) то також експоненціального порядку\(s_0\).

10. Згадаймо наступну теорему з числення.

Теорема Template:index

\(g\)Дозволяти інтегрується\([0,T]\) для кожного\(T>0.\) Припустимо, що є функція,\(w\) визначена на деякому інтервалі\([\tau,\infty)\) (з\(\tau\ge 0\)) таким чином, що\(|g(t)|\le w(t)\) для\(t\ge\tau\) і\(\int^\infty_\tau w(t)\,dt\) сходиться. Потім\(\int_0^\infty g(t)\,dt\) сходиться.

Скористайтеся теоремою Template:index, щоб показати, що якщо\(f\) є кусково-неперервним в експоненціальному порядку\(s_0\), то\(f\) для цього\(F(s)\) визначено\([0,\infty)\) перетворення Лапласа\(s>s_0\).

11. Доведіть: Якщо\(f\) є кусково безперервним і експоненціального порядку, то\(\lim_{s\to\infty}F(s)~=~0\).

12. Довести: Якщо\(f\) є безперервним на\([0,\infty)\) і експоненціального порядку\(s_0>0\), то

\[{\cal L}\left(\int^t_0 f(\tau)\,d\tau\right)={1\over s} {\cal L} (f), \quad s>s_0.\nonumber \]ПІДКАЗКА: Використовуйте інтеграцію по частинам, щоб оцінити перетворення ліворуч.

13. Припустимо,\(f\) є кусково безперервним і експоненціального порядку, і що\(\lim_{t\to 0+} f(t)/t\) існує. Покажіть, що

\[{\cal L}\left({f(t)\over t}\right)=\int^\infty_s F(r)\,dr.\nonumber \]ПІДКАЗКА: Використовуйте результати вправ 8.1.6 і 8.1.11.

14. Припустимо\(f\), є кусково-безперервним на\([0,\infty)\).

1. Довести: Якщо інтеграл\(g(t)=\int^t_0 e^{-s_0\tau} f(\tau)\,d\tau\) задовольняє нерівність\(|g(t)|\le M\; (t\ge 0)\), то\(f\) має перетворення Лапласа,\(F(s)\) визначене для\(s>s_0\). ПІДКАЗКА: Використовуйте інтеграцію по частинам, щоб показати, що\[\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt = e^{-(s-s_{0})T}g(T)+(s-s_{0})\int_{0}^{T}e^{-(s-s_{0})t}g(t)dt\nonumber \]
2. Показати, що якщо\({\cal L}(f)\) існує,\(s=s_0\) то він існує для\(s>s_0\). Показати, що функція\[f(t)=te^{t^2}\cos(e^{t^2})\nonumber \] має перетворення Лапласа, визначене для\(s>0\), хоча вона\(f\) не має експоненціального порядку.
3. Показати, що функція\[f(t)=te^{t^2}\cos(e^{t^2})\nonumber \] має перетворення Лапласа, визначене для\(s>0\), хоча вона\(f\) не має експоненціального порядку.

15. Скористайтеся таблицею перетворень Лапласа та результатом вправи 8.1.13, щоб знайти перетворення Лапласа наступних функцій.

1. \(\frac{\sin \omega t}{t}\quad (\omega >0)\)
2. \(\frac{\cos \omega t-1}{t}\quad (\omega >0)\)
3. \(\frac{e^{at}-e^{bt}}{t}\)
4. \(\frac{\cosh t-1}{t}\)
5. \(\frac{\sinh ^{2}t}{t}\)

16. Гамма-функція визначається

\[\Gamma (\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}\,dx,\nonumber \]

які можуть бути показані, щоб сходитися, якщо\(\alpha>0\).

1. Використовуйте інтеграцію по частинам, щоб показати, що\[\Gamma (\alpha+1)=\alpha\Gamma (\alpha),\quad\alpha>0.\nonumber \]
2. Покажіть, що\(\Gamma(n+1)=n!\) якщо\(n=1\)\(2\),,\(3\),...
3. З (b) і таблиця Лапласа перетворюється,\[{\cal L}(t^\alpha)={\Gamma (\alpha+1)\over s^{\alpha+1}},\quad s>0,\nonumber \] якщо\(\alpha\) є невід'ємним цілим числом. Показати, що ця формула дійсна для будь-якого\(\alpha>-1\). ПІДКАЗКА: Змініть змінну інтеграції в інтеграл для\(\Gamma (\alpha +1)\).

17. \(f\)Припустимо, безперервний на\([0, T]\) і\(f(t+T)=f(t)\) для всіх\(t\ge 0\). (Ми говоримо в цьому випадку, що\(f\) є періодичним з періодом\(T\).)

1. Зробіть висновок з теореми 8.1.6, що перетворення\(f\) Лапласа визначено для\(s>0\).
2. Показати\[F(s)={1\over 1-e^{-sT}}\int_0^T e^{-st}f(t)\,dt,\quad s>0.\nonumber \] підказку: Написати\[F(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{nT}^{(n+1)T}e^{-st}f(t)dt\nonumber \] Потім показати це\[\int_{nT}^{(n+1)T}e^{-st}f(t)dt = e^{-nsT}\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt\nonumber \] і згадати формулу для суми геометричного ряду.

18. Використовуйте формулу, наведену у вправі 8.1.17b, щоб знайти перетворення Лапласа заданих періодичних функцій:

1. \( {f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t, & 0\le t<1,\\ 2-t, & 1\le t<2,\end{array}\right.\hskip30pt f(t+2)=f(t), \quad t\ge 0}\)
2. \( {f(t)=\left\{\begin{array}{rl}1, & 0\le t<{1\over 2},\\ -1, & {1\over 2}\le t<1,\end{array}\right. \hskip30pt f(t+1)=f(t),\quad t\ge 0}\)
3. \(f(t)=|\sin t|\)
4. \( {f(t)=\left\{\begin{array}{cl}\sin t, & 0\le t< \pi, \\ 0, &\pi\le t<2\pi,\end{array}\right.\hskip30pt f(t+2\pi)=f(t)}\)