9: Рівняння з частиними похідними
Диференціальні рівняння, що містять частинні похідні з двома або більше незалежними змінними, називаються рівняннями з частинними похідними Ці рівняння представляють фундаментальний науковий інтерес, але їх значно складніше вирішити, як аналітично, так і обчислювально, ніж одиниці. У цьому розділі ми почнемо з виведення двох фундаментальних pdes: рівняння дифузії та хвильового рівняння, і покажемо, як їх розв'язати із заданими граничними умовами, використовуючи техніку поділу змінних. Потім ми обговоримо розв'язки двовимірного рівняння Лапласа в декартових і полярних координатах і закінчимо тривалим обговоренням рівняння Шредінгера, рівняння з частинними похідними, фундаментального як для фізики, так і для хімії.
- 9.1: Виведення рівняння дифузії
- Щоб вивести рівняння дифузії в одному просторовому вимірі, ми уявляємо нерухому рідину в довгій трубі з постійною площею поперечного перерізу. Невелика кількість барвника поміщають в поперечний переріз труби і дають розсіюватися вгору і вниз по трубі. Барвник дифундує з областей більш високої концентрації в області меншої концентрації.