9.1: Виведення рівняння дифузії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61297

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Щоб вивести рівняння дифузії в одному просторовому вимірі, ми уявляємо нерухому рідину в довгій трубі з постійною площею поперечного перерізу. Невелика кількість барвника поміщають в поперечний переріз труби і дають розсіюватися вгору і вниз по трубі. Барвник дифундує з областей більш високої концентрації в області меншої концентрації.

Ми\(u(x, t)\) визначаємо концентрацію барвника в положенні\(x\) уздовж труби, і ми хочемо знайти pde задоволений\(u\). Корисно відстежувати одиниці різних величин, що беруть участь у виведенні, і ми вводимо позначення дужок,\([X]\) щоб означати одиниці виміру\(X\). Відповідними розмірними одиницями, що використовуються при виведенні рівняння дифузії\(m\), є маса\(l\), довжина та час\(t\). Припускаючи, що концентрація барвника рівномірна в кожному поперечному перерізі труби, розміри використовуваної концентрації тут є\([u] = m/l\).

Маса барвника в нескінченно малому обсязі труби, розташованому між положенням\(x_1\) і положенням\(x_2\) в момент часу\(t\)\(x_1 < x < x_2\), з, задається\(\Delta x = x_2 − x_1\) на замовлення\[M=u(x,t)\Delta x.\nonumber\]

Маса барвника в цьому нескінченно малому обсязі труби змінюється дифузією в і з поперечного перерізу кінців, розташованих в положенні\(x_1\) і\(x_2\) (рис.\(\PageIndex{1}\)). Ми припускаємо, що швидкість дифузії пропорційна градієнту концентрації, зв'язку, відомого як закон дифузії Фіка. Закон дифузії Фіка передбачає потік маси\(J\), причому одиниці\([J] = m/t\) поперечного перерізу труби задаються тим, \[\label{eq:1}J=-Du_x,\]де константа дифузії\(D > 0\) має одиниці\([D] = l^2/t\), і ми використовували позначення\(u_x = \partial u/\partial x\). Масовий потік протилежний за знаком градієнта концентрації так, що потік знаходиться від високої концентрації до низької концентрації. Часова швидкість зміни маси барвника між\(x_1\) і\(x_2\) задається різницею між потоком маси в і потоком маси з нескінченно малого поперечного перерізу

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Виведення рівняння дифузії.

обсяг. Позитивний потік маси означає дифузію зліва направо. Тому тимчасова швидкість зміни маси барвника задається шляхом\[\frac{dM}{dt}=J(x_1, t)-J(x_2, t),\nonumber\] або переписування в терміні\(u(x,t)\):

\[u_t(x,t)\Delta x=D(u_x(x_2,t)-u_x(x_1,t)).\nonumber\]

Ділення на\(\Delta x\) і прийняття межі\(\Delta x\to 0\) призводить до рівняння дифузії:

\[u_t=Du_{xx}.\nonumber\]

Відзначимо, що рівняння дифузії ідентично рівнянню теплопровідності, де\(u\) - температура, а постійна\(D\) (зазвичай записується як\(\kappa\)) - теплопровідність.