9.2: Виведення хвильового рівняння

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61312

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Щоб вивести хвильове рівняння в одному просторовому вимірі, ми уявляємо пружну струну, яка зазнає малу амплітуду поперечних коливань. Ми визначаємо,\(u(x, t)\) щоб бути вертикальним зміщенням рядка від\(x\)\(x\) -осі в позиції та часу\(t\), і ми хочемо знайти pde задоволений\(u\). \(\rho\)Визначимо постійну масову щільність струни,\(T\) натяг струни, і\(\theta\) кут між струною і горизонтальною лінією. Розглянуто нескінченно малий струнний елемент, розташований між\(x_1\) і\(x_2\)\(\Delta x = x_2 − x_1\), з, як показано на рис. \(\PageIndex{1}\). Керуючими рівняннями є закон руху Ньютона для горизонтального та вертикального прискорення нашого нескінченно малого струнного елемента, і ми припускаємо, що струнний елемент прискорюється лише по вертикалі. Тому горизонтальні сили повинні врівноважувати, і ми маємо\[T_2\cos\theta_2=T_1\cos\theta_1.\nonumber\]

Вертикальні сили призводять до вертикального прискорення, а з\(u_{tt}\) вертикальним прискоренням елемента струни та\(\rho\sqrt{\Delta x^2+\Delta u^2}=\rho\Delta x\sqrt{1+u_x^2}\) його маси, де ми використовували\(u_x = \Delta u/\Delta x\), точно як\(\Delta x\to 0\), ми маємо\[\rho\Delta x\sqrt{1+u_x^2}u_{tt}=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1.\nonumber\]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Виведення хвильового рівняння.

Тепер ми робимо припущення малих вібрацій\(\Delta u ≪ \Delta x\), тобто або еквівалентно\(u_x ≪ 1\). Зверніть увагу, що\([u] = l\) так, що\(u_x\) є безрозмірним. При такому наближенні до провідного порядку у\(u_x\) нас є\[\cos\theta_2=\cos\theta_1=1,\nonumber\]\[\sin\theta_2=u_x(x_2,t),\quad\sin\theta_1=u_x(x_1,t),\nonumber\] і\[\sqrt{1+u_x^2}=1.\nonumber\]

Тому до провідного порядку\(T_1 = T_2 = T\), (тобто натяг в струні приблизно постійне), і\[\rho\Delta xu_{tt}=T(u_x(x_2,t)-u_x(x_1,t)).\nonumber\]

Ділення на\(\Delta x\) і прийняття межі\(\Delta x\to 0\) призводить до хвильового рівняння\[u_{tt}=c^2u_{xx},\nonumber\] де\(c^2=T/\rho\). Так як\([T]=ml/t^2\) і\([\rho]=m/l\), ми маємо\([c^2]=l^2/t^2\) так, що\(c\) має одиниці швидкості.