8.3: Двовимірні біфуркації

а Роздвоєння Хопфа. Біфуркація Хопфа буває двох типів: надкритична біфуркація Хопфа та субкритична біфуркація Хопфа. Для надкритичної біфуркації Хопфа, коли\(\mu\) збільшується трохи вище нуля, результуюче коливання навколо тепер нестабільної фіксованої точки швидко стабілізується при невеликій амплітуді. Ця стабільна орбіта називається граничним циклом. Для докритичної біфуркації Хопфа, як\(\mu\) збільшується трохи вище нуля, граничний цикл відразу перескакує до великої амплітуди.

Надкритична роздвоєння хопфа

Простий приклад надкритичної біфуркації Хопфа можна навести в полярних координатах:

\[\begin{aligned}\overset{.}{r}&=\mu r-r^3 , \\ \overset{.}{\theta}&=\omega +br^2,\end{aligned}\]де\(x = r \cos\theta\) і\(y = r \sin\theta\). Параметр\(\mu\) контролює стійкість нерухомої точки на початку, параметром\(\omega\) є частота коливань поблизу початку, а параметр\(b\) визначає залежність частоти коливань при більших амплітудних коливаннях. Хоча ми включаємо\(b\) для загальності, наш якісний аналіз цих рівнянь буде незалежним від\(b\).

Рівняння для радіуса має вигляд надкритичного біфуркації вил. Фіксовані точки є\(r_* = 0\) і\(r_* =\sqrt{\mu}\) (зауважте, що\(r > 0\)), і перша фіксована точка стабільна для,\(\mu < 0\) а остання стабільна для\(\mu > 0\). Перехід власних значень якобіана від від'ємної дійсної частини до додатної дійсної частини можна побачити, якщо перетворити ці рівняння в декартові координати. Ми використовуємо\(r^2 = x^2 + y^2\),\[\begin{aligned}\overset{.}{x}&=\overset{.}{r}\cos\theta -\overset{.}{\theta}r\sin\theta \\ &=(\mu r-r^3)\cos\theta -(\omega +br^2)r\sin\theta \\ &=\mu x-(x^2+y^2)x-\omega y-b(x^2+y^2)y \\ &=\mu x-\omega y-(x^2+y^2)(x+by); \\ \overset{.}{y}&=\overset{.}{r}\sin\theta +\overset{.}{\theta}r\cos\theta \\ &=(\mu r-r^3)\sin\theta +(\omega +br^2)r\cos\theta \\ &=\mu y-(x^2+y^2)y+\omega x+b(x^2+y^2)x \\ &=\omega x+\mu y-(x^2+y^2)(y-bx).\end{aligned}\]

Стабільність походження визначається якобійською матрицею, оціненою на початку. Нелінійні долі в рівнянні зникають, а якобійська матриця на початку задана\[J=\left(\begin{array}{cc}\mu &-\omega \\ \omega &\mu\end{array}\right).\nonumber\]

Власні значення є розв'язками\((\mu −\lambda)^2 + \omega^2 = 0\), або\(\lambda = \mu ± i\omega\). Зі\(\mu\) збільшенням від негативних до позитивних значень експоненціально затухаючі коливання змінюються на експоненціально зростаючі коливання. Нелінійні терміни в рівняннях стабілізують зростаючі коливання в граничний цикл.

Підкритична біфуркація Хопфа

Аналогічний приклад докритичної біфуркації Хопфа наведено\[\begin{aligned}\overset{.}{r}&=\mu r+r^3-r^5, \\ \overset{.}{\theta}&=\omega +br^2.\end{aligned}\]

Тут рівняння для радіуса має вигляд докритичного біфуркації вил. Зі\(\mu\) збільшенням від негативних до позитивних значень походження стає нестабільним і експоненціально зростаючі коливання збільшуються, поки радіус не досягне стабільної фіксованої точки далеко від початку. На практиці може бути важко аналітично визначити, чи є біфуркація Хопфа надкритичною або підкритичною від рівнянь руху. Обчислювальне рішення, однак, дозволяє швидко розрізняти два типи.