8.3: Двовимірні біфуркації

а Роздвоєння Хопфа. Біфуркація Хопфа буває двох типів: надкритична біфуркація Хопфа та субкритична біфуркація Хопфа. Для надкритичної біфуркації Хопфа, коли$\mu$ збільшується трохи вище нуля, результуюче коливання навколо тепер нестабільної фіксованої точки швидко стабілізується при невеликій амплітуді. Ця стабільна орбіта називається граничним циклом. Для докритичної біфуркації Хопфа, як$\mu$ збільшується трохи вище нуля, граничний цикл відразу перескакує до великої амплітуди.

Надкритична роздвоєння хопфа

Простий приклад надкритичної біфуркації Хопфа можна навести в полярних координатах:

$$\begin{aligned}\overset{.}{r}&=\mu r-r^3 , \\ \overset{.}{\theta}&=\omega +br^2,\end{aligned}$$ де$x = r \cos\theta$ і$y = r \sin\theta$. Параметр$\mu$ контролює стійкість нерухомої точки на початку, параметром$\omega$ є частота коливань поблизу початку, а параметр$b$ визначає залежність частоти коливань при більших амплітудних коливаннях. Хоча ми включаємо$b$ для загальності, наш якісний аналіз цих рівнянь буде незалежним від$b$.

Рівняння для радіуса має вигляд надкритичного біфуркації вил. Фіксовані точки є$r_* = 0$ і$r_* =\sqrt{\mu}$ (зауважте, що$r > 0$), і перша фіксована точка стабільна для,$\mu < 0$ а остання стабільна для$\mu > 0$. Перехід власних значень якобіана від від'ємної дійсної частини до додатної дійсної частини можна побачити, якщо перетворити ці рівняння в декартові координати. Ми використовуємо$r^2 = x^2 + y^2$,

$$\begin{aligned}\overset{.}{x}&=\overset{.}{r}\cos\theta -\overset{.}{\theta}r\sin\theta \\ &=(\mu r-r^3)\cos\theta -(\omega +br^2)r\sin\theta \\ &=\mu x-(x^2+y^2)x-\omega y-b(x^2+y^2)y \\ &=\mu x-\omega y-(x^2+y^2)(x+by); \\ \overset{.}{y}&=\overset{.}{r}\sin\theta +\overset{.}{\theta}r\cos\theta \\ &=(\mu r-r^3)\sin\theta +(\omega +br^2)r\cos\theta \\ &=\mu y-(x^2+y^2)y+\omega x+b(x^2+y^2)x \\ &=\omega x+\mu y-(x^2+y^2)(y-bx).\end{aligned}$$

Стабільність походження визначається якобійською матрицею, оціненою на початку. Нелінійні долі в рівнянні зникають, а якобійська матриця на початку задана

$$J=\left(\begin{array}{cc}\mu &-\omega \\ \omega &\mu\end{array}\right).\nonumber$$

Власні значення є розв'язками$(\mu −\lambda)^2 + \omega^2 = 0$, або$\lambda = \mu ± i\omega$. Зі$\mu$ збільшенням від негативних до позитивних значень експоненціально затухаючі коливання змінюються на експоненціально зростаючі коливання. Нелінійні терміни в рівняннях стабілізують зростаючі коливання в граничний цикл.

Підкритична біфуркація Хопфа

Аналогічний приклад докритичної біфуркації Хопфа наведено

$$\begin{aligned}\overset{.}{r}&=\mu r+r^3-r^5, \\ \overset{.}{\theta}&=\omega +br^2.\end{aligned}$$

Тут рівняння для радіуса має вигляд докритичного біфуркації вил. Зі$\mu$ збільшенням від негативних до позитивних значень походження стає нестабільним і експоненціально зростаючі коливання збільшуються, поки радіус не досягне стабільної фіксованої точки далеко від початку. На практиці може бути важко аналітично визначити, чи є біфуркація Хопфа надкритичною або підкритичною від рівнянь руху. Обчислювальне рішення, однак, дозволяє швидко розрізняти два типи.