5.4: Переривчасті або імпульсні терміни
Тепер ми вирішуємо деякі більш складні оди з розривними або імпульсивними неоднорідними членами.
Вирішити2..x+.x+2x=u5(t)−u20(t), зx(0)=.x(0)=0
Рішення
Неоднорідний член тут є поступовою, понижуючою функцією, яка є одиницею за інтервалом(5,20) і нулем в іншому місці. Взявши перетворення Лапласа оди за допомогою таблиці 5.1.1,2(s2X(s)−sx(0)−.x(0))+sX(s)−x(0)+2X(s)=e−5ss−e−20ss.
Використовуючи початкові значення і вирішуючи forX(s), знаходимоX(s)=e−5s−e−20ss(2s2+s+2).
Для визначення розв'язкуx(t) нам тепер потрібно знайти обернене перетворення Лапласа. Експоненціальні функції можуть бути розглянуті за допомогою рядка 13 таблиці 5.1.1. ПишемоX(s)=(e−5s−e−20s)H(s), деH(s)=1s(2s2+s+2).
Потім за допомогою рядка 13, у нас є x(t)=u5(t)h(t−5)−u20(t)h(t−20),деh(t)=L−1{H(s)}.
Для визначенняh(t) нам знадобиться часткова часткова частка розширенняH(s). Оскільки дискримінант2s2+s+2 негативний, ми1s(2s2+s+2)=as+bs+c2s2+s+2, отримуємо рівняння1=a(2s2+s+2)+(bs+c); або після прирівнюванняs степеней,2a+b=0,a+c=0,2a=1, поступаючисьa=12b=−1, іc=−12. ТомуH(s)=1/2s−s+122s2+s+2=12(1s−s+12s2+12s+1).
Оглядаючи таблицю 5.1.1, перший член може бути перетворений за допомогою рядка 2, а другий член можна перетворити за допомогою рядків 8 і 9, за умови заповнення квадрата знаменника, а потім масажуємо чисельник. Тобто спочатку завершуємо квадрат:
s2+12s+1=(s+14)2+1516;а далі пишемоs+12s2+12s+1=(s+14)+1√15√1516(s+14)2+1516.
Тому функціюH(s) можна записати якH(s)=12(1s−(s+14)(s+14)2+1516−(1√15)√1516(s+14)2+1516).
Перший член трансформується за допомогою рядка 2, другий - за допомогою рядка 9, а третій член - за допомогою рядка 8. Нарешті ми отримаємо h(t)=12(1−e−t/4(cos(√15t/4)+1√15sin(√15t/4))),, який у поєднанні з(???) дає досить складне рішення дляx(t).
Ми коротко коментуємо, що також можна вирішити цей приклад без використання перетворення Лапласа. Ключова ідея полягає в тому, що обидваx і.x є безперервними функціямиt. Чітко від форми неоднорідного члена і початкових умов,x(t)=0 для0≤t≤5. Потім ми вирішуємо оду між5≤t≤20 неоднорідним терміном, рівним одиниці та початковими умовамиx(5)=.x(5)=0. Для цього потрібно спочатку знайти загальний однорідний розчин, потім знайти конкретне рішення, а потім додати однорідний і конкретний розв'язки і розв'язати дві невідомі константи. Щоб спростити алгебру, зверніть увагу, що найкращим ансац використовувати для пошуку однорідного рішення єx(t)=er(t−5), а неx(t)=ert. Нарешті, ми вирішуємо однорідну оду дляt≥20 використання в якості граничних умов раніше визначених значеньx(20) і.x(20), де ми використовували неперервністьx і.x. Тут найкращий ансац для використання єx(t)=er(t−20). Студент може отримати вигоду, спробувавши це як вправу і намагаючись отримати остаточне рішення, яке погоджується з формою, наданою(???) і(???).
Вирішити2..x+.x+2x=δ(t−5) за допомогоюx(0)=.x(0)=0
Рішення
Тут неоднорідний член - це імпульс в часіt=5. Беручи перетворення Лапласа оди за допомогою таблиці 5.1.1, і застосовуючи початкові умови,(2s2+s+2)X(s)=e−5s, щобX(s)=12e−5s(1s2+12s+1)=12e−5s(1(s+14)2+1516)=12√1615e−5s(√1516(s+14)2+1516).
Зворотне перетворення Лапласа тепер можна обчислити за допомогою рядків 8 і 13 таблиці 5.1.1:
x(t)=2√15u5(t)e−(t−5)/4sin(√15(t−5)/4).
Цікаво вирішити цей приклад без використання перетворення Лапласа. x(t)=0Зрозуміло, що до моменту імпульсу вt=5. Крім того, після імпульсу ода однорідна і може бути вирішена стандартними методами. Єдина складність - визначення початкових умов однорідної оди приt=5+.
Коли неоднорідний член пропорційний дельта-функції, розв'язокx(t) є безперервним через особливість дельта-функції, але похідна розв'язку.x(t) є розривною. Якщо інтегрувати оду другого порядку через сингулярність att=5 і розглянутиϵ→0, виживає лише другий похідний термін лівої сторони, і2∫5+ϵ5−ϵ..xdt=∫5+ϵ5−ϵδ(t−5)dt=1.
І якϵ→0, у нас є.x(5+)−.x(5−)=1/2. Так як.x(5−)=0 відповідними початковими умовами відразу після сили імпульсу єx(5+)=0 і.x(5+)=1/2. Цей результат можна підтвердити за допомогою(???).