5.3: Хевісайд і Дірак Дельта Функції
- Page ID
- 61237
Техніка перетворення Лапласа стає справді корисною при розв'язанні од з розривними або імпульсивними неоднорідними членами, ці терміни зазвичай моделюються за допомогою дельта-функцій Хевісайда або Дірака. Ми обговоримо ці функції по черзі, а також їх перетворення Лапласа.
Функція Хевісайда
Переглянути підручник на YouTube
Функція Heaviside або одиничний крок (див. Рис. \(\PageIndex{1}\)), позначається тут\(u_c(t)\), дорівнює нулю для\(t < c\) і є\(t ≥ c\) одиницею для; тобто \[\label{eq:1}u_c(t)=\left\{\begin{array}{rl}0,&t<c; \\ 1,&t\geq c.\end{array}\right.\]
Точне значення\(u_c(t)\) в одній точці не\(t = c\) повинно мати значення.
Функцію Heaviside можна розглядати як функцію підвищення. Понижуюча функція - одиниця для\(t < c\) та нуль для\(t ≥ c\) —визначається як \[\label{eq:2}1-u_c(t)=\left\{\begin{array}{rl}1,&t<c; \\ 0,&t\geq c.\end{array}\right.\]
Функція «крок вгору», «знижуючий» - нуль для\(t < a\)\(a ≤ t < b\), один для та нуль для\(t ≥ b\) —визначається як \[\label{eq:3}u_a(t)-u_b(t)=\left\{\begin{array}{rl}0,&t<a; \\ 1,&a\leq t<b; \\ 0,&t\geq b.\end{array}\right.\]
Перетворення Лапласа функції Хевізида визначається інтеграцією:
\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{u_c(t)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}u_c(t)dt \\ &=\int_c^{\infty}e^{-st}dt \\ &=\frac{e^{-cs}}{s},\end{aligned}\]і наведено в рядку 12 таблиці 5.1.1.
Функція Хевісайда може бути використана для представлення перекладу функції\(f(t)\) на відстань\(c\) у позитивному\(t\) напрямку. У нас є\[u_c(t)f(t-c)=\left\{\begin{array}{rl}0,&t<c; \\ f(t-c),&t\geq c.\end{array}\right.\nonumber\]
Трансформація Лапласа - це місце\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{u_c(t)f(t-c)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}u_c(t)f(t-c)dt \\ &=\int_c^{\infty}e^{-st}f(t-c)dt \\ &=\int_0^{\infty}e^{-s(t'+c)}f(t')dt' \\ &=e^{-cs}\int_0^{\infty}e^{-st'}f(t')dt' \\ &=e^{-cs}F(s),\end{aligned}\], де ми змінили змінні на\(t' = t − c\). Переклад відстані\(f(t)\)\(c\) в позитивний\(t\) напрямок відповідає множенню\(F(s)\) на експоненціальну\(e^{−cs}\). Цей результат наведено в рядку 13 таблиці 5.1.1.
Кусково визначені неоднорідні члени можуть бути змодельовані за допомогою функцій Хевісайда. Для прикладу розглянемо загальний випадок кускової функції, визначеної на двох інтервалах:
\[f(t)=\left\{\begin{array}{rl}f_1(t),&\text{if }t<c; \\ f_2(t),&\text{if }t\geq c.\end{array}\right.\nonumber\]
Використовуючи функцію Heaviside\(u_c\), функція\(f(t)\) може бути записана в один рядок як\[f(t)=f_1(t)+(f_2(t)-f_1(t))u_c(t).\nonumber\]
Цей приклад можна узагальнити до кускових функцій, визначених на декількох інтервалах.
Як конкретний приклад припустимо, що неоднорідний член представлений лінійно зростаючою функцією, яка потім перетворюється в постійну функцію, як намальовано на рис. \(\PageIndex{2}\). Явно,\[f(t)=\left\{\begin{array}{rl}t,&\text{if }t<1; \\ 1,&\text{if }t\geq 1.\end{array}\right.\nonumber\]
Ми можемо переписати\(f(t)\) за допомогою функції Heaviside\(u_1(t)\):
\[f(t)=t-u_1(t)(t-1);\nonumber\]і ми можемо взяти перетворення Лапласа функції,\(f(t)\) написавши\[F(s)=\mathcal{L}\{t\}-\mathcal{L}\{u_1(t)(t-1)\}.\nonumber\]
Перетворення Лапласа першого члена знайдено з рядка 4 таблиці, а перетворення Лапласа другого члена знайдено з комбінації рядків 13 та рядка 4. У нас є\[F(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{e^{-s}}{s^2}.\nonumber\]
Дірак Дельта Функція
Переглянути підручник на YouTube
Дельта-функція Дірака, позначається як\(\delta (t)\), визначається тим, що для будь-якої функції\(f(t)\),\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt=f(0).\nonumber\]
Звичайний вигляд зрушеної дельта-функції Дірака\(\delta (t − c)\) полягає в тому, що вона дорівнює нулю скрізь\(t = c\), крім at, де вона нескінченна, а інтеграл над дельта-функцією Дірака один. Дельта-функція Дірака технічно не є функцією, але це те, що математики називають розподілом. Тим не менш, в більшості випадків, що становлять практичний інтерес, це можна розглядати як функцію, де фізичні результати отримують після остаточної інтеграції.
Існує багато способів представити дельта-функцію Дірака як межу чітко визначеної функції. Для наших цілей найбільш корисним поданням робить використання поетапної, понижуючої функції\(\eqref{eq:3}\) (див. Рис. \(\PageIndex{3}\)):
\[\delta(t-c)=\underset{\epsilon\to 0}{\lim}\frac{1}{2\epsilon}(u_{c-\epsilon}(t)-u_{c+\epsilon}(t)).\nonumber\]
Перш ніж приймати межу, чітко визначена функція крок вгору, зниження дорівнює нулю, за винятком невеликого інтервалу ширини по\(2\epsilon\) центру\(t = c\), над яким він приймає велике значення\(1/2\epsilon\). Інтеграл цієї функції один, незалежний від значення\(\epsilon\).
Перетворення Лапласа дельта-функції Дірака легко знайти шляхом інтеграції з використанням визначення дельта-функції:
\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{\delta (t-c)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}\delta (t-c)dt \\ &=e^{-cs}.\end{aligned}\]
Цей результат наведено в рядку 14 таблиці 5.1.1.
