5.1: Визначення та властивості

Переглянути підручник на YouTube

Основна ідея полягає в тому, щоб Лапласа перетворити диференціальне рівняння з постійним коефіцієнтом для$x(t)$ більш простого алгебраїчного рівняння для трансформованої Лапласа функції$X(s)$, розв'язати це алгебраїчне рівняння, а потім перетворити$X(s)$ назад в$x(t)$. Правильне визначення перетворення Лапласа та властивостей, яким задовольняє це перетворення, робить можливим цей метод розв'язання.

Експоненціальний ансац використовується при розв'язанні однорідних од з постійним коефіцієнтом, а експоненціальна функція відповідно відіграє ключову роль у визначенні перетворення Лапласа. Перетворення Лапласа$f(t)$, що позначається$F(s) = \mathcal{L}\{ f(t)\}$, визначається інтегральним перетворенням $$\label{eq:1}F(s)\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt.$$

Неправильний інтеграл, даний$\eqref{eq:1}$ розходиться, якщо$f(t)$ росте швидше, ніж$e^{st}$ для великих$t$. Відповідно, деяке обмеження на діапазон$s$ може знадобитися для гарантування зближення$\eqref{eq:1}$, і ми будемо вважати без подальшої доопрацювання, що ці обмеження завжди задовольняються.

Перетворення Лапласа є лінійним перетворенням. У нас є $$\begin{aligned}\mathcal{L}\{c_1f_1(t)+c_2f_2(t)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}(c_1f_1(t)+c_2f_2(t))dt \\ &=c_1\int_0^{\infty}e^{-st}f_1(t)dt+c_2\int_0^{\infty}e^{-st}f_2(t)dt \\ &=c_1\mathcal{L}\{f_1(t)\}+c_2\mathcal{L}\{f_2(t)\}.\end{aligned}$$

Існує також відповідність один до одного між функціями та їх перетвореннями Лапласа. Таким чином, таблиця перетворень Лапласа може бути побудована і використана для пошуку як Лапласа, так і обернених перетворень Лапласа часто зустрічаються функцій. Така таблиця показана в табл$\PageIndex{1}$ (і ця таблиця буде розподілена з іспитами). У таблиці$\PageIndex{1}$,$n$ є натуральним числом. Крім того, загадкові записи для$u_c(t)$ і$\delta (t − c)$ будуть пояснені пізніше в §5.3.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Таблиця трансформаторів Лапласа

$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$	$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">1. $e^{at}f(t)$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle F(s-a)$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">2. $1$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{1}{s}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">3. $e^{at}$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{1}{s-a}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">4. $t^n$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{n!}{s^{n+1}}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">5. $t^ne^{at}$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">6. $\sin bt$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{b}{s^2+b^2}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">7. $\cos bt$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{s}{s^2+b^2}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">8. $e^{at}\sin bt$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{b}{(s-a)^2+b^2}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">9. $e^{at}\cos bt$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">10. $t\sin bt$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{2bs}{(s^2+b^2)^2}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">11. $t\cos by$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{s^2-b^2}{(s^2+b^2)^2}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">12. $u_c(t)$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle\frac{e^{-cs}}{s}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">13. $u_c(t)f(t-c)$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle e^{-cs}F(s)$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">14. $\delta (t-c)$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle e^{-cs}$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">15. $\overset{.}{x}(t)$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle sX(s)-x(0)$
\ (f (t) =\ математичний {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">16. $\overset{..}{s}(t)$	\ (F (s) =\ математичний {L}\ {f (t)\}\) ">$\displaystyle s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0)$

Рядки таблиці$\PageIndex{1}$ можна визначити поєднанням прямої інтеграції та деяких хитрощів. Спочатку ми обчислюємо безпосередньо перетворення Лапласа$e^{at} f(t)$ (рядок 1):

$$\begin{aligned}\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt \\ &=\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)dt \\ &=F(s-a).\end{aligned}$$

Ми також обчислюємо безпосередньо перетворення Лапласа$1$ (рядок 2):

$$\begin{aligned}\mathcal{L}\{1\}&=\int_0^\infty e^{-st}dt \\ &=\left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty \\ &=\frac{1}{s}.\end{aligned}$$

Тепер перетворення Лапласа$e^{at}$ (рядок 3) можна знайти за допомогою цих двох результатів:

$$\begin{align}\mathcal{L}\{e^{at}\}&=\mathcal{L}\{e^{at}\cdot 1\}\nonumber \\ &=\frac{1}{s-a}.\label{eq:2}\end{align}$$

Перетворення$t^n$ (рядок 4) можна знайти шляхом послідовної інтеграції частинами. Більш цікавий метод використовує розширення серії Тейлора для$e^{at}$ і$1/(s − a)$. У нас є $$\begin{align}\mathcal{L}\{e^{at}\}&=\mathcal{L}\left\{\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(at)^n}{n!}\right\}\nonumber \\ &=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a^n}{n!}\mathcal{L}\{t^n\}.\label{eq:3}\end{align}$$

Також, з$s > a$, $$\begin{align}\frac{1}{s-a}&=\frac{1}{s(1-\frac{a}{s})}\nonumber \\ &=\frac{1}{s}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{a}{s}\right)^n\label{eq:4} \\ &=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a^n}{s^{n+1}}.\nonumber\end{align}$$

Використовуючи$\eqref{eq:2}$, і прирівнюючи коефіцієнти степенів$a$ in$\eqref{eq:3}$ і$\eqref{eq:4}$, призводить до рядка 4:

$$\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.\nonumber$$

Перетворення Лапласа$t^n e^{at}$ (рядок 5) можна знайти з рядків 1 і 4:

$$\mathcal{L}\{t^ne^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.\nonumber$$

Перетворення Лапласа$\sin bt$ (рядок 6) можна знайти з перетворення Лапласа$e^{at}$ (рядок 3) за допомогою$a = ib$:

$$\begin{aligned}\mathcal{L}\{\sin bt\}&=\text{Im }\{\mathcal{L}\{e^{ibt}\}\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{1}{s-ib}\right\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{s+ib}{s^2+b^2}\right\} \\ &=\frac{b}{s^2+b^2}.\end{aligned}$$

Аналогічно, перетворення Лапласа$\cos bt$ (рядок 7) $$\begin{aligned}\mathcal{L}\{\cos bt\}&=\text{Re }\{\mathcal{L}\{e^{ibt}\}\} \\ &=\frac{s}{s^2+b^2}.\end{aligned}$$

Перетворення$e^{at} \sin bt$ (рядок 8) можна знайти з перетворення$\sin bt$ (рядок 6) і рядка 1:

$$\mathcal{L}\{e^{at}\sin bt\}=\frac{b}{(s-a)^2+b^2};\nonumber$$ і аналогічно для перетворення$e^{at}\cos bt$:

$$\mathcal{L}\{e^{at}\cos bt\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}.\nonumber$$

Перетворення Лапласа$t \sin bt$ (рядок 10) можна знайти з перетворення Лапласа$te^{at}$ (рядок 5 з$n = 1$) за допомогою$a = ib$:

$$\begin{aligned}\mathcal{L}\{t\sin bt\}&=\text{Im }\{\mathcal{L}\{te^{ibt}\}\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{1}{(s-ib)^2}\right\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{(s+ib)^2}{(s^2+b^2)^2}\right\} \\ &=\frac{2bs}{(s^2+b^2)^2}.\end{aligned}$$

Аналогічно, перетворення Лапласа$t \cos bt$ (рядок 11) $$\begin{aligned}\mathcal{L}\{t\cos bt\}&=\text{Re }\{\mathcal{L}\{te^{ibt}\}\} \\ &=\text{Re }\left\{\frac{(s+ib)^2}{(s^2+b^2)^2}\right\} \\ &=\frac{s^2-b^2}{(s^2+b^2)^2}.\end{aligned}$$

Тепер ми трансформуємо неоднорідну константу коефіцієнта другого порядку, лінійну неоднорідну оду для$x = x(t)$, $$a\overset{..}{x}+b\overset{.}{x}+cx=g(t),\nonumber$$ використовуючи лінійність перетворення Лапласа:

$$a\mathcal{L}\{\overset{.}{x}\}+b\mathcal{L}\{\overset{.}{x}\}+c\mathcal{L}\{x\}=\mathcal{L}\{g\}.\nonumber$$

Визначити перетворення Лапласа$\overset{.}{x}(t)$ (лінія 15) через перетворення Лапласа$x(t)$ та початкових умов$\overset{.}{x}(0)$$X(s) =\mathcal{L}\{x(t)\}$, визначено$x(0)$ та інтегрується $$\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt\nonumber$$ частинами. Ми пускаємо $$\begin{array}{ccc}u=e^{-st}&\quad &dv=\overset{.}{x}dt \\ du=-se^{-st}dt&\quad &v=x.\end{array}\nonumber$$

Тому $$\begin{aligned}\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt&=xe^{-st}]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}xdt \\ &=sX(s)-x(0),\end{aligned}$$ там, де передбачувана конвергенція Лапласа вимагає $$\underset{t\to\infty}{\lim}x(t)e^{-st}=0.\nonumber$$

Аналогічно, перетворення Лапласа$\overset{..}{x}(t)$ (рядок 16) визначається $$\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{..}{x}dt\nonumber$$ шляхом інтеграції частинами та використання тільки що похідного результату для першої похідної. Ми дозволяємо $$\begin{array}{ccc}u=e^{-st}&\quad &dv=\overset{..}{x}dt \\ du=-se^{-st}dt&\quad&v=\overset{.}{x},\end{array}\nonumber$$ так, що $$\begin{aligned}\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{..}{x}dt&=\overset{.}{x}e^{-st}]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt \\ &=-\overset{.}{x}(0)+s(sX(s)-x(0)) \\ &=s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0),\end{aligned}$$ де аналогічно ми припускаємо$\lim_{t\to\infty}\overset{.}{x}(t)e^{-st}=0$.