3.2: Роздільні рівняння

Переглянути підручник на YouTube

Ода першого порядку відокремлюється, якщо її можна записати у формі, $$\label{eq:1}g(y)\frac{dy}{dx}=f(x),\quad y(x_0)=y_0,$$ $g(y)$де функція$f(x)$ не залежить від неї$y$.$x$ Інтеграція від$x_0$ до$x$ результатів $$\int_{x_0}^xg(y(x))y'(x)dx=\int_{x_0}^xf(x)dx.\nonumber$$

Інтеграл зліва може бути перетворений шляхом підстановки$u = y(x),\: du = y'(x)dx$, і зміни нижньої і верхньої межі інтеграції на$y(x_0) = y_0$ і$y(x) = y$. Тому, $$\int_{y_0}^yg(u)du=\int_{x_0}^xf(x)dx,\nonumber$$ і оскільки$u$ є фіктивною змінною інтеграції, ми можемо написати це в еквівалентному вигляді $$\label{eq:2}\int_{y_0}^yg(y)dy=\int_{x_0}^xf(x)dx.$$

Простіша процедура, яка також дає,$\eqref{eq:2}$ - це лікувати$dy/dx$$\eqref{eq:1}$ як дріб. Множення$\eqref{eq:1}$ на$dx$ результати, в $$g(y)dy=f(x)dx,\nonumber$$ якому є відокремлене рівняння з усіма залежними змінними на лівій стороні, а всі незалежні змінні з правого боку. Рівняння$\eqref{eq:2}$ потім призводить безпосередньо після інтеграції.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$, з$y(0)=2$.

Рішення

Спочатку ми маніпулюємо диференціальним рівнянням до форми, $$\label{eq:3}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(3-y),$$ а потім розглядаємо$dy/dx$ так, ніби це дріб для розділення змінних:

$$\frac{dy}{3-y}=\frac{1}{2}dx.\nonumber$$

Ми інтегруємо праву сторону від початкової умови$x = 0$ до$x$ і ліву сторону від початкової умови$y(0) = 2$ до$y$. Відповідно, $$\label{eq:4}\int_2^y\frac{dy}{3-y}=\frac{1}{2}\int_0^xdx.$$

Інтеграли, які$\eqref{eq:4}$ потрібно зробити. Зверніть увагу, що$y(x) < 3$ для скінченного$x$ або інтеграла з лівого боку розходиться. Тому$3 − y > 0$ і інтеграція дає $$\begin{aligned} -\ln (3-y)]_2^y&=\frac{1}{2}x]_0^x, \\ \ln(3-y)&=-\frac{1}{2}x, \\ 3-y&=e^{-\frac{1}{2}x}, \\ y&=3-e^{-\frac{1}{2}x}.\end{aligned}$$

Оскільки це наше перше нетривіальне аналітичне рішення, розумно перевірити наш результат. Ми робимо це, диференціюючи наше рішення:

$$\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} \\ &=\frac{1}{2}(3-y);\end{aligned}$$ і перевірка початкових умов,$y(0) = 3 − e^0 = 2$. Тому наше рішення задовольняє як вихідну оду, так і початкову умову.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2},$ с$y(0)=4$.

Рішення

Це ідентичне диференціальне рівняння, як і раніше, але з різними початковими умовами. Ми перейдемо безпосередньо до кроку інтеграції:

$$\int_4^y\frac{dy}{3-y}=\frac{1}{2}\int_0^xdx.\nonumber$$

Тепер$y(x) > 3$, так що$y − 3 > 0$ і інтеграція дає $$\begin{aligned}-\ln (y-3)]_4^y&=\frac{1}{2}x]_0^x, \\ \ln(y-3)&=-\frac{1}{2}x, \\ y-3&=e^{-\frac{1}{2}x}, \\ y&=3+e^{-\frac{1}{2}x}.\end{aligned}$$

Малюнок$\PageIndex{1}$: Рішення наступного ОДУ:$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$.

Криві розв'язку для діапазону початкових умов представлені на рис. $\PageIndex{1}$. Всі розв'язки мають горизонтальну асимптоту$y = 3$ при якій$dy/dx = 0$. Для$y(0) = y_0$, загальне рішення може бути показано$y(x) = 3 + (y_0 − 3) \text{exp}(−x/2)$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити$\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos 2x}{3+2y}$, з$y(0)=-1$.

1. Для яких$x>0$ значень рішення існує?
2. Для чого значення$x>0$$y(x)$ максимальне?

Рішення

Зверніть увагу, що похідна$y$ розходиться коли$y = −3/2$, і що це може спричинити деякі проблеми з рішенням.

Вирішуємо оду, відокремлюючи змінні та інтегруючи з початкових умов:

$$\begin{aligned} (3+2y)dy&=2\cos 2xdx \\ \int_{-1}^y(3+2y)dy&=2\int_0^x\cos 2xdx \\ 3y+y^2]_{-1}^y&=\sin 2x]_0^x \\ y^2+3y+2-\sin 2x&=0 \\ y_{\pm} &=\frac{1}{2}[-3\pm\sqrt{1+4\sin 2x}].\end{aligned}$$

Розв'язування квадратного рівняння для$y$ ввів помилковий розв'язок, який не задовольняє початковим умовам. Ми тестуємо:

$$y_{\pm}(0)=\frac{1}{2}[-3\pm 1]=\left\{\begin{array}{c}-1; \\ -2.\end{array}\right.\nonumber$$

Тільки$+$ корінь задовольняє початковій умові, так що унікальним рішенням оди і початкової умови є $$\label{eq:5} y=\frac{1}{2}[-3+\sqrt{1+4\sin 2x}].$$

Щоб визначити (i) значення,$x > 0$ для яких існує рішення, ми вимагаємо $$1+4\sin 2x\geq 0,\nonumber$$ або $$\label{eq:6}\sin 2x\geq -\frac{1}{4}.$$

Зверніть увагу, що в$x = 0$, у нас є$\sin 2x = 0$; в$x = π/4$,$\sin 2x = 1;$ у нас є$x = π/2$, ми маємо$\sin 2x = 0$; і в$x = 3π/4$, у нас є$\sin 2x = −1$. Тому нам потрібно визначити значення$x$ такого$\sin 2x = −1/4$, що, з$x$ в діапазоні$π/2 < x < 3π/4$. Розв'язок оди буде існувати для всіх$x$ між нулем і цим значенням.

Щоб вирішити$\sin 2x = −1/4$ для$x$ в інтервалі$π/2 < x < 3π/4$, потрібно згадати визначення$\text{arcsin}$, або$\sin^{−1}$, як це знайдено на типовому науковому калькуляторі. Зворотна функція $$f(x)=\sin x,\quad -\pi /2\leq x\leq \pi /2\nonumber$$ позначається символом$\text{arcsin}$. Перше рішення з$x > 0$ рівняння$\sin 2x = −1/4$ розміщує$2x$ в інтервалі$(π, 3π/2)$, тому, щоб інвертувати це рівняння, використовуючи те, що$\text{arcsine}$ нам потрібно застосувати ідентичність$\sin (π − x) = \sin x$, і переписати$\sin 2x = −1/4$ як$\sin (π − 2x) = −1/4$. Розв'язок цього рівняння можна потім знайти, взявши$\text{arcsine}$, і є $$\pi -2x=\text{arcsin}(-1/4),\nonumber$$ або $$x=\frac{1}{2}\left(\pi +\text{arcsin}\frac{1}{4}\right).\nonumber$$

Тому рішення існує для того$0 ≤ x ≤ (π + \text{arcsin} (1/4)) /2 = 1.6971\ldots$, де ми використовували калькулятор значення (обчислення в радіанах), щоб знайти$\text{arcsin}(0.25) = 0.2527\ldots$. На$(x, y) = (1.6971\ldots , −3/2)$ значенні крива рішення закінчується і$dy/dx$ стає нескінченною.

Щоб визначити (ii) значення$x$ при якому$y = y(x)$ максимальне, досліджуємо$\eqref{eq:5}$ безпосередньо. Значення$y$ буде максимальним, коли$\sin 2x$ прийме його максимальне значення за інтервал, де існує рішення. Це буде коли$2x = π/2$, або$x = π/4 = 0.7854\ldots$.

Графік роботи$y=y(x)$ наведено на рис.3.3.1.