3.2: Роздільні рівняння
Переглянути підручник на YouTube
Ода першого порядку відокремлюється, якщо її можна записати у формі, g(y)dydx=f(x),y(x0)=y0,g(y)де функціяf(x) не залежить від неїy.x Інтеграція відx0 доx результатів∫xx0g(y(x))y′(x)dx=∫xx0f(x)dx.
Інтеграл зліва може бути перетворений шляхом підстановкиu=y(x),du=y′(x)dx, і зміни нижньої і верхньої межі інтеграції наy(x0)=y0 іy(x)=y. Тому,∫yy0g(u)du=∫xx0f(x)dx, і оскількиu є фіктивною змінною інтеграції, ми можемо написати це в еквівалентному вигляді ∫yy0g(y)dy=∫xx0f(x)dx.
Простіша процедура, яка також дає,(???) - це лікуватиdy/dx(???) як дріб. Множення(???) наdx результати, вg(y)dy=f(x)dx, якому є відокремлене рівняння з усіма залежними змінними на лівій стороні, а всі незалежні змінні з правого боку. Рівняння(???) потім призводить безпосередньо після інтеграції.
Вирішитиdydx+12y=32, зy(0)=2.
Рішення
Спочатку ми маніпулюємо диференціальним рівнянням до форми, dydx=12(3−y),а потім розглядаємоdy/dx так, ніби це дріб для розділення змінних:
dy3−y=12dx.
Ми інтегруємо праву сторону від початкової умовиx=0 доx і ліву сторону від початкової умовиy(0)=2 доy. Відповідно, ∫y2dy3−y=12∫x0dx.
Інтеграли, які(???) потрібно зробити. Зверніть увагу, щоy(x)<3 для скінченногоx або інтеграла з лівого боку розходиться. Тому3−y>0 і інтеграція дає−ln(3−y)]y2=12x]x0,ln(3−y)=−12x,3−y=e−12x,y=3−e−12x.
Оскільки це наше перше нетривіальне аналітичне рішення, розумно перевірити наш результат. Ми робимо це, диференціюючи наше рішення:
dydx=12e−12x=12(3−y);і перевірка початкових умов,y(0)=3−e0=2. Тому наше рішення задовольняє як вихідну оду, так і початкову умову.
Вирішитиdydx+12y=32, сy(0)=4.
Рішення
Це ідентичне диференціальне рівняння, як і раніше, але з різними початковими умовами. Ми перейдемо безпосередньо до кроку інтеграції:
∫y4dy3−y=12∫x0dx.
Теперy(x)>3, так щоy−3>0 і інтеграція дає−ln(y−3)]y4=12x]x0,ln(y−3)=−12x,y−3=e−12x,y=3+e−12x.

Криві розв'язку для діапазону початкових умов представлені на рис. 3.2.1. Всі розв'язки мають горизонтальну асимптотуy=3 при якійdy/dx=0. Дляy(0)=y0, загальне рішення може бути показаноy(x)=3+(y0−3)exp(−x/2).
Вирішитиdydx=2cos2x3+2y, зy(0)=−1.
- Для якихx>0 значень рішення існує?
- Для чого значенняx>0y(x) максимальне?
Рішення
Зверніть увагу, що похіднаy розходиться колиy=−3/2, і що це може спричинити деякі проблеми з рішенням.
Вирішуємо оду, відокремлюючи змінні та інтегруючи з початкових умов:
(3+2y)dy=2cos2xdx∫y−1(3+2y)dy=2∫x0cos2xdx3y+y2]y−1=sin2x]x0y2+3y+2−sin2x=0y±=12[−3±√1+4sin2x].
Розв'язування квадратного рівняння дляy ввів помилковий розв'язок, який не задовольняє початковим умовам. Ми тестуємо:
y±(0)=12[−3±1]={−1;−2.
Тільки+ корінь задовольняє початковій умові, так що унікальним рішенням оди і початкової умови є y=12[−3+√1+4sin2x].
Щоб визначити (i) значення,x>0 для яких існує рішення, ми вимагаємо1+4sin2x≥0, або sin2x≥−14.
Зверніть увагу, що вx=0, у нас єsin2x=0; вx = π/4,\sin 2x = 1; у нас єx = π/2, ми маємо\sin 2x = 0; і вx = 3π/4, у нас є\sin 2x = −1. Тому нам потрібно визначити значенняx такого\sin 2x = −1/4, що, зx в діапазоніπ/2 < x < 3π/4. Розв'язок оди буде існувати для всіхx між нулем і цим значенням.
Щоб вирішити\sin 2x = −1/4 дляx в інтерваліπ/2 < x < 3π/4, потрібно згадати визначення\text{arcsin}, або\sin^{−1}, як це знайдено на типовому науковому калькуляторі. Зворотна функціяf(x)=\sin x,\quad -\pi /2\leq x\leq \pi /2\nonumber позначається символом\text{arcsin}. Перше рішення зx > 0 рівняння\sin 2x = −1/4 розміщує2x в інтервалі(π, 3π/2), тому, щоб інвертувати це рівняння, використовуючи те, що\text{arcsine} нам потрібно застосувати ідентичність\sin (π − x) = \sin x, і переписати\sin 2x = −1/4 як\sin (π − 2x) = −1/4. Розв'язок цього рівняння можна потім знайти, взявши\text{arcsine}, і є\pi -2x=\text{arcsin}(-1/4),\nonumber абоx=\frac{1}{2}\left(\pi +\text{arcsin}\frac{1}{4}\right).\nonumber
Тому рішення існує для того0 ≤ x ≤ (π + \text{arcsin} (1/4)) /2 = 1.6971\ldots, де ми використовували калькулятор значення (обчислення в радіанах), щоб знайти\text{arcsin}(0.25) = 0.2527\ldots. На(x, y) = (1.6971\ldots , −3/2) значенні крива рішення закінчується іdy/dx стає нескінченною.
Щоб визначити (ii) значенняx при якомуy = y(x) максимальне, досліджуємо\eqref{eq:5} безпосередньо. Значенняy буде максимальним, коли\sin 2x прийме його максимальне значення за інтервал, де існує рішення. Це буде коли2x = π/2, абоx = π/4 = 0.7854\ldots.
Графік роботиy=y(x) наведено на рис.3.3.1.