3.3: Лінійні рівняння

Переглянути підручник на YouTube

Лінійне диференціальне рівняння першого порядку (лінійне в$y$ та його похідна) може бути записано у вигляді

$$\label{eq:1}\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x),$$ з початковою умовою$y(x_0) = y_0$. Лінійні рівняння першого порядку можуть бути інтегровані за допомогою інтегруючого коефіцієнта$\mu(x)$. Множимо$\eqref{eq:1}$ на$\mu(x)$, $$\label{eq:2}\mu (x)\left[\frac{dy}{dx}+p(x)y\right]=\mu (x)g(x),$$ і намагаємося визначити$\mu (x)$ так, щоб $$\label{eq:3}\mu (x)\left[\frac{dy}{dx}+p(x)y\right]=\frac{d}{dx}[\mu (x)y].$$

Малюнок$\PageIndex{1}$: Рішення наступного ОДА:$(3+2y)y'=2\cos 2x$,$y(0)=-1$.

Рівняння$\eqref{eq:2}$ тоді стає

$$\label{eq:4}\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)g(x).$$

$\eqref{eq:4}$Рівняння легко інтегрується за допомогою$\mu (x_0)=\mu_0$ і$y(x_0)=y_0$:

$$\mu (x)y-\mu_0 y_0=\int_{x_0}^x\mu (x)g(x)dx,\nonumber$$ або $$\label{eq:5}y=\frac{1}{\mu (x)}\left(\mu_0y_0+\int_{x_0}^x\mu(x)g(x)dx\right).$$

Залишилося визначитися$\mu(x)$ з$\eqref{eq:3}$. Диференціювання та розширення$\eqref{eq:3}$ врожайності

$$\mu\frac{dy}{dx}+p\mu y=\frac{d\mu}{dx}y+\mu\frac{dy}{dx};\nonumber$$ та при спрощенні, $$\label{eq:6}\frac{d\mu}{dx}=p\mu.$$

$\eqref{eq:6}$Рівняння роздільне і може бути інтегровано:

$$\begin{aligned}\int_{\mu_0}^{\mu}\frac{d\mu}{\mu}&=\int_{x_0}^xp(x)dx, \\ \ln\frac{\mu}{\mu_0}&=\int_{x_0}^xp(x)dx, \\ \mu(x)&=\mu_0\exp\left(\int_{x_0}^xp(x)dx\right).\end{aligned}$$

Зверніть увагу, що оскільки$\mu_0$ скасовується з$\eqref{eq:5}$, його прийнято призначати$\mu_0 = 1$. Потім рішення для$\eqref{eq:1}$ задоволення початкової умови$y(x_0) = y_0$ зазвичай пишеться як

$$y=\frac{1}{\mu(x)}\left(y_0+\int_{x_0}^x\mu(x)g(x)dx\right),\nonumber$$ з $$\mu(x)=\exp\left(\int_{x_0}^xp(x)dx\right)\nonumber$$ інтегруючим фактором. Цей важливий результат знаходить часте застосування в прикладній математиці.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити$\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}$, з$y(0)=3/4$.

Рішення

Зверніть увагу, що це рівняння не є роздільним. З$p(x) = 2$ і$g(x) = e^{−x}$, у нас

$$\begin{aligned}\mu(x)&=\exp\left(\int_0^x 2dx\right) \\ &=e^{2x},\end{aligned}$$ і $$\begin{aligned}y&=e^{-2x}\left(\frac{3}{4}+\int_0^x e^{2x}e^{-x}dx\right) \\ &=e^{-2x}\left(\frac{3}{4}+\int_0^x e^xdx\right) \\ &=e^{-2x}\left(\frac{3}{4}+(e^x-1)\right) \\ &=e^{-2x}\left(e^x-\frac{1}{4}\right) \\ &=e^{-x}\left(1-\frac{1}{4}e^{-x}\right).\end{aligned}$$

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити$\frac{dy}{dx}-2xy=x$, з$y(0)=0$.

Рішення

Це рівняння роздільне, і ми вирішуємо його двома способами. По-перше, за допомогою інтегруючого фактора з$p(x) = −2x$ і$g(x) = x$:

$$\begin{aligned}\mu(x)&=\exp\left(-2\int_0^x xdx\right) \\ &=e^{-x^2},\end{aligned}$$ і $$y=e^{x^2}\int_0^x xe^{-x^2}dx.\nonumber$$

Інтеграл можна зробити шляхом підміни на$u = x^2$,$du = 2xdx$:

$$\begin{aligned}\int_0^x xe^{-x^2}dx&=\frac{1}{2}\int_0^{x^2}e^{-u}du \\ &=-\frac{1}{2}e^{-u}]_0^{x^2}\\ &=\frac{1}{2}\left(1-e^{-x^2}\right).\end{aligned}$$

Тому,

$$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}e^{x^2}\left(1-e^{-x^2}\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}-1\right).\end{aligned}$$

По-друге, ми інтегруємо, розділяючи змінні:

$$\begin{aligned}\frac{dy}{dx}-2xy&=x, \\ \frac{dy}{dx}&=x(1+2y), \\ \int_0^y\frac{dy}{1+2y}&=\int_0^x xdx, \\ \frac{1}{2}\ln (1+2y)&=\frac{1}{2}x^2, \\ 1+2y&=e^{x^2}, \\ y&=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}-1\right).\end{aligned}$$

Результати двох різних методів вирішення однакові, а вибір методу - це особиста перевага.