3.1: Метод Ейлера

Переглянути підручник на YouTube

Хоча не завжди вдається знайти аналітичне рішення (3.1) для$y = y(x)$, завжди можна визначити унікальне числове рішення, задане початкове значення$y(x_0) = y_0$, і за умови$f(x, y)$ є добре поведеною функцією. Диференціальне рівняння (3.1) дає нам нахил$f(x_0, y_0)$ дотичної лінії до кривої розв'язку$y = y(x)$ в точці$(x_0, y_0)$. При невеликому розмірі$∆x = x_1 − x_0$ кроку початкова умова$(x_0, y_0)$ може бути маршована вперед$(x_1, y_1)$ по дотичній лінії методом Ейлера (див. Рис. $\PageIndex{1}$) $$y_1=y_0+\Delta xf(x_0, y_0).\nonumber$$

$(x_1, y_1)$Потім це рішення стає новою початковою умовою і марширується вперед$(x_2, y_2)$ вздовж щойно визначеної дотичної лінії з нахилом, заданим$f(x_1, y_1)$. Для досить$∆x$ малих числове рішення сходиться до точного рішення.

Малюнок$\PageIndex{1}$:$dy/dx = f(x, y),$$y(x_0) = y_0,$ Диференціальне рівняння інтегровано з$x = x_1$ використанням методу Ейлера$y_1 = y_0 + ∆x f(x_0, y_0)$, с$∆x = x_1 − x_0$.