1.12: Серія Тейлора

Серія Тейлора функції$f(x)$ про точку$x = a$ - це представлення степеневого ряду,$f(x)$ розроблене таким чином, що всі похідні$f(x)$ at$a$ збігаються з усіма похідними степеневого ряду. Не турбуючись про конвергенцію тут, ми маємо $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\nonumber$$

Зверніть увагу, що перший термін у серії потужності збігається$f(a)$, всі інші терміни зникають, другий термін збігається$f'(a)$, всі інші терміни зникають і т.д. зазвичай серія Тейлора розробляється с$a = 0$. Ми також будемо використовувати серію Тейлора в дещо іншій формі, з$x = x_* + \epsilon$ і$a = x_*$:

$$f(x_*+\epsilon)=f(x_*)+f'(x_*)\epsilon+\frac{f''(x_*)}{2!}\epsilon^2+\frac{f'''(x_*)}{3!}\epsilon^3+\cdots\nonumber$$

Інший спосіб перегляду цієї серії - це те$g(\epsilon ) = f(x_* + \epsilon)$, що розширено$\epsilon = 0$.

Серії Тейлора, які зазвичай використовуються, включають $$\begin{aligned} e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots , \\ \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots , \\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots , \\ \frac{1}{1+x}&=1-x+x^2-\cdots ,\quad\text{for }|x|<1, \\ \ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ,\quad\text{for }|x|<1.\end{aligned}$$