Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.12: Серія Тейлора

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61324

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Серія Тейлора функції\(f(x)\) про точку\(x = a\) - це представлення степеневого ряду,\(f(x)\) розроблене таким чином, що всі похідні\(f(x)\) at\(a\) збігаються з усіма похідними степеневого ряду. Не турбуючись про конвергенцію тут, ми маємо\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\nonumber\]

    Зверніть увагу, що перший термін у серії потужності збігається\(f(a)\), всі інші терміни зникають, другий термін збігається\(f'(a)\), всі інші терміни зникають і т.д. зазвичай серія Тейлора розробляється с\(a = 0\). Ми також будемо використовувати серію Тейлора в дещо іншій формі, з\(x = x_* + \epsilon\) і\(a = x_*\):

    \[f(x_*+\epsilon)=f(x_*)+f'(x_*)\epsilon+\frac{f''(x_*)}{2!}\epsilon^2+\frac{f'''(x_*)}{3!}\epsilon^3+\cdots\nonumber\]

    Інший спосіб перегляду цієї серії - це те\(g(\epsilon ) = f(x_* + \epsilon)\), що розширено\(\epsilon = 0\).

    Серії Тейлора, які зазвичай використовуються, включають\[\begin{aligned} e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots , \\ \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots , \\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots , \\ \frac{1}{1+x}&=1-x+x^2-\cdots ,\quad\text{for }|x|<1, \\ \ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ,\quad\text{for }|x|<1.\end{aligned}\]