Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.13: Функції декількох змінних

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61336

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для простоти розглядається функція\(f = f(x, y)\) двох змінних, хоча результати легко узагальнюються. Часткова похідна\(f\) щодо\(x\) визначається як\[\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\nonumber\] і аналогічно для часткової похідної по\(f\) відношенню до\(y\). Взяти часткову\(f\) похідну щодо\(x\), скажімо, взяти похідну\(f\) від щодо\(x\) утримування\(y\) фіксованою. Як приклад розглянемо\[f(x,y)=2x^3y^2+y^3.\nonumber\]

    У нас є\[\frac{\partial f}{\partial x}=6x^2y^2,\quad\frac{\partial f}{\partial y}=4x^3y+3y^2.\nonumber\]

    Другі похідні визначаються як похідні перших похідних, тому у нас є\[\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=12xy^2,\quad \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=4x^3+6y;\nonumber\] і змішані другі часткові похідні\[\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=12x^2y,\quad\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}=12x^2y.\nonumber\]

    Взагалі, змішані часткові похідні не залежать від порядку, в якому беруться похідні.

    Часткові похідні необхідні для застосування правила ланцюга. Розглянемо\[df=f(x+dx, y+dy)-f(x,y).\nonumber\]

    Ми можемо писати\(df\) як\[\begin{aligned} df&= [ f(x + dx, y + dy) − f(x, y + dy)] + [ f(x, y + dy) − f(x, y)] \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.\end{aligned}\]

    Якщо хтось\(f = f(x(t), y(t)),\) сказав, то\[\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.\nonumber\]

    А якщо\(f = f(x(r, θ), y(r, θ)),\) сказати, то\[\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},\quad\frac{\partial f}{\partial\theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta}.\nonumber\]

    Також може бути розроблена серія Тейлора функції декількох змінних. Тут всі часткові похідні\(f(x, y)\) at\((a, b)\) збігаються з усіма частковими похідними степеневого ряду. З позначенням у\[f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\quad f_y=\frac{\partial f}{\partial y},\quad f_{xx}=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y},\quad f_{yy}=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2},\quad\text{etc.,}\nonumber\] нас є\[\begin{aligned} f(x,y)&=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) \\ &+\frac{1}{2!}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\right)+\cdots\end{aligned}\]