1.13: Функції декількох змінних

Для простоти розглядається функція$f = f(x, y)$ двох змінних, хоча результати легко узагальнюються. Часткова похідна$f$ щодо$x$ визначається як $$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\nonumber$$ і аналогічно для часткової похідної по$f$ відношенню до$y$. Взяти часткову$f$ похідну щодо$x$, скажімо, взяти похідну$f$ від щодо$x$ утримування$y$ фіксованою. Як приклад розглянемо $$f(x,y)=2x^3y^2+y^3.\nonumber$$

У нас є $$\frac{\partial f}{\partial x}=6x^2y^2,\quad\frac{\partial f}{\partial y}=4x^3y+3y^2.\nonumber$$

Другі похідні визначаються як похідні перших похідних, тому у нас є $$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=12xy^2,\quad \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=4x^3+6y;\nonumber$$ і змішані другі часткові похідні $$\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=12x^2y,\quad\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}=12x^2y.\nonumber$$

Взагалі, змішані часткові похідні не залежать від порядку, в якому беруться похідні.

Часткові похідні необхідні для застосування правила ланцюга. Розглянемо $$df=f(x+dx, y+dy)-f(x,y).\nonumber$$

Ми можемо писати$df$ як $$\begin{aligned} df&= [ f(x + dx, y + dy) − f(x, y + dy)] + [ f(x, y + dy) − f(x, y)] \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.\end{aligned}$$

Якщо хтось$f = f(x(t), y(t)),$ сказав, то $$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.\nonumber$$

А якщо$f = f(x(r, θ), y(r, θ)),$ сказати, то $$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},\quad\frac{\partial f}{\partial\theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta}.\nonumber$$

Також може бути розроблена серія Тейлора функції декількох змінних. Тут всі часткові похідні$f(x, y)$ at$(a, b)$ збігаються з усіма частковими похідними степеневого ряду. З позначенням у $$f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\quad f_y=\frac{\partial f}{\partial y},\quad f_{xx}=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y},\quad f_{yy}=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2},\quad\text{etc.,}\nonumber$$ нас є $$\begin{aligned} f(x,y)&=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) \\ &+\frac{1}{2!}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\right)+\cdots\end{aligned}$$