1.7: Фундаментальна теорема числення

Переглянути підручник на YouTube

Використовуючи визначення похідної, розмежовуємо наступний інтеграл: $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\int_a^x f(s)ds&=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{\int_a^{x+h} f(s)ds-\int_a^x f(s)ds}{h} \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{\int_x^{x+h} f(s)ds}{h} \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{hf(x)}{h} \\ &=f(x).\end{aligned}$$

Цей результат називається фундаментальною теоремою числення і забезпечує зв'язок між диференціацією та інтеграцією.

Фундаментальна теорема вчить нас інтегрувати функції. $F(x)$Дозволяти функція така, що$F' (x) = f(x)$. Ми говоримо, що$F(x)$ є антипохідним від$f(x)$. Тоді з фундаментальної теореми і того факту, що похідна константи дорівнює нулю, $$F(x)=\int_a^x f(s)ds+c.\nonumber$$

Тепер,$F(a) = c$ і$F(b) =\int_a^b f(s)ds + F(a)$. Тому фундаментальна теорема показує нам, як інтегрувати функцію за$f(x)$ умови, що ми можемо знайти її антипохідну:

$$\label{eq:1}\int_a^b f(s)ds=F(b)-F(a).$$

На жаль, знайти антипохідні набагато складніше, ніж знайти похідні, і дійсно, найскладніші функції неможливо інтегрувати аналітично.

Ми також можемо вивести дуже важливий результат$\eqref{eq:1}$ безпосередньо з визначення похідної (1.3.1) та визначеного інтеграла (1.6.1). Ми побачимо, що зручно вибирати однакові h в обох межах. З$F'(x) = f(x)$, у нас є $$\begin{aligned} \int_a^b f(s)ds&=\int_a^b F'(s)ds \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N F'(a+(n-1)h)\cdot h \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N \frac{F(a+nh)-F(a+(n-1)h)}{h}\cdot h \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N F(a+nh)-F(a+(n-1)h).\end{aligned}$$

Останній вислів має цікаву будову. Всі значення$F(x)$ оцінюються в точках, що лежать між кінцевими точками$a$ і$b$ скасовують один одного в послідовні терміни. Тільки значення$−F(a)$ виживає тоді$n = 1$, а значення$+F(b)$ коли$n = N$, поступаючись знову$\eqref{eq:1}$.