1.7: Фундаментальна теорема числення

Переглянути підручник на YouTube

Використовуючи визначення похідної, розмежовуємо наступний інтеграл:\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}\int_a^x f(s)ds&=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{\int_a^{x+h} f(s)ds-\int_a^x f(s)ds}{h} \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{\int_x^{x+h} f(s)ds}{h} \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{hf(x)}{h} \\ &=f(x).\end{aligned}\]

Цей результат називається фундаментальною теоремою числення і забезпечує зв'язок між диференціацією та інтеграцією.

Фундаментальна теорема вчить нас інтегрувати функції. \(F(x)\)Дозволяти функція така, що\(F' (x) = f(x)\). Ми говоримо, що\(F(x)\) є антипохідним від\(f(x)\). Тоді з фундаментальної теореми і того факту, що похідна константи дорівнює нулю,\[F(x)=\int_a^x f(s)ds+c.\nonumber\]

Тепер,\(F(a) = c\) і\(F(b) =\int_a^b f(s)ds + F(a)\). Тому фундаментальна теорема показує нам, як інтегрувати функцію за\(f(x)\) умови, що ми можемо знайти її антипохідну:

\[\label{eq:1}\int_a^b f(s)ds=F(b)-F(a).\]

На жаль, знайти антипохідні набагато складніше, ніж знайти похідні, і дійсно, найскладніші функції неможливо інтегрувати аналітично.

Ми також можемо вивести дуже важливий результат\(\eqref{eq:1}\) безпосередньо з визначення похідної (1.3.1) та визначеного інтеграла (1.6.1). Ми побачимо, що зручно вибирати однакові h в обох межах. З\(F'(x) = f(x)\), у нас є\[\begin{aligned} \int_a^b f(s)ds&=\int_a^b F'(s)ds \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N F'(a+(n-1)h)\cdot h \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N \frac{F(a+nh)-F(a+(n-1)h)}{h}\cdot h \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N F(a+nh)-F(a+(n-1)h).\end{aligned}\]

Останній вислів має цікаву будову. Всі значення\(F(x)\) оцінюються в точках, що лежать між кінцевими точками\(a\) і\(b\) скасовують один одного в послідовні терміни. Тільки значення\(−F(a)\) виживає тоді\(n = 1\), а значення\(+F(b)\) коли\(n = N\), поступаючись знову\(\eqref{eq:1}\).