1.6: Визначення інтеграла

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61358

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Певний інтеграл функції\(f(x) > 0\) від\(x = a\) до\(b\)\((b > a)\) визначається як площа, обмежена вертикальними лініями\(x = a,\: x = b\),\(x\) -віссю і кривою\(y = f(x)\). Ця «площа під кривою» виходить межею. Спочатку площа наближається сумою площ прямокутника. По-друге, інтеграл визначається як межа площ прямокутника, оскільки ширина кожного окремого прямокутника йде до нуля, а кількість прямокутників - до нескінченності. Ця отримана нескінченна сума називається Сумою Рімана, і ми визначаємо, \[\label{eq:1}\int_a^b f(x)dx=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^{N} f(a+(n-1)h)\cdot h,\]де\(N = (b − a)/h\) число членів у сумі. Символи на лівій стороні\(\eqref{eq:1}\) читаються як «інтеграл від\(a\) до\(b\)\(f\) з\(x\) ді»\(x\). Визначення Riemann Sum поширюється на всі значення\(a\) і\(b\) і для всіх значень\(f(x)\) (позитивних і негативних). Відповідно,\[\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx\quad\text{and}\quad\int_a^b(-f(x))dx=-\int_a^bf(x)dx.\nonumber\]

Також, в\[\int_a^c f(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^c f(x)dx,\nonumber\] якому зазначено\(a < b < c\), коли\(f(x) > 0\) і що загальна площа дорівнює сумі її частин