1.6: Визначення інтеграла

Певний інтеграл функції$f(x) > 0$ від$x = a$ до$b$$(b > a)$ визначається як площа, обмежена вертикальними лініями$x = a,\: x = b$,$x$ -віссю і кривою$y = f(x)$. Ця «площа під кривою» виходить межею. Спочатку площа наближається сумою площ прямокутника. По-друге, інтеграл визначається як межа площ прямокутника, оскільки ширина кожного окремого прямокутника йде до нуля, а кількість прямокутників - до нескінченності. Ця отримана нескінченна сума називається Сумою Рімана, і ми визначаємо, $$\label{eq:1}\int_a^b f(x)dx=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^{N} f(a+(n-1)h)\cdot h,$$ де$N = (b − a)/h$ число членів у сумі. Символи на лівій стороні$\eqref{eq:1}$ читаються як «інтеграл від$a$ до$b$$f$ з$x$ ді»$x$. Визначення Riemann Sum поширюється на всі значення$a$ і$b$ і для всіх значень$f(x)$ (позитивних і негативних). Відповідно, $$\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx\quad\text{and}\quad\int_a^b(-f(x))dx=-\int_a^bf(x)dx.\nonumber$$

Також, в $$\int_a^c f(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^c f(x)dx,\nonumber$$ якому зазначено$a < b < c$, коли$f(x) > 0$ і що загальна площа дорівнює сумі її частин