1.5: Трикутники

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.4: Паралельні лінії
- 1.6: Технічні характеристики трикутника

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Трикутник утворюється, коли три прямих відрізка пов'язані частиною площини. Відрізки лінії називаються сторонами трикутника. Точка, де зустрічаються дві сторони, називається вершиною трикутника, а утворений кут називається кутом трикутника. Символ трикутника є $\triangle$ .

Трикутник на малюнку $\PageIndex{1}$ позначається символом $\triangle ABC$ ( $\triangle BCA$ або або і $\triangle CAB$ т.д.).

Його сторони є $AB$ , $AC$ , і $BC$ .
Його вершини є $A, B$ , і $C$ .
Його кути є $\angle A$ , $\angle B$ , і $\angle C$ .

2020-10-29 5.52.39.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : Трикутник $ABC$ .

Трикутник є найважливішою фігурою в геометрії площини, Це тому, що фігури з більш ніж трьома сторонами завжди можна розділити на трикутники (рис. $\PageIndex{2}$ ). Якщо ми знаємо властивості трикутника, ми можемо поширити ці знання і на вивчення інших фігур.

2020-10-29 5.53.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : Замкнуту фігуру, утворену більш ніж трьома прямими лініями, можна розділити на трикутники.

Фундаментальним властивістю трикутників є наступне:

Теорема $\PageIndex{1}$

Сума кутів трикутника дорівнює $180^{\circ}$ .

На малюнку $\triangle ABC$ $\PageIndex{1}$ , $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайти $\angle C$ :

$2020-10-29 5.56.43.png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {\angle A + \angle B + \angle C} & = & {180^{\circ}} \\ {40^{\circ} + 60^{\circ} + \angle C} & = & {180^{\circ}} \\ {100^{\circ} + \angle C} & = & {180^{\circ}} \\ {\angle C} & = & {180^{\circ} - 100^{\circ}} \\ {\angle C} & = & {80^{\circ}} \end{array} \nonumber$

Відповідь: $\angle C = 80^{\circ}$

Доказ теореми $\PageIndex{1}$ : $C$ Наскрізний малюнок $DE$ паралельно $AB$ (див. Рис. $\PageIndex{3}$ ). Зверніть увагу, що ми використовуємо паралельний постулат тут, $\angle 1 = \angle A$ і $\angle 3 = \angle B$ тому що вони чергуються внутрішні кути паралельних ліній, Тому $\angle A + \angle B + \angle C = \angle 1 + \angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$ .

2020-10-29 6.01.45.png — Малюнок $\PageIndex{3}$ : $C$ Наскрізний малюнок $DE$ паралельно $AB$ .

Ми можемо перевірити теорему, виміряючи кути трикутника $\PageIndex{1}$ за допомогою транспортира і приймаючи суму, Однак жоден вимірювальний прилад не є абсолютно точним, розумно очікувати відповіді, такі як $179^{\circ}$ , $182^{\circ}$ $180.5^{\circ}$ , і т.д Мета нашого математичного доказу полягає в тому, щоб запевнити нас, що сума кутів кожного трикутника повинна бути точно$180^{\circ}$.

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайти $x$ :

$2020-10-29 6.57.45.png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {\angle A + \angle B + \angle C} & = & {180^{\circ}} \\ {2x + 3x + 4x} & = & {180} \\ {9x} & = & {180} \\ {x} & = & {20} \end{array} \nonumber$

Перевірка:

$2020-10-29 7.00.53.png$

Відповідь: $x = 20$ .

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайти $y$ і $x$ :

$2020-10-29 7.02.06png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {50 + 100 + y} & = & {180} \\ {150 + y} & = & {180} \\ {y} & = & {180 - 150} \\ {y} & = & {30} \\ {} & & {} \\ {x} & = & {180 - 30 = 150} \end{array}$

Відповідь: $y = 30$ , $x = 150$ .

На малюнку $\PageIndex{4}$ , $\angle x$ називається зовнішній кут $\triangle ABC$ , $\angle A$ $\angle B$ , і $\angle y$ називаються внутрішніми кутами $\triangle ABC$ . $\angle A$ і $\angle B$ , як кажуть, внутрішні кути віддалені від зовнішнього кута $\angle x$ .

2020-10-29 7.06.51.png — Малюнок $\PageIndex{4}$ : $\angle x$ є зовнішнім кутом $\triangle ABC$ .

Результати Прикладу $\PageIndex{3}$ припускають наступну теорему.

Теорема $\PageIndex{2}$

Зовнішній кут дорівнює сумі двох віддалених внутрішніх кутів,

На малюнку $\PageIndex{4}$ , $\angle x = \angle A + \angle B$ .

Приклад $\PageIndex{3}$ (repeated)

Знайти $x$ :

$2020-10-29 7.10.23.пнг$

Рішення

Використовуючи теорему $\PageIndex{2}$ , $x^{\circ} = 100^{\circ} + 50^{\circ} = 150^{\circ}$ .

Відповідь: $x = 150$ .

Доказ теореми $\PageIndex{2}$ : Ми представляємо цей доказ у формі подвійного стовпця, з твердженнями в лівій колонці та причиною кожного твердження в правій колонці. Останнє твердження - теорема, яку ми хочемо довести.

Заяви	причини
1. $\angle A + \angle B + \angle y = 180^{\circ}$	1. Сума кутів трикутника дорівнює $180^{\circ}$ .
2. $\angle A + \angle B = 180^{\circ} - \angle y$	2. Відніміть $\angle y$ з обох сторін рівняння, твердження 1.
3. $\angle x = 180^{\circ} - \angle y.$	3. $\angle x$ і $\angle y$ є додатковими.
4. $\angle x = \angle A + \angle B$ .	4. Обидва $\angle x$ (твердження 3) і $\angle A + \angle B$ (твердження 2) рівні $180^{\circ} - \angle y$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайти $x$ :

$2020-10-29 7.19.05.пнг$

Рішення

$\angle BCD$ являє собою зовнішній кут з виносними внутрішніми кутами $\angle A$ і $\angle B$ . За теоремою $\PageIndex{2}$ ,

$\begin{array} {rcl} {\angle BCD} & = & {\angle A + \angle B} \\ {\dfrac{12}{5} x} & = & {\dfrac{4}{3} x + x + 2} \end{array}$

Найменш спільний знаменник (1, c, d) дорівнює 15.

$\begin{array} {rcl} {\begin{array} {c} {^3} \\ {(\cancel{15})} \end{array} \dfrac{12}{\cancel{5}} x} & = & {\begin{array} {c} {^3} \\ {(\cancel{15})} \end{array} \dfrac{4}{\cancel{3}} x + (15)x + (15)(2)} \\ {36x} & = & {20x + 15x + 30} \\ {36x} & = & {35x + 30} \\ {36x - 35x} & = & {30} \\ {x} & = & {30} \end{array} \nonumber$

Перевірка:

$2020-10-29 7.25.45.png$

Відповідь: $x = 30$ .

Нашу роботу над сумою кутів трикутника можна легко розширити і на інші фігури:

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайти суму кутів чотирикутника (чотиристороння фігура),

Рішення

Розділіть чотирикутник на два трикутники, як показано на малюнку,

$2020-10-29 7.27.24.PNG$

$\begin{array} {rcl} {\angle A + \angle B + \angle C + \angle D} & = & {\angle A + \angle 1 + \angle 3 + \angle 2 + \angle 4 + \angle C} \\ {} & = & {180^{\circ} + 180^{\circ}} \\ {} & = & {360^{\circ}} \end{array} \nonumber$

Відповідь: $360^{\circ}$ .

Приклад $\PageIndex{6}$

Знайти суму кутів п'ятикутника (п'ятигранної фігури).

Рішення

Розділіть п'ятикутник на три трикутника, як показано, сума дорівнює сумі кутів трьох трикутників = $(3)(180^{\circ}) = 540^{\circ}$ .

$2020-10-29 7.31.30.png$

Відповідь: $540^{\circ}$ .

Існує ще один простий принцип, який ми виведемо з теореми $\PageIndex{1}$ , Розглянемо два трикутника на малюнку $\PageIndex{5}$ .

2020-10-29 7.32.35.png — Малюнок $\PageIndex{5}$ : Each triangle has an angle of $60^{\circ}$ and $40^{\circ}$ .

Нам дано, що $\angle A = \angle D = 60^{\circ}$ і $\angle B = \angle E = 40^{\circ}$ . Короткий розрахунок показує, що ми також повинні мати $\angle C = \angle F = 80^{\circ}$ . Це говорить про наступну теорему:

Теорема $\PageIndex{3}$

Якщо два кути одного трикутника рівні відповідно двом кутам іншого трикутника, то і інші їх кути теж рівні.

На малюнку $\PageIndex{6}$ , if $\angle A = \angle D$ and $\angle B = \angle E$ then $\angle C = \angle F$ .

Доказ: $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (\angle D + \angle E) = \angle F$ .

$2020-10-29 7.37.30.png$
Малюнок $\PageIndex{6}$ . $\angle A = \angle D$ and $\angle B = \angle E$ .

Історична записка

Наша теорема $\PageIndex{1}$ , яка стверджує, що сума кутів трикутника є $180^{\circ}$ , є одним з найважливіших наслідків паралельного постулату, Тому одним із способів перевірки істинності паралельного постулату (див. Історичну записку в розділі 1.4) є перевірка Правда теореми $\PageIndex{1}$ , Це насправді спробував німецький математик, астроном і фізик, Карл Фрідріх Гаусс (1777 - 1855). (Це той самий Гаусс, ім'я якого використовується як одиниця виміру в теорії магнетизму), Гаусс виміряв суму кутів трикутника, утвореного трьома гірськими вершинами Німеччини, знайшов суму кутів на 14,85 секунди більше $180^{\circ}$ (60 секунд 1 хвилина, 60 хвилин = 1 градус). Однак це невелике перевищення могло бути пов'язано з експериментальною помилкою, тому сума могла бути насправді $180^{\circ}$ .

Окрім експериментальної помилки, існує ще одна складність, пов'язана з перевіркою теореми про кутову суму. Згідно неевклідової геометрії Лобачевського сума кутів трикутника завжди менше $180^{\circ}$ . У неевклідової геометрії Рімана сума кутів завжди більше, ніж $180^{\circ}$ , Однак в обох випадках різниця від $180^{\circ}$ незначна, якщо трикутник не дуже великий, Жодна теорія не говорить нам точно, наскільки великий такий трикутник повинен бути, Навіть якщо ми виміряли кути дуже великий трикутник, як один, утворений трьома зірками, і виявив, що сума не відрізняється від $180^{\circ}$ , ми могли б тільки сказати, що теорема про суму кута і паралельний постулат, мабуть, вірні для цих великих відстаней, Ці відстані все ще можуть бути занадто малі, щоб ми могли визначити, яка геометрична система найкраще описує всесвіт в цілому,