1.1: Лінії
Геометрія (від грецького слова означає земля-міра) спочатку розроблялася як засіб зйомки земельних ділянок, У найпростішому вигляді це дослідження фігур, які можна намалювати на ідеально гладкій рівній поверхні, або площині. Саме ця плоска геометрія, яку ми вивчимо в цьому блоці і служить основою для тригонометрії, твердої та аналітичної геометрії та обчислення.
Найпростіші фігури, які можна намалювати на площині, - це точка і лінія. Під лінією ми завжди будемо мати на увазі пряму лінію. Через дві різні точки можна провести одну і тільки одну (пряму) лінію. Лінія через точкиA іB буде позначатися↔AB (рис.1.1.1). Стрілки вказують на те, що лінія триває нескінченно в кожному напрямку, відрізок лінії відA доB складається зAB,BA і що частина↔AB між і, позначаєтьсяAB (деякі підручники використовують позначення ¯ABдля відрізка лінії). Промінь→AB - це та частина↔AB, яка починається вA і поширюється на невизначений час у напрямкуB.
Ми припускаємо, що всі знайомі з поняттям довжини відрізка лінії і як його можна виміряти в дюймах, або футах, або метрах, і т.д. Відстань між двома точкамиA іB таке ж, як довжинаAB.
Два відрізки ліній рівні, якщо вони мають однакову довжину, наприклад, на малюнку1.1.2AB=CD,
Ми часто вказуємо два відрізки ліній рівні, позначаючи їх однаково, наприклад, на малюнку1.1.3,AB=CD іEF=GH.
Знайти,x якщоAB=CD:
Рішення
AB=CD3x−6=x3x−x=62x=6x=3
Перевірка:
Відповідь:x=3.
Зверніть увагу, що в прикладі1.1.1 ми не вказали одиницю виміру. Строго кажучи, ми повинні вказати, щоAB=3x−6 дюйми (або фути або метри) і щоBC=x дюйми. Однак оскільки відповідь все одно буде,x=3 ми зазвичай опускаємо цю інформацію, щоб заощадити місце.
Ми говоримо, щоB це серединаAC якщоBA точка наAC іAB=BC (Малюнок1.1.4).
Знайтиx іAC якщоB це серединаAC іAB=5(x−3) іBC=9−x,
Рішення
Спочатку малюємо картинку, яка допоможе візуалізувати задану інформацію:
ОскількиB це середина,
AB=BC5(x−3)=9−x5x−15=9−x5x+x=9+156x=24x=4
Перевірка:
ОтримуємоAC=AB+BC=5+5=10.
Відповідь:x=4,AC=10.
ЗнайдітьB,AB чи є серединоюAC:
Рішення
AB=BCx2−6=5xx2−5x−6=0(x−6)(x+1)=0
x−6=0 x+1=0x=6 x=−1
Якщоx=6 тодіAB=x2−6=62−6=36−6=30.
Якщоx=−1 тодіAB=(−1)2−6=1−6=−5.
Відкидаємо відповідьx=−1 іAB=−5 тому, що довжина відрізка лінії завжди позитивна. Томуx=6 іAB=30.
Перевірка:
Відповідь:AB=30.
Три точки є колінеарними, якщо вони лежать на одній лінії.
A,B, іC колінеарні, якщо і тільки якщоAB+BC=AC.
ЯкщоA,B, іC є колінеарними іAC=7, знайдітьx:
Рішення
AB+BC=AC8−2x+x+1=79−x=72=x
Перевірка:
Відповідь:x=2
Геометрія виникла при вирішенні практичних завдань, архітектурні залишки Вавилона, Єгипту та інших стародавніх цивілізацій показують знання простих геометричних взаємозв'язків, копання каналів, зведення будівель, а також викладання міст вимагали обчислень довжин, районів та обсягів, Геодезія, як кажуть, розвинулася в Єгипті, щоб ділянки землі могли бути переміщені після щорічного переповнення Нілу, Геометрія також використовувалася стародавніми цивілізаціями в своїх астрономічних спостереженнях та побудові своїх календарів.
Греки перетворили практичну геометрію вавилонян і єгиптян в організований звід знань. Фалесу (c, 636 - c. 546 B, C.), одному з «семи мудреців» давнини, приписують те, що він першим отримав геометричні результати логічними міркуваннями, а не просто інтуїцією та експериментом. Піфагор (c. 582 - c. 507 B, C.) продовжив роботу Фалеса, заснував піфагорійську школу, містичне суспільство, присвячене єдиному вивченню філософії, математики і науки, близько 300 В, С., Евклід, грецький викладач математики в університеті в Олександрії, написав систематичну експозицію елементарна геометрія називається Елементи, У своїх стихіях Евклід використовував кілька простих принципів, званих аксіомами або постулатами, щоб вивести більшу частину математики, відомої в той час, Протягом більш ніж 2000 років елементи Евкліда був прийнятий як стандартний підручник геометрії і є основою для більшості інших елементарних текстів, в тому числі і цього.
Проблеми
1. Знайти,x якщоAB=CD:
2. Знайти,x якщоAB=CD:
3. Знайтиx іAC якщоB це серединаAC іAB=3(x−5) іBC=x+3.
4. Знайтиx іAC якщоB це серединаAC іAB=2x+9 іBC=5(x−9),
5. ЗнайдітьB,AB чи є серединоюAC:
6, Знайти,AB якщоB це серединаAC:
7. ЯкщоA,B, іC колінеарні іAC=13 знаходятьx:
8. ЯкщоA,B, іC колінеарні іAC=26 знаходятьx: