Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.1: Лінії

Геометрія (від грецького слова означає земля-міра) спочатку розроблялася як засіб зйомки земельних ділянок, У найпростішому вигляді це дослідження фігур, які можна намалювати на ідеально гладкій рівній поверхні, або площині. Саме ця плоска геометрія, яку ми вивчимо в цьому блоці і служить основою для тригонометрії, твердої та аналітичної геометрії та обчислення.

Найпростіші фігури, які можна намалювати на площині, - це точка і лінія. Під лінією ми завжди будемо мати на увазі пряму лінію. Через дві різні точки можна провести одну і тільки одну (пряму) лінію. Лінія через точкиA іB буде позначатисяAB (рис.1.1.1). Стрілки вказують на те, що лінія триває нескінченно в кожному напрямку, відрізок лінії відA доB складається зAB,BA і що частинаAB між і, позначаєтьсяAB (деякі підручники використовують позначення ¯ABдля відрізка лінії). ПроміньAB - це та частинаAB, яка починається вA і поширюється на невизначений час у напрямкуB.

1.1.1 - a.svg
1.1.1 - b.svg
1.1.1 - c.svg
Малюнок1.1.1: ЛініяAB¯AB, відрізок лінії та проміньAB. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Ми припускаємо, що всі знайомі з поняттям довжини відрізка лінії і як його можна виміряти в дюймах, або футах, або метрах, і т.д. Відстань між двома точкамиA іB таке ж, як довжинаAB.

Два відрізки ліній рівні, якщо вони мають однакову довжину, наприклад, на малюнку1.1.2AB=CD,

1.1.2 - a.svg
1.1.2 - b.svg
Малюнок1.1.2:AB=CD. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Ми часто вказуємо два відрізки ліній рівні, позначаючи їх однаково, наприклад, на малюнку1.1.3,AB=CD іEF=GH.

1.1.3 - a.svg
1.1.3 - b.svg
1.1.3 - c.svg
1.1.3 - d.svg
Малюнок1.1.3:AB=CD іEF=GH. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)
Приклад1.1.1

Знайти,x якщоAB=CD:

Приклад 1.1.1-a.svg
Приклад 1.1.1-b.svg
 
Малюнок1.1.E1: (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Рішення

AB=CD3x6=x3xx=62x=6x=3

Перевірка:

Приклад 1.1.1-перевірка.svg

Відповідь:x=3.

Зверніть увагу, що в прикладі1.1.1 ми не вказали одиницю виміру. Строго кажучи, ми повинні вказати, щоAB=3x6 дюйми (або фути або метри) і щоBC=x дюйми. Однак оскільки відповідь все одно буде,x=3 ми зазвичай опускаємо цю інформацію, щоб заощадити місце.

Ми говоримо, щоB це серединаAC якщоBA точка наAC іAB=BC (Малюнок1.1.4).

1.1.4.свг
Малюнок1.1.4:B це серединаAC. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)
Приклад1.1.2

Знайтиx іAC якщоB це серединаAC іAB=5(x3) іBC=9x,

Рішення

Спочатку малюємо картинку, яка допоможе візуалізувати задану інформацію:

Приклад 1.1.2 - Solution.svg

ОскількиB це середина,

AB=BC5(x3)=9x5x15=9x5x+x=9+156x=24x=4

Перевірка:

Приклад 1.1.2 - Check.svg

ОтримуємоAC=AB+BC=5+5=10.

Відповідь:x=4,AC=10.

Приклад1.1.3

ЗнайдітьB,AB чи є серединоюAC:

Приклад 1.1.3.svg

Рішення

AB=BCx26=5xx25x6=0(x6)(x+1)=0

x6=0    x+1=0x=6    x=1

Якщоx=6 тодіAB=x26=626=366=30.

Якщоx=1 тодіAB=(1)26=16=5.

Відкидаємо відповідьx=1 іAB=5 тому, що довжина відрізка лінії завжди позитивна. Томуx=6 іAB=30.

Перевірка:

Приклад 1.1.3 - Check.svg

Відповідь:AB=30.

Три точки є колінеарними, якщо вони лежать на одній лінії.

1.1.5.свг
Малюнок1.1.5:A,B, іC є колінеарнимиAB=5BC=3, іAC=8 (CC BY-NC 4.0; Отримати Kaya через LibreTexts)
1.1.6.svg
Малюнок1.1.6:AB,, іC не колінеарні. AB=5,BC=3,AC=6. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

A,B, іC колінеарні, якщо і тільки якщоAB+BC=AC.

Приклад1.1.4

ЯкщоA,B, іC є колінеарними іAC=7, знайдітьx:

Приклад - 1.1.4.svg

Рішення

AB+BC=AC82x+x+1=79x=72=x

Перевірка:

Приклад - 1.1.4 - Check.svg

Відповідь:x=2

Історична записка

Геометрія виникла при вирішенні практичних завдань, архітектурні залишки Вавилона, Єгипту та інших стародавніх цивілізацій показують знання простих геометричних взаємозв'язків, копання каналів, зведення будівель, а також викладання міст вимагали обчислень довжин, районів та обсягів, Геодезія, як кажуть, розвинулася в Єгипті, щоб ділянки землі могли бути переміщені після щорічного переповнення Нілу, Геометрія також використовувалася стародавніми цивілізаціями в своїх астрономічних спостереженнях та побудові своїх календарів.

Греки перетворили практичну геометрію вавилонян і єгиптян в організований звід знань. Фалесу (c, 636 - c. 546 B, C.), одному з «семи мудреців» давнини, приписують те, що він першим отримав геометричні результати логічними міркуваннями, а не просто інтуїцією та експериментом. Піфагор (c. 582 - c. 507 B, C.) продовжив роботу Фалеса, заснував піфагорійську школу, містичне суспільство, присвячене єдиному вивченню філософії, математики і науки, близько 300 В, С., Евклід, грецький викладач математики в університеті в Олександрії, написав систематичну експозицію елементарна геометрія називається Елементи, У своїх стихіях Евклід використовував кілька простих принципів, званих аксіомами або постулатами, щоб вивести більшу частину математики, відомої в той час, Протягом більш ніж 2000 років елементи Евкліда був прийнятий як стандартний підручник геометрії і є основою для більшості інших елементарних текстів, в тому числі і цього.

Проблеми

1. Знайти,x якщоAB=CD:

1-a.svg
1-b.svg

2. Знайти,x якщоAB=CD:

2-a.svg
2-b.svg

3. Знайтиx іAC якщоB це серединаAC іAB=3(x5) іBC=x+3.

4. Знайтиx іAC якщоB це серединаAC іAB=2x+9 іBC=5(x9),

5. ЗнайдітьB,AB чи є серединоюAC:

5.svg

6, Знайти,AB якщоB це серединаAC:

6.svg

7. ЯкщоA,B, іC колінеарні іAC=13 знаходятьx:

7.svg

8. ЯкщоA,B, іC колінеарні іAC=26 знаходятьx:

8.svg

  • Was this article helpful?