1.1: Лінії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58790

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Геометрія (від грецького слова означає земля-міра) спочатку розроблялася як засіб зйомки земельних ділянок, У найпростішому вигляді це дослідження фігур, які можна намалювати на ідеально гладкій рівній поверхні, або площині. Саме ця плоска геометрія, яку ми вивчимо в цьому блоці і служить основою для тригонометрії, твердої та аналітичної геометрії та обчислення.

Найпростіші фігури, які можна намалювати на площині, - це точка і лінія. Під лінією ми завжди будемо мати на увазі пряму лінію. Через дві різні точки можна провести одну і тільки одну (пряму) лінію. Лінія через точки$A$ і$B$ буде позначатися$\overleftrightarrow{AB}$ (рис.$\PageIndex{1}$). Стрілки вказують на те, що лінія триває нескінченно в кожному напрямку, відрізок лінії від$A$ до$B$ складається з$A$$B$,$B$$A$ і що частина$\overleftrightarrow{AB}$ між і, позначається$AB$ (деякі підручники використовують позначення $\overline{AB}$для відрізка лінії). Промінь$\overrightarrow{AB}$ - це та частина$\overleftrightarrow{AB}$, яка починається в$A$ і поширюється на невизначений час у напрямку$B$.

1.1.1 - a.svg — Малюнок$\PageIndex{1}$: Лінія$\overleftrightarrow{AB}$$\overline{AB}$, відрізок лінії та промінь$\overrightarrow{AB}$. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

1.1.1 - b.svg — Малюнок$\PageIndex{1}$: Лінія$\overleftrightarrow{AB}$$\overline{AB}$, відрізок лінії та промінь$\overrightarrow{AB}$. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Ми припускаємо, що всі знайомі з поняттям довжини відрізка лінії і як його можна виміряти в дюймах, або футах, або метрах, і т.д. Відстань між двома точками$A$ і$B$ таке ж, як довжина$AB$.

Два відрізки ліній рівні, якщо вони мають однакову довжину, наприклад, на малюнку$\PageIndex{2}$$AB = CD$,

1.1.2 - a.svg — Малюнок$\PageIndex{2}$:$AB = CD$. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

1.1.2 - b.svg — Малюнок$\PageIndex{2}$:$AB = CD$. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Ми часто вказуємо два відрізки ліній рівні, позначаючи їх однаково, наприклад, на малюнку$\PageIndex{3}$,$AB = CD$ і$EF = GH$.

1.1.3 - a.svg — Малюнок$\PageIndex{3}$:$AB = CD$ і$EF = GH$. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

1.1.3 - b.svg — Малюнок$\PageIndex{3}$:$AB = CD$ і$EF = GH$. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайти,$x$ якщо$AB = CD$:

Приклад 1.1.1-a.svg — Малюнок$\PageIndex{E1}$: (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Приклад 1.1.1-b.svg — Малюнок$\PageIndex{E1}$: (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Рішення

\[\begin{array} {rcl} {AB} & = & {CD} \\ {3x - 6} & = & {x} \\ {3x - x} & = & {6} \\ {2x} & = & {6} \\ {x} & = & {3} \end{array} \nonumber\]

Перевірка:

$Приклад 1.1.1-перевірка.svg$

Відповідь:$x = 3$.

Зверніть увагу, що в прикладі$\PageIndex{1}$ ми не вказали одиницю виміру. Строго кажучи, ми повинні вказати, що$AB= 3x - 6$ дюйми (або фути або метри) і що$BC = x$ дюйми. Однак оскільки відповідь все одно буде,$x = 3$ ми зазвичай опускаємо цю інформацію, щоб заощадити місце.

Ми говоримо, що$B$ це середина$AC$ якщо$B$$A$ точка на$AC$ і$AB = BC$ (Малюнок$\PageIndex{4}$).

1.1.4.свг — Малюнок$\PageIndex{4}$:$B$ це середина$AC$. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти$x$ і$AC$ якщо$B$ це середина$AC$ і$AB= 5(x - 3)$ і$BC = 9 - x$,

Рішення

Спочатку малюємо картинку, яка допоможе візуалізувати задану інформацію:

$Приклад 1.1.2 - Solution.svg$

Оскільки$B$ це середина,

\[\begin{array} {rcl} {AB} & = & {BC} \\ {5(x - 3)} & = & {9 - x} \\ {5x - 15} & = & {9 - x} \\ {5x + x} & = & {9 + 15} \\ {6x} & = & {24} \\ {x} & = & {4} \end{array} \nonumber\]

Перевірка:

$Приклад 1.1.2 - Check.svg$

Отримуємо$AC = AB + BC = 5 + 5 = 10$.

Відповідь:$x = 4$,$AC = 10$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть$B$,$AB$ чи є серединою$AC$:

$Приклад 1.1.3.svg$

Рішення

\[\begin{array} {rcl} {AB} & = & {BC} \\ {x^2 - 6} & = & {5x} \\ {x^2 - 5x - 6} & = & {0} \\ {(x - 6)(x + 1)} & = & {0} \end{array} \nonumber\]

\[\begin{array} {rclcrcl} {x - 6} & = & {0} & \ \ \ \ & {x + 1} & = & {0} \\ {x} & = & {6} & \ \ \ \ & {x} & = & {-1} \end{array} \nonumber\]

Якщо$x = 6$ тоді$AB = x^2 - 6 = 6^2 - 6 = 36 - 6 = 30$.

Якщо$x = -1$ тоді$AB = (-1)^2 - 6 = 1 - 6 = -5$.

Відкидаємо відповідь$x = -1$ і$AB = -5$ тому, що довжина відрізка лінії завжди позитивна. Тому$x = 6$ і$AB = 30$.

Перевірка:

$Приклад 1.1.3 - Check.svg$

Відповідь:$AB = 30$.

Три точки є колінеарними, якщо вони лежать на одній лінії.

1.1.5.свг — Малюнок$\PageIndex{5}$:$A$,$B$, і$C$ є колінеарними$AB = 5$$BC = 3$, і$AC = 8$ (CC BY-NC 4.0; Отримати Kaya через LibreTexts)

1.1.6.svg — Малюнок$\PageIndex{6}$:$A$$B$,, і$C$ не колінеарні. $AB = 5$,$BC = 3$,$AC = 6$. (CC BY-NC 4.0; Передача через LibreTexts)

$A$,$B$, і$C$ колінеарні, якщо і тільки якщо$AB + BC = AC$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Якщо$A, B$, і$C$ є колінеарними і$AC = 7$, знайдіть$x$:

$Приклад - 1.1.4.svg$

Рішення

\[\begin{array} {rcl} {AB + BC} & = & {AC} \\ {8 - 2x + x + 1} & = & {7} \\ {9 - x} & = & {7} \\ {2} & = & {x} \end{array} \nonumber\]

Перевірка:

$Приклад - 1.1.4 - Check.svg$

Відповідь:$x = 2$

Історична записка

Геометрія виникла при вирішенні практичних завдань, архітектурні залишки Вавилона, Єгипту та інших стародавніх цивілізацій показують знання простих геометричних взаємозв'язків, копання каналів, зведення будівель, а також викладання міст вимагали обчислень довжин, районів та обсягів, Геодезія, як кажуть, розвинулася в Єгипті, щоб ділянки землі могли бути переміщені після щорічного переповнення Нілу, Геометрія також використовувалася стародавніми цивілізаціями в своїх астрономічних спостереженнях та побудові своїх календарів.

Греки перетворили практичну геометрію вавилонян і єгиптян в організований звід знань. Фалесу (c, 636 - c. 546 B, C.), одному з «семи мудреців» давнини, приписують те, що він першим отримав геометричні результати логічними міркуваннями, а не просто інтуїцією та експериментом. Піфагор (c. 582 - c. 507 B, C.) продовжив роботу Фалеса, заснував піфагорійську школу, містичне суспільство, присвячене єдиному вивченню філософії, математики і науки, близько 300 В, С., Евклід, грецький викладач математики в університеті в Олександрії, написав систематичну експозицію елементарна геометрія називається Елементи, У своїх стихіях Евклід використовував кілька простих принципів, званих аксіомами або постулатами, щоб вивести більшу частину математики, відомої в той час, Протягом більш ніж 2000 років елементи Евкліда був прийнятий як стандартний підручник геометрії і є основою для більшості інших елементарних текстів, в тому числі і цього.