1.3: Кутові класифікації

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Кути класифікуються за їх мірками наступним чином:

Гострий кут - це кут, міра якого знаходиться між $0^{\circ}$ і $90^{\circ}$ .
Прямим кутом називається кут, міра якого є $90^{\circ}$ . Ми часто використовуємо маленький квадрат, щоб позначити прямий кут.
Тупий кут - це кут, міра якого знаходиться між $90^{\circ}$ і $180^{\circ}$ .
Прямий кут - це кут, міра якого є $180^{\circ}$ . Прямий кут - це всього лише пряма лінія, одна з її точок позначена як вершина.
Рефлекторний кут - це кут, міра якого більше $180^{\circ}$ .

2020-10-28 3.27.25.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : Кути класифікуються за їх мірками.

Зверніть увагу, що кут можна виміряти двома способами. На малюнку $\PageIndex{2}$ , $\angle ABC$ це рефлекс $240^{\circ}$ або тупий кут в $120^{\circ}$ залежності від того, як він вимірюється. Якщо не вказано інше, ми завжди будемо вважати, що кут має міру менше $180^{\circ}$ .

2020-10-28 3.29.31.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : $\angle ABC$ можна виміряти двома різними способами.

Лінії перпендикулярні, якщо вони зустрічаються, утворюючи прямі кути. На малюнку $\PageIndex{3}$ , $\overleftrightarrow{AB}$ перпендикулярно $\overleftrightarrow{CD}$ . Символ перпендикуляра є $\perp$ і пишемо $\overleftrightarrow{AB} \perp \overleftrightarrow{CD}$ .

2020-10-28 3.32.37.png — Малюнок $\PageIndex{3}$ : $\overleftrightarrow{AB}$ перпендикулярно $\overleftrightarrow{CD}$ .

Перпендикулярна бісектриса відрізка лінії - це лінія, перпендикулярна відрізку лінії в його середній точці, На малюнку $\PageIndex{4}$ , $\overleftrightarrow{CD}$ є перпендикулярною бісектриса $AB$ .

2020-10-28 3.35.35.png — Малюнок $\PageIndex{4}$ : $\overleftrightarrow{CD}$ це перпендикулярна бісектриса $AB$ .

Два кути називаються взаємодоповнюючими, якщо сума їх мір дорівнює $90^{\circ}$ . Кожен кут називається доповненням іншого. Наприклад, кути $60^{\circ}$ і $30^{\circ}$ є взаємодоповнюючими.

2020-10-28 3.37.56.png — Малюнок $\PageIndex{5}$ : Додаткові кути.

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайдіть доповнення $40^{\circ}$ кута.

Рішення

$90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$ .

Відповідь: $50^{\circ}$ .

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайдіть $x$ і доповнюють кути:

$2020-10-28 3.41.56.png$

Рішення

З тих пір $\angle BAD = 90^{\circ}$ ,

$\begin{array} {rcl} {x^2 + x} & {90^{\circ}} \\ {x^2 + x - 90} & {0} \\ {(x - 9)(x + 10)} & {0} \end{array}$

$\begin{array} {rcl} {x - 9} & = & {0} \\ {x} & = & {9} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array} {rcl} {x + 10} & = & {0} \\ {x} & = & {-10} \end{array}$

$\angle CAD = x = 90^{\circ}$ . $\angle CAD = x = -10^{\circ}.$

$\angle BAC = x^2 = 9^2 = 81^{\circ}$ .

$\angle BAC = \angle CAD = 81^{\circ} + 9^{\circ} = 90^{\circ}$ .

Ми відхиляємо відповідь, $x = -10$ оскільки міра кута завжди позитивна. (У тригонометрії при введенні спрямованих кутів кути можуть мати негативну міру. Однак у цій книзі всі кути будуть розглядатися як позитивні міри,)

Перевірка, $x = 9$ :

$2020-10-28 3.49.37.png$

Відповідь: $x = 9$ , $\angle CAD = 9^{\circ}$ , $\angle BAC = 81^{\circ}$ .

Два кута називаються додатковими, якщо сума їх мір дорівнює $180^{\circ}$ . Кожен кут називається доповненням іншого. Наприклад, кут нахилу $150^{\circ}$ і $30^{\circ}$ є додатковими.

2020-10-28 3.52.31.png — Малюнок $\PageIndex{6}$ : Додаткові кути.

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть доповнення під кутом $40^{\circ}$ .

Рішення

$180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$ .

Відповідь: $140^{\circ}$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть $x$ і додаткові кути:

$2020-10-28 3.56.00.png$

Рішення

З тих пір $\angle ADB = 180^{\circ}$ ,

$\begin{array} {rcl} {4x - 20 + x} & = & {180^{\circ}} \\ {5x} & = & {180 + 20} \\ {5x} & = & {200} \\ {x} & = & {40} \end{array}$

$\angle ADC = 4x - 20 = 4(40) - 20 = 160 - 20 = 140^{\circ}$

$\angle BDC = x = 40^{\circ}$ ,

$\angle ADC + \angle BDC = 140^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$ .

Перевірка:

$2020-10-28 4.00.45.png$

Відповідь

$x = 40, \angle ADC = 140^{\circ}, \angle BDC = 40^{\circ}$ .

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайти $x, y, z$ :

$2020-10-28 4.02.03.пнг$

Рішення

$x^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$ тому що $x^{\circ}$ і $80^{\circ}$ є мірами додаткових кутів.

$\begin{array} {l} {y^{\circ} = 180^{\circ} - x^{\circ} = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}.} \\ {z^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}.} \end{array}$

$2020-10-28 4.06.02.PNG$

Відповідь: $x = 100$ , $y = 80$ , $z = 100$ .

Коли дві лінії перетинаються, як у прикладі E, вони утворюють дві пари кутів, які протилежні один одному називаються вертикальними кутами, На малюнку $\PageIndex{7}$ , $\angle x$ і $\angle x'$ є однією парою вертикальних кутів. $\angle y$ і $\angle y'$ a.re інша пара вертикальних кутів, Як запропонував приклад $\PageIndex{5}$ , $\angle x = \angle x'$ and $\angle y = \angle y'$ . To see this in general, we can reason as follows: $\angle x$ is the supplement of $\angle y$ so $\angle x = 180^{\circ} - \angle y$ . $\angle x'$ is also the supplement of $\angle y$ so $\angle x' = 180 - \angle y$ . Therefore $\angle x = \angle x'$ . Similarly, we can show $\angle y = \angle y'$ . Therefore vertical angles are always equal.

2020-10-28 4.11.02.PNG — Малюнок $\PageIndex{7}$ : $\angle x$ , $\angle x'$ і $\angle y$ , $\angle y'$ являють собою пари вертикальних кутів.

Тепер ми можемо використовувати «вертикальні кути рівні» у вирішенні завдань:

Приклад $\PageIndex{5}$ (repeated)

Знайти $x, y$ , і $z$ :

$2020-10-28 4.14.23.пнг$

Рішення

$\angle x = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$ тому що $\angle x$ є доповненням $80^{\circ}$ .

$\angle y = 80^{\circ}$ тому що вертикальні кути рівні.

$\angle z = \angle x = 100^{\circ}$ тому що вертикальні кути рівні.

Відповідь: $x = 100$ , $y = 80$ , $z = 100$ .

Приклад $\PageIndex{6}$

Знайти $x$ :

$2020-10-28 4.22.11.PNG$

Рішення

Так як вертикальні кути рівні, $10x^2 = 40^{\circ}$ .

$\begin{array} {rclcrcl} {\text{Method 1:} \ \ \ \ \ \ 10x^2} & = & {40} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {\text{Method 2:} \ \ \ \ \ \ 10x^2} & = & {40} \\ {10x^2 - 40} & = & {0} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {\dfrac{10x^2}{10}} & = & {\dfrac{40}{10}} \\ {(10)(x^2 - 4)} & = & {0} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {x^2} & = & {4} \\ {x^2 - 4} & = & {0} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {x} & = & {\pm 2} \\ {(x + 2)(x - 2)} & = & {0} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {} & & {} \end{array}$

$\begin{array} {rcl} {x + 2} & = & {0} \\ {x} & = & {-2} \end{array}$ $\begin{array} {rcl} {x - 2} & = & {0} \\ {x} & = & {2} \end{array}$

Якщо $x = 2$ тоді $\angle AEC = 10x^2 = 10(2)^2 = 10(4) = 40^{\circ}$ .

Якщо $x = -2$ тоді $\angle AEC = 10x^2 = 10(-2)^2 = 10(4) = 40^{\circ}$ .

Ми приймаємо рішення, $x =-2$ хоча і $x$ негативне, оскільки значення кута все $10x^2$ ще позитивне.

Перевірка:

$2020-10-28 4.29.31 пнг$

Відповідь: $x = 2$ або $x = -2$ .

Приклад $\PageIndex{7}$

На схемі, $AB$ являє собою дзеркало, $CD$ являє собою промінь світла, що наближається до дзеркала з $C$ , і $E$ являє собою око людини, яка спостерігає промінь, як він відбивається від дзеркала в $D$ . Відповідно до закону фізики $\angle CDA$ , званому кутом падіння, дорівнює $\angle EDB$ , називається кутом відбиття. Якщо $\angle CDE = 60^{\circ}$ , скільки дорівнює кут падіння?

$2020-10-28 4.34.08.пнг$

Рішення

Нехай $\x^{\circ} = \angle CDA = \angle EDB$ .

$\begin{array} {rcl} {x + x + 60} & = & {180} \\ {2x + 60} & = & {180} \\ {2x} & = & {120} \\ {x} & = & {60} \end{array}$

Відповідь: $60^{\circ}$

Примітка про теореми та постулати

Приклад теореми є твердженням «вертикальні кути завжди рівні». Теорема - це твердження, яке ми можемо довести, що це правда. Доказ - це процес міркування, який використовує твердження, які вже відомі як правдиві, щоб показати істинність нового твердження. Прикладом доказу є обговорення, що передує твердженню «вертикальні кути завжди рівні». Ми використовували факти про додаткові кути, які вже були відомі, щоб встановити нове твердження, що «вертикальні кути завжди рівні».

В ідеалі ми хотіли б довести всі твердження в математиці, які, на нашу думку, є правдивими. Однак, перш ніж ми зможемо почати доводити що-небудь, нам потрібні справжні твердження, з яких почати. Такі твердження повинні бути настільки самоочевидними, щоб не вимагати доказів самі. Твердження такого роду, яке ми вважаємо істинним без доказів, називається постулатом або аксіомою. Прикладом постулату є припущення, що всі кути можна виміряти в градусах. Це було використано, фактично не будучи заявленим у нашому доказі, що «вертикальні кути завжди рівні»,

Теореми, докази та постулати складають серце математики, і ми зіткнемося з багатьма іншими з них, продовжуючи вивчення геометрії.