1.3: Кутові класифікації

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58803

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Кути класифікуються за їх мірками наступним чином:

Гострий кут - це кут, міра якого знаходиться між$0^{\circ}$ і$90^{\circ}$.
Прямим кутом називається кут, міра якого є$90^{\circ}$. Ми часто використовуємо маленький квадрат, щоб позначити прямий кут.
Тупий кут - це кут, міра якого знаходиться між$90^{\circ}$ і$180^{\circ}$.
Прямий кут - це кут, міра якого є$180^{\circ}$. Прямий кут - це всього лише пряма лінія, одна з її точок позначена як вершина.
Рефлекторний кут - це кут, міра якого більше$180^{\circ}$.

2020-10-28 3.27.25.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Кути класифікуються за їх мірками.

Зверніть увагу, що кут можна виміряти двома способами. На малюнку$\PageIndex{2}$,$\angle ABC$ це рефлекс$240^{\circ}$ або тупий кут в$120^{\circ}$ залежності від того, як він вимірюється. Якщо не вказано інше, ми завжди будемо вважати, що кут має міру менше$180^{\circ}$.

2020-10-28 3.29.31.png — Малюнок$\PageIndex{2}$:$\angle ABC$ можна виміряти двома різними способами.

Лінії перпендикулярні, якщо вони зустрічаються, утворюючи прямі кути. На малюнку$\PageIndex{3}$,$\overleftrightarrow{AB}$ перпендикулярно$\overleftrightarrow{CD}$. Символ перпендикуляра є$\perp$ і пишемо$\overleftrightarrow{AB} \perp \overleftrightarrow{CD}$.

2020-10-28 3.32.37.png — Малюнок$\PageIndex{3}$:$\overleftrightarrow{AB}$ перпендикулярно$\overleftrightarrow{CD}$.

Перпендикулярна бісектриса відрізка лінії - це лінія, перпендикулярна відрізку лінії в його середній точці, На малюнку$\PageIndex{4}$,$\overleftrightarrow{CD}$ є перпендикулярною бісектриса$AB$.

2020-10-28 3.35.35.png — Малюнок$\PageIndex{4}$:$\overleftrightarrow{CD}$ це перпендикулярна бісектриса$AB$.

Два кути називаються взаємодоповнюючими, якщо сума їх мір дорівнює$90^{\circ}$. Кожен кут називається доповненням іншого. Наприклад, кути$60^{\circ}$ і$30^{\circ}$ є взаємодоповнюючими.

2020-10-28 3.37.56.png — Малюнок$\PageIndex{5}$: Додаткові кути.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть доповнення$40^{\circ}$ кута.

Рішення

$90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.

Відповідь:$50^{\circ}$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть$x$ і доповнюють кути:

$2020-10-28 3.41.56.png$

Рішення

З тих пір$\angle BAD = 90^{\circ}$,

\[\begin{array} {rcl} {x^2 + x} & {90^{\circ}} \\ {x^2 + x - 90} & {0} \\ {(x - 9)(x + 10)} & {0} \end{array}\]

\[\begin{array} {rcl} {x - 9} & = & {0} \\ {x} & = & {9} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array} {rcl} {x + 10} & = & {0} \\ {x} & = & {-10} \end{array}\]

$\angle CAD = x = 90^{\circ}$. $\angle CAD = x = -10^{\circ}.$

$\angle BAC = x^2 = 9^2 = 81^{\circ}$.

$\angle BAC = \angle CAD = 81^{\circ} + 9^{\circ} = 90^{\circ}$.

Ми відхиляємо відповідь,$x = -10$ оскільки міра кута завжди позитивна. (У тригонометрії при введенні спрямованих кутів кути можуть мати негативну міру. Однак у цій книзі всі кути будуть розглядатися як позитивні міри,)

Перевірка,$x = 9$:

$2020-10-28 3.49.37.png$

Відповідь:$x = 9$,$\angle CAD = 9^{\circ}$,$\angle BAC = 81^{\circ}$.

Два кута називаються додатковими, якщо сума їх мір дорівнює$180^{\circ}$. Кожен кут називається доповненням іншого. Наприклад, кут нахилу$150^{\circ}$ і$30^{\circ}$ є додатковими.

2020-10-28 3.52.31.png — Малюнок$\PageIndex{6}$: Додаткові кути.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть доповнення під кутом$40^{\circ}$.

Рішення

$180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.

Відповідь:$140^{\circ}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть$x$ і додаткові кути:

$2020-10-28 3.56.00.png$

Рішення

З тих пір$\angle ADB = 180^{\circ}$,

\[\begin{array} {rcl} {4x - 20 + x} & = & {180^{\circ}} \\ {5x} & = & {180 + 20} \\ {5x} & = & {200} \\ {x} & = & {40} \end{array}\]

$\angle ADC = 4x - 20 = 4(40) - 20 = 160 - 20 = 140^{\circ}$

$\angle BDC = x = 40^{\circ}$,

$\angle ADC + \angle BDC = 140^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$.

Перевірка:

$2020-10-28 4.00.45.png$

Відповідь

$x = 40, \angle ADC = 140^{\circ}, \angle BDC = 40^{\circ}$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайти$x, y, z$:

$2020-10-28 4.02.03.пнг$

Рішення

$x^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$тому що$x^{\circ}$ і$80^{\circ}$ є мірами додаткових кутів.

\[\begin{array} {l} {y^{\circ} = 180^{\circ} - x^{\circ} = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}.} \\ {z^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}.} \end{array}\]

$2020-10-28 4.06.02.PNG$

Відповідь:$x = 100$,$y = 80$,$z = 100$.

Коли дві лінії перетинаються, як у прикладі E, вони утворюють дві пари кутів, які протилежні один одному називаються вертикальними кутами, На малюнку$\PageIndex{7}$,$\angle x$ і$\angle x'$ є однією парою вертикальних кутів. $\angle y$і$\angle y'$ a.re інша пара вертикальних кутів, Як запропонував приклад$\PageIndex{5}$, $\angle x = \angle x'$ and $\angle y = \angle y'$. To see this in general, we can reason as follows: $\angle x$ is the supplement of $\angle y$ so $\angle x = 180^{\circ} - \angle y$. $\angle x'$ is also the supplement of $\angle y$ so $\angle x' = 180 - \angle y$. Therefore $\angle x = \angle x'$. Similarly, we can show $\angle y = \angle y'$. Therefore vertical angles are always equal.

2020-10-28 4.11.02.PNG — Малюнок$\PageIndex{7}$:$\angle x$,$\angle x'$ і$\angle y$,$\angle y'$ являють собою пари вертикальних кутів.

Тепер ми можемо використовувати «вертикальні кути рівні» у вирішенні завдань:

Приклад$\PageIndex{5}$ (repeated)

Знайти$x, y$, і$z$:

$2020-10-28 4.14.23.пнг$

Рішення

$\angle x = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$тому що$\angle x$ є доповненням$80^{\circ}$.

$\angle y = 80^{\circ}$тому що вертикальні кути рівні.

$\angle z = \angle x = 100^{\circ}$тому що вертикальні кути рівні.

Відповідь:$x = 100$,$y = 80$,$z = 100$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Знайти$x$:

$2020-10-28 4.22.11.PNG$

Рішення

Так як вертикальні кути рівні,$10x^2 = 40^{\circ}$.

$\begin{array} {rclcrcl} {\text{Method 1:} \ \ \ \ \ \ 10x^2} & = & {40} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {\text{Method 2:} \ \ \ \ \ \ 10x^2} & = & {40} \\ {10x^2 - 40} & = & {0} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {\dfrac{10x^2}{10}} & = & {\dfrac{40}{10}} \\ {(10)(x^2 - 4)} & = & {0} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {x^2} & = & {4} \\ {x^2 - 4} & = & {0} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {x} & = & {\pm 2} \\ {(x + 2)(x - 2)} & = & {0} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {} & & {} \end{array}$

$\begin{array} {rcl} {x + 2} & = & {0} \\ {x} & = & {-2} \end{array}$$\begin{array} {rcl} {x - 2} & = & {0} \\ {x} & = & {2} \end{array}$

Якщо$x = 2$ тоді$\angle AEC = 10x^2 = 10(2)^2 = 10(4) = 40^{\circ}$.

Якщо$x = -2$ тоді$\angle AEC = 10x^2 = 10(-2)^2 = 10(4) = 40^{\circ}$.

Ми приймаємо рішення,$x =-2$ хоча і$x$ негативне, оскільки значення кута все$10x^2$ ще позитивне.

Перевірка:

$2020-10-28 4.29.31 пнг$

Відповідь:$x = 2$ або$x = -2$.

Приклад$\PageIndex{7}$

На схемі,$AB$ являє собою дзеркало,$CD$ являє собою промінь світла, що наближається до дзеркала з$C$, і$E$ являє собою око людини, яка спостерігає промінь, як він відбивається від дзеркала в$D$. Відповідно до закону фізики$\angle CDA$, званому кутом падіння, дорівнює$\angle EDB$, називається кутом відбиття. Якщо$\angle CDE = 60^{\circ}$, скільки дорівнює кут падіння?

$2020-10-28 4.34.08.пнг$

Рішення

Нехай$\x^{\circ} = \angle CDA = \angle EDB$.

\[\begin{array} {rcl} {x + x + 60} & = & {180} \\ {2x + 60} & = & {180} \\ {2x} & = & {120} \\ {x} & = & {60} \end{array}\]

Відповідь:$60^{\circ}$

Примітка про теореми та постулати

Приклад теореми є твердженням «вертикальні кути завжди рівні». Теорема - це твердження, яке ми можемо довести, що це правда. Доказ - це процес міркування, який використовує твердження, які вже відомі як правдиві, щоб показати істинність нового твердження. Прикладом доказу є обговорення, що передує твердженню «вертикальні кути завжди рівні». Ми використовували факти про додаткові кути, які вже були відомі, щоб встановити нове твердження, що «вертикальні кути завжди рівні».

В ідеалі ми хотіли б довести всі твердження в математиці, які, на нашу думку, є правдивими. Однак, перш ніж ми зможемо почати доводити що-небудь, нам потрібні справжні твердження, з яких почати. Такі твердження повинні бути настільки самоочевидними, щоб не вимагати доказів самі. Твердження такого роду, яке ми вважаємо істинним без доказів, називається постулатом або аксіомою. Прикладом постулату є припущення, що всі кути можна виміряти в градусах. Це було використано, фактично не будучи заявленим у нашому доказі, що «вертикальні кути завжди рівні»,

Теореми, докази та постулати складають серце математики, і ми зіткнемося з багатьма іншими з них, продовжуючи вивчення геометрії.