5: Гіперболічна геометрія
Гіперболічна геометрія може бути змодельована різними способами. Ми зупинимося тут на дисковій моделі Пуанкаре, розробленій Анрі Пуанкаре (1854-1912) приблизно в 1880 році. Пуанкаре зробив чудову роботу в математиці, хоча насправді він ніколи не був професором математики. Він особливо цікавився взаємозв'язками між математикою, фізикою та психологією. Він почав детально вивчати неевклідову геометрію після того, як вона з'явилася в його вивченні двох, очевидно, не пов'язаних між собою дисциплін: диференціальних рівнянь і теорії чисел. 1 Пуанкаре прийняв думку Кляйна, що геометрії генеруються множинами та групами перетворень на них. Розглянуто другу модель гіперболічної геометрії, верхню напівплощинну модель, у розділі 5.5.
- 5.2: Фігури гіперболічної геометрії
- Група евклідових перетворень, E, що складається з усіх (евклідових) обертань і перекладів, породжується роздумами про евклідові лінії. Аналогічно перетворення в Н генеруються гіперболічними відбиттями, які є інверсіями про кліни, які перетинають одиничну окружність під прямим кутом. Це говорить про те, що ці клайни повинні бути лініями гіперболічної геометрії.
- 5.3: Вимірювання в гіперболічній геометрії
- У цьому розділі ми розробляємо поняття відстані в гіперболічній площині.
- 5.4: Тригонометрія площі та трикутника
- Диференціал довжини дуги визначає диференціал площі, а площа області також буде інваріантом гіперболічної геометрії. Площа області не зміниться, коли вона рухається навколо гіперболічної площини.
- 5.5: Модель верхньої напівплощини
- Модель диска Пуанкаре - це один із способів представлення гіперболічної геометрії, і для більшості цілей вона нам дуже добре служить. Однак інша модель, звана верхньою напівплоскою моделлю, полегшує деякі обчислення, включаючи обчислення площі трикутника.