5: Гіперболічна геометрія
- Page ID
- 58645
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Гіперболічна геометрія може бути змодельована різними способами. Ми зупинимося тут на дисковій моделі Пуанкаре, розробленій Анрі Пуанкаре (1854-1912) приблизно в 1880 році. Пуанкаре зробив чудову роботу в математиці, хоча насправді він ніколи не був професором математики. Він особливо цікавився взаємозв'язками між математикою, фізикою та психологією. Він почав детально вивчати неевклідову геометрію після того, як вона з'явилася в його вивченні двох, очевидно, не пов'язаних між собою дисциплін: диференціальних рівнянь і теорії чисел. 1 Пуанкаре прийняв думку Кляйна, що геометрії генеруються множинами та групами перетворень на них. Розглянуто другу модель гіперболічної геометрії, верхню напівплощинну модель, у розділі 5.5.
- 5.2: Фігури гіперболічної геометрії
- Група евклідових перетворень, E, що складається з усіх (евклідових) обертань і перекладів, породжується роздумами про евклідові лінії. Аналогічно перетворення в Н генеруються гіперболічними відбиттями, які є інверсіями про кліни, які перетинають одиничну окружність під прямим кутом. Це говорить про те, що ці клайни повинні бути лініями гіперболічної геометрії.
- 5.3: Вимірювання в гіперболічній геометрії
- У цьому розділі ми розробляємо поняття відстані в гіперболічній площині.
- 5.4: Тригонометрія площі та трикутника
- Диференціал довжини дуги визначає диференціал площі, а площа області також буде інваріантом гіперболічної геометрії. Площа області не зміниться, коли вона рухається навколо гіперболічної площини.
- 5.5: Модель верхньої напівплощини
- Модель диска Пуанкаре - це один із способів представлення гіперболічної геометрії, і для більшості цілей вона нам дуже добре служить. Однак інша модель, звана верхньою напівплоскою моделлю, полегшує деякі обчислення, включаючи обчислення площі трикутника.