3.5: Трансформації Мебіуса: ближчий погляд

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58654

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Для візуалізації перетворень Мебіуса корисно зосередитись на фіксованих точках, а у випадку двох фіксованих точок - на двох сім'ях клінів щодо цих точок.

З огляду$\mathbb{C}^+\text{,}$ на дві точки$p$ і$q$ в типі I cline$\boldsymbol{p}$ і$\boldsymbol{q}$ є cline, який проходить через$p$$q\text{,}$ і і тип II cline$\boldsymbol{p}$ і$\boldsymbol{q}$ є cline щодо якого$p$ і$q$ є симетричний. Кліни II типу також називають колами Аполлонія (див. Вправа$3.3.2$). $3.5.1$На малюнку показані деякі типи I і тип II$q\text{.}$ клінів$p$ і типу II$q$ ключі$p$ і пунктирні.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Кліни типу I (тверді) та Тип II (пунктирні)$p$ та$q\text{.}$ (Авторське право; автор через джерело)

За теоремою$3.2.3$ будь-який тип II клін$p$ і$q$ перетинає будь-який тип I$q$ кліну$p$ і під прямим кутом. Крім того, оскільки перетворення Мебіуса зберігають кліни та точки симетрії, ми можемо бути впевнені, що перетворення Мебіуса зберігають кліни I типу, а також кліни II типу. Зокрема, якщо$C$ це тип I Cline з$p$ а$q\text{,}$ потім$T(C)$ є тип I Cline з$T(p)$ і$T(q)\text{.}$ аналогічно, якщо$C$ це тип II Cline з$p$ а$q\text{,}$ потім$T(C)$ є тип II Cline з$T(p)$ і$T(q)\text{.}$ Ми можемо використовувати це, щоб наша перевага.

Наприклад, тип I клакне точок$0$ і$\infty$ є, точно, лініями через початок, тоді як тип II clines$0$ і$\infty$ є колами з центром у початку. (Пам'ятайте, інверсія в колі займає центр кола до$\infty\text{.}$) Тип I кліни, в даному випадку, чітко перпендикулярні до типу II клінів, і вони об'єднуються для створення системи координат площини (полярні координати), як показано на малюнку$3.5.2(a)$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: (а) Клауни типу I (суцільні) та кліни типу II (пунктирні) точок 0 та$\infty$ (суцільний); (b) A перетворення Мебіуса$\infty \mapsto q$ посилає$0 \mapsto p$ та надсилає клайни I та II типу I та II типу$p$ та$q\text{,}$ відповідно.$0$$\infty$ (Авторське право; автор через джерело)

Ми можемо перемістити цю систему клінів, розглядаючи перетворення Мебіуса, яке відображає 0 до$p$ і$\infty$ до$q$ (де$p, q \neq \infty$). Лінії, що проходять через початок, відображуються на тип I,$p$$q\text{,}$ а кола, центровані на початку, відображаються на тип II clines of$p$ і$q\text{.}$ Результатом є система клінів, яка служить загальною системою координат для площини. Кожна точка$z$ в площині знаходиться на перетині однієї лінії I типу$p$ і$q$ і однієї лінії II типу і$p$$q\text{,}$ і ці дві лінії перетинаються під прямим кутом.

Давайте повернемося до фіксованих точок і того, як вони можуть допомогти нам описати перетворення Мебіуса. Розглянемо випадок, який$0$ і фіксується$\infty$, перш ніж приступити до загальної справи.

Приклад$\PageIndex{1}$: Fixing $0$ and $\infty$

Припустимо,$T(z) = (az+b)/(cz+d)$ це перетворення Мебіуса, яке фіксує 0 і$\infty\text{.}$ У цьому випадку форма перетворення Мебіуса може бути спрощена. Зокрема, оскільки$T(0) = 0\text{,}$ випливає, що$b=0\text{.}$ І з$T(\infty)=\infty\text{,}$ цього випливає, що$c = 0\text{.}$ Таким чином,$T(z) = \dfrac{a}{d}z$ що може бути написано як

\[ T(z) = re^{i\theta}z\text{.} \]

З$T$ в цій формі зрозуміло, що якщо$T$ фіксує$0$ а$\infty\text{,}$ потім$T$ - це поєднання розширення (по фактору$r$) і обертання про походження (по фактору$\theta$). Ми можемо припустити, що$r > 0$ в наведеному вище рівнянні, тому що якщо воно негативне, ми можемо перетворити його на позитивну константу, додавши$\pi$ до кута повороту.

Розширювання шляхом$r$ буде штовхати точки вздовж ліній через початок. Ці лінії точно типу I clines$0$ і$\infty\text{.}$ Всі точки на площині або головою в напрямку$\infty$ (якщо$r > 1$), або всі вони спрямовуються до 0 (якщо$0 \lt r \lt 1$). Звичайно, якщо$r = 1$ немає дилатації.

Тим часом обертання приблизно$0$$\theta$ штовхає точки вздовж кіл, зосереджених на початку. Ці кола є якраз II типу клінів$0$ і$\infty\text{.}$

Тепер припустимо,$T$ це перетворення Мебіуса, яке фіксує дві кінцеві точки$p$ і$q$ (ні є$\infty$). Нехай

\[ S(z) = \dfrac{z - p}{z-q} \]

бути перетворенням Мебіуса, яке приймає$p$$q$ до$0$ і$\infty\text{.}$$U$ Дозволяти бути перетворенням Мебіуса, що визначається рівнянням складу

\[\begin{equation} U = S \circ T \circ S^{-1} \text{.} \end{equation} \label{3.5.1}\]

Повідомлення

\[ U(0) = S \circ T \circ S^{-1}(0)= S\circ T(p) = S(p) = 0\text{,} \]

\[ U(\infty) = S \circ T \circ S^{-1}(\infty) = S \circ T(q) = S(q) = \infty\text{.} \]

Тобто перетворення Мебіуса,$U$ яке фіксує$0$ і$\infty\text{.}$ Отже, за прикладом$3.5.1$,$U$ є обертанням, розширенням або деякою комбінацією з них, і$U$ виглядає як$U(z) = re^{i\theta}z\text{.}$

У будь-якому випадку, зосередившись$T$ знову і використовуючи рівняння (1), яке можна переписати, коли$S \circ T = U \circ S\text{,}$ ми дійдемо до наступного рівняння, яке називається нормальною формою перетворення Мебіуса в цьому випадку.

Звичайна форма, дві фіксовані точки

Нормальна форма перетворення Мебіуса, що$T$ фіксує різні точки$p$ і$q$ (жодна з яких не є$\infty$):

\[ \dfrac{T(z) - p}{T(z) - q} = re^{i\theta} \cdot \dfrac{z - p}{z -q} \]

Ця нормальна форма набагато освітленіше, ніж стандартна$a,b,c,d$ форма, тому що, хоча карта все ще описується в терміні чотирьох констант ($p,q,r,\theta$), кожна константа тепер має просту геометричну інтерпретацію:$p$ і$q$ є фіксованими точками,$r$ є коефіцієнтом розширення по типу I clines$p$ і$q\text{,}$ і$\theta$ є коефіцієнтом обертання навколо II типу Clines$p$ і$q\text{.}$

Зокрема, завдяки рівнянню композиції (\ ref {3.5.1}) ми можемо розглядати$T$ як композицію$T = S^{-1}\circ U \circ S.$ З цією точкою зору,$T$ рухає точки відповідно до тринога подорожі. Подумайте про загальну точку, що$z$ чіпляється за перетин однієї лінії II типу$p$ і$q$ і одного типу I cline$p$ і$q$ (див. Рис.$3.5.3$).

Малюнок$\PageIndex{3}$: Відстеження зображення,$z$ якщо$T$ виправляє$p$ і$q\text{.}$ (Авторське право; автор через джерело)

По-перше,$z$ надсилається через$S$$S(z)\text{,}$ який знаходиться на перетині лінії через початок та кола, центрованого на початку. Другий,$U$ (який має вигляд$U(z) = re^{i\theta} z$), посилає$S(z)$ уздовж цієї лінії через початок (за коефіцієнтом розширення$r$), а потім навколо нового кола, центрованого у початку (за коефіцієнтом обертання$\theta$) до точки$U(S(z))\text{.}$ Третя,$S^{-1}$ відправляє$U(S(z))$ назад до перетину типу I cline$p$ і$q$ і типу II cline$p$ і$q\text{.}$ Ця точка перетину є$S^{-1}(U(S(z)))$ і еквівалентна$T(z)\text{.}$

Хоча втомився, наша добре пройдена точка розуміє, що є ярлик. Навіщо проходити цю складну прання? Ми можемо зрозуміти$T$ так:$T$ буде штовхати точки вздовж I типу clines$p$ і$q$ (відповідно до коефіцієнта розширення$r$) і вздовж II типу clines$p$ і$q$ (відповідно до коефіцієнта обертання$\theta$).

Підкреслимо два особливих випадки цієї нормальної форми. Якщо$|re^{i\theta}| = 1$ немає розширення, і точки просто обертаються навколо типу II clines$p$ і$q$ як на малюнку$3.5.4$. Таке перетворення Мебіуса називається еліптичним перетворенням Мебіуса.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Еліптичне перетворення Мебіуса фіксує$p$ та$q$ закручує точки навколо ліній II типу$p$ та$q\text{.}$ (Авторське право; автор через джерело)

Другий особливий випадок виникає, коли$\theta = 0\text{.}$ Тут ми маємо коефіцієнт розширення,$r\text{,}$ але немає обертання. Всі точки рухаються вздовж I типу ліній$p$ і$q\text{,}$ як на малюнку$3.5.5$. Трансформація Мебіуса цього сорту називається гіперболічним перетворенням Мебіуса. Гіперболічне перетворення Мебіуса фіксує$p$ і$q$ відправляє всі точки від$p$ і до$q$ або навпаки, залежно від значення$r\text{.}$

Малюнок$\PageIndex{5}$: Гіперболічне перетворення Мебіуса фіксує$p$ і$q$ відштовхує точки від однієї фіксованої точки і до іншої вздовж типу I clines$p$ і$q\text{.}$ (Авторське право; автор через джерело)

Якщо ми не знаходимося в одному з цих особливих випадків, то$T$ це просто поєднання цих двох, і перетворення Мебіуса цього типу часто називають локсодромной.

Якщо перетворення Мебіуса фіксує дві кінцеві точки, скажімо,$p$$q\text{,}$ і це не перетворення ідентичності, то якась кінцева точка надсилається до$\infty\text{.}$ Крім того,$\infty$ надсилається до певної кінцевої точки. Точка, відправлена в нескінченність,$T(z_\infty) = \infty\text{.}$ називається полюсом перетворення і часто позначається$z_\infty\text{.}$ Тобто$\boldsymbol{T}$ зворотний полюс - це зображення$\infty$ під картою, яке часто позначається як$w_\infty\text{.}$ Тобто,$T(\infty) = w_\infty\text{.}$ Існує проста залежність між чотирма точками $p,q,z_\infty,$і$w_\infty\text{.}$

Лемма$\PageIndex{1}$

Припустимо,$T$ це перетворення Мебіуса, яке фіксує різні кінцеві точки$p$ і$q\text{,}$ посилає$z_\infty$$\infty\text{,}$ і відправляє$\infty$ до$w_\infty\text{.}$ Тоді$p+q = z_\infty + w_\infty\text{.}$

Доказ

Припустимо,$T$ задовольняє умовам лема. Тоді$T$ має нормальну форму

\[ \dfrac{z-p}{z-q} = \lambda\dfrac{T(z)-p}{T(z)-q}\text{,} \]

де$\lambda = re^{i\theta}\text{.}$$z = z_\infty$ Підключіть до нормальної форми, щоб побачити

\[ \dfrac{z_\infty-p}{z_\infty-q} = \lambda\cdot 1\text{.} \]

$z = \infty$Підключіть до нормальної форми, щоб побачити

\[ 1 = \lambda\dfrac{w_\infty-p}{w_\infty-q}\text{.} \]

Далі розв'яжіть кожне рівняння для$\lambda\text{,}$ них рівних, перехресне множення, і спростіть таким чином, щоб отримати результат:

\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {z_\ infty-p} {z_\ inty-q} & =\ dfrac {w_\ infty-q} {w_\ infty-p}\\ (z_\ infty-p) (w_\ infty-q)\\ p^2-pw_\ infty-q) & = (z_\ infty-q)\\ p^2-pw_\ infty-q pz_\ infty & = q^2-qw_\ інфти-qz_\ infty\\ p^2-q^2 & = р (z_\ infty + w_\ infty) - q (z_\ infty + w_\ infty)\\ (р-q) & = (р-q) (z_\ infty + w_\ infty)\ intty)\\ p+q & = z_\ intty + w_\ infty & (\ текст {так} р\ neq q)\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

На цьому доказ завершено.

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$T$ це перетворення Мебіуса, яке фіксує дві чіткі, кінцеві точки$p$ і$q\text{,}$ посилає$z_\infty$ до них$\infty\text{,}$ і посилає$\infty$$w_\infty\text{,}$

\[ T(z) = \dfrac{w_\infty z - pq}{z-z_\infty}\text{.} \]

Доказ

На доказ Лемми ми виявили$3.5.1$, що константа$\lambda$ в нормальній формі$T$ є

\[ \lambda = \dfrac{z_\infty-p}{z_\infty-q}\text{.} \]

Звідси випливає, що$T$ має нормальну форму

\[ \dfrac{z-p}{z-q} = \left(\dfrac{z_\infty-p}{z_\infty-q}\right)\cdot\dfrac{T(z)-p}{T(z)-q}\text{.} \]

Вирішити цей вираз for$T(z)$ і зменшити його за допомогою того, що$p+q=z_\infty+w_\infty$ отримати вираз для$T$ цього з'являється в твердженні теореми. Подробиці залишаються читачеві.

Приклад$\PageIndex{2}$: Fix $-1$ and $1$ and Send $i \mapsto \infty$.

Лемма$3.5.1$, перетворення Мебіуса посилає$\infty$ до$-i\text{,}$ цього теоремою$3.5.1$,

\[ T(z) = \dfrac{-iz-(1)(-1)}{z-i} = \dfrac{-iz+1}{z-i}\text{.} \]

Приклад\ (\ pageIndex {3}): Аналіз перетворення Мебіуса

Розглянемо перетворення Мебіуса

\[ T(z) = \dfrac{(6+3i)z+(2-3i)}{z+3}\text{.} \]

Спочатку знаходимо фіксовані точки і нормальну форму$T\text{.}$ Щоб знайти фіксовані точки, які ми вирішуємо$T(z) = z$ для$z\text{.}$

\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {(6+3i) z+ (2-3i)} {z+3} & = z\\ (6+3i) z + (2-3i) & = z^2+3z\ z^2 - (3+3i) z - (2-3i) & = 0\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Гей! Зачекайте хвилинку! Це виглядає звично. Давайте подивимося$\ldots$ так! У прикладі 2.4.4 ми показали, що це квадратне рівняння має розв'язки$z = i$ і$z = 3+2i\text{.}$

Таким чином, карта має ці дві фіксовані точки, і нормальна форма$T$ є

\[ \dfrac{T(z)-i}{T(z)-(3+2i)}=\lambda\dfrac{z-i}{z-(3+2i)}\text{.} \]

Щоб знайти значення$\lambda\text{,}$ плагіна в нормальну форму зручне значення$z\text{.}$ Наприклад,$T(-3)=\infty\text{,}$ так

\[ 1=\lambda\dfrac{-3-i}{-3-(3+2i)}\text{.} \]

Звідси випливає, що$\lambda = 2\text{,}$ так$T$ гіперболічна карта, яка штовхає точки вздовж ліній крізь$i$ і$3+2i\text{.}$ Нижче - схема того, як карта штовхає точки навколо в$\mathbb{C}^+\text{.}$ Notice$T(0) =\dfrac{2}{3}-i\text{,}$$T(1)=2\text{,}$ і$T(4i) = 2.16+4.12i\text{.}$ Points рухаються вздовж типу I clines$i$ і $3+2i$подалі від$i$ і до$3 + 2i\text{.}$

З оригінального опису$T$ ми спостерігаємо, що полюс карти є,$z_\infty = -3\text{,}$ а зворотний полюс карти є$w_{\infty} = 6+3i\text{.}$ Зверніть увагу, що$z_\infty\text{,}$$w_\infty\text{,}$ і дві фіксовані точки лежать на одній евклідовій лінії. Це завжди буде для гіперболічного перетворення Мебіуса (Вправа$3.5.1$).

$im-ex-analyze-mob.svg$

Приклад$\PageIndex{4}$: Fix $i$ and $0$ and Send $1 \mapsto 2$.

Нормальна форма цієї карти

\[ \dfrac{T(z)-i}{T(z)-0}=\lambda\dfrac{z-i}{z-0}\text{.} \]

Оскільки$T(1) = 2$ ми знаємо, що

\[ \dfrac{2-i}{2}=\lambda(1-i)\text{.} \]

Рішення для$\lambda$ нас

\[ \lambda = \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}i\text{,} \]

і карта локсодромна.

Висловлюючи$\lambda$ в полярній формі,$\lambda = re^{i\theta}\text{,}$ дає$r = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$ і$\theta=\arctan(\dfrac{1}{3})\text{.}$ Так$T$ штовхає точки вздовж I типу clines$i$ і$0$ відповідно до масштабного$r$ коефіцієнта і вздовж II типу clines$i$ і$0$ відповідно до кута$\theta\text{.}$

Тепер розглянемо перетворення Мебіуса, які фіксують лише одну точку. Одне з таких перетворень Мебіуса приходить на розум відразу. Для будь-якого складного числа$d\text{,}$ переклад$T(z) = z + d$ виправляє лише$\infty\text{.}$ У вправах, ви доведете, що переклади є єдиними перетвореннями Мебіуса, які виправляють,$\infty$ і ніякої іншої точки.

Тепер припустимо$T$ виправлення$p \neq \infty$ (і ніякої іншої точки). Нехай$S(z) = \dfrac{1}{z-p}$ буде перетворення Мебіуса, що приймає$p$$\infty\text{,}$ і нехай$U = S \circ T \circ S^{-1}\text{.}$ Тоді$U(\infty) = S(T(S^{-1}(\infty)))=S(T(p))=S(p)=\infty\text{,}$ і не$U$ виправляє жодної іншої точки. Таким чином,$U(z) = z + d$ для якоїсь складної константи$d\text{.}$

Рівняння складу$S \circ T = U \circ S$ дає наступне рівняння, яке називається нормальною формою$\boldsymbol{T}$ фіксації перетворення Мебіуса$p \neq \infty$ (і жодної іншої точки):

Звичайна форма, одна фіксована точка$p\neq\infty$.

\[ \dfrac{1}{T(z) - p} = \dfrac{1}{z-p} + d \]

Спостерігайте, що$U(z)=z+d$ штовхає точки вздовж паралельних одна одній лініях у напрямку$d$ (як у правій частині малюнка$3.5.6$). Всі ці паралельні лінії зустрічаються в цій точці$\infty$ і є взаємно дотичними. Карта$S^{-1}$ приймає цю систему клінів до системи клінів, які зустрічаються просто в$p\text{,}$ і дотичні один до одного на,$p\text{,}$ як показано на малюнку. Нахил однієї лінії в цій системі залежить від значення константи$d\text{.}$ Насправді єдиною лінією в системі клінів є лінія наскрізь$p$ і$T(\infty)$ (докладніше$3.5.12$ див. Вправа).

Рисунок$\PageIndex{6}$: Параболічна карта фіксує$p$ точки вздовж ліній, які є взаємно дотичними в$p\text{.}$ (Авторське право; автор через джерело)

Карта, яка фіксує просто$p$ буде штовхати точки вздовж такої системи клінів, які взаємно$p\text{.}$ тангенсні на Така карта називається параболічної. У певному сенсі параболічна карта посилає точки як у напрямку, так і від$p$ уздовж цих ліній, так само, як будь-який переклад штовхає точки вздовж лінії в напрямку,$\infty$ а також від$\infty\text{.}$

Приклад$\PageIndex{5}$: Normal Form, One Fixed Point

Розглянемо.$T(z) = (7z-12)/(3z-5)\text{.}$ Щоб знайти його нормальну форму, ми починаємо з пошуку його фіксованих точок.

\ почати {вирівнювати*} z& = T (z)\\ z (3z-5) & = 7z-12\\ 3z^2-12z + 12 & = 0\\ z^2-4z + 4 & = 0\\\ (z-2) ^2 & = 0\\ z& = 2\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Так$T$ параболічно і має нормальну форму.

\[ \dfrac{1}{T(z)-2} = \dfrac{1}{z-2}+d\text{.} \]

Знайти$d$ плагін в зображенні іншої точки. Використовуючи оригінальний опис карти, ми знаємо$T(0)=2.4\text{,}$ так

\[ \dfrac{1}{0.4}=\dfrac{1}{-2}+d \]

так що$d = 3\text{.}$ Нормальна форма тоді

\[ \dfrac{1}{T(z)-2} = \dfrac{1}{z-2}+3\text{.} \]

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Завершіть доказ теореми$3.5.1$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Проаналізуйте кожне з перетворень Мебіуса нижче, знайшовши фіксовані точки, знайшовши нормальну форму та намалювавши відповідну систему координат клінів, обов'язково вказуючи на рух перетворення.

$\displaystyle T(z) = \dfrac{z}{2z-1}$
$\displaystyle T(z) = \dfrac{-z}{(1+i)z - i}$
$\displaystyle T(z) = \dfrac{3iz-5}{z-i}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Перетворення$T$ називається інволюцією, якщо вона є власною оберненою. Якщо це так, то відбувається$T\circ T$ трансформація ідентичності. Доведіть, що якщо перетворення Мебіуса$T$ є інволюцією, а не перетворенням ідентичності, воно повинно бути еліптичним.

Вправа$\PageIndex{4}$

Припустимо, перетворення Мебіуса$T$ має таку властивість: Існують різні точки$a, b, c$ в комплексній площині$\mathbb{C}$ такі, що$T(a) = b, T(b) = c, T(c) = a\text{.}$

Який образ унікального кліну наскрізь$a, b,$ і$c$ під$T\text{?}$
Поясніть, чому потрійна композиція$T\circ T \circ T$ - це трансформація ідентичності.
Доведіть, що$T$ це еліптичний.

Вправа$\PageIndex{5}$

Доведіть, що якщо перетворення Möbius$T$ виправляє тільки$\infty\text{,}$ тоді$T(z) = z + d$ для деяких складних констант$d\text{.}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть перетворення Мебіуса, яке виправляє$2$$4$ та$2+i$ надсилає$\infty\text{.}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Використовуйте звичайну форму для побудови та класифікації перетворення Мебіуса, яке фіксує$4$$8$ та$i$ надсилає$0$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо,$T$ це еліптичне перетворення Мебіуса, яке фіксує чіткі, кінцеві точки$p$ і$q\text{.}$

Довести, що точки$z_\infty$ і$w_\infty$ як визначено в Лемма$3.5.1$ лежать на перпендикулярній бісектрисі відрізка$pq\text{.}$
Показати, що$T$ це склад двох інверсій про кліни, які містять$p$ і$q\text{.}$

Підказка: Для частини b подумайте про те, яка інверсія виправляє$p$$q$ і приймає$z_\infty$$\infty\text{?}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Припустимо, перетворення Мебіуса$T$ фіксує чіткі, кінцеві точки$p$$q$ і посилає$z_\infty$$\infty$ до$\infty$ і до$w_\infty\text{.}$ Лемма$3.5.1$ ми знаємо$p+q=z_\infty+w_\infty\text{.}$ Використовуйте нормальну форму,$T$ щоб довести наступні факти.

Якщо$T$ еліптичний, то чотири точки$p\text{,}$$q\text{,}$$z_\infty\text{,}$ і$w_\infty$ утворюють ромб. За яких умов цей ромб насправді є квадратом?
Якщо$T$ гіперболічний, то ці 4 точки лежать на одній евклідовій лінії.
Якщо$T$ локсодромний, то за яких умов ці чотири точки визначають прямокутник?

Вправа$\PageIndex{10}$

Доведіть, що будь-яка пара непересічних клінів в$\mathbb{C}$ може бути відображена перетворення Мебіуса в концентричних кіл.

Відповідь: За теоремою$3.2.7$ є дві точки$p$ і$q$ в$\mathbb{C}$ яких симетричні по відношенню до обох клайн. Що станеться, якщо ми застосуємо трансформацію Мебіуса, яка приймає один із цих пунктів$\infty\text{?}$

Вправа$\PageIndex{11}$

Припустимо,$T = i_{C_1} \circ i_{C_2}$ де$C_1$ і$C_2$ знаходяться кліни, які не перетинаються. Доведіть, що$T$ має дві фіксовані точки, і ці точки знаходяться на всіх лініях перпендикулярно обох$C_1$ і$C_2\text{.}$

Вправа$\PageIndex{12}$

$T(z)$Припустимо, параболічний з нормальною формою

\[ \dfrac{1}{T(z)-p} = \dfrac{1}{z-p}+d\text{.} \]

Доведіть, що лінія через$p$ і$p+\dfrac{1}{d}$ отримує відправлений до себе$T\text{.}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Проаналізуйте,$T(z) = \dfrac{[(1+3i)z-9i]}{[iz+(1-3i)]}$ знайшовши фіксовані точки, знайшовши нормальну форму та намалювавши відповідну систему клінів, що вказують на рух перетворення.

Вправа$\PageIndex{14}$

Знайти параболічне перетворення з фіксованою точкою,$2+i$ для якої$T(\infty)=8\text{.}$

Вправа$\PageIndex{15}$

З огляду на різні точки$p\text{,}$$q\text{,}$ і$z$ в$\mathbb{C}\text{,}$ довести, існує тип II cline з$p$ і$q$ що проходить через$z\text{.}$

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\): Fixing \(0\) and \(\infty\)