3: Трансформації
- Page ID
- 58644
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Перетворення будуть в центрі уваги цієї глави. Це функції в першу чергу, часто використовуються для перенесення об'єктів з одного місця в просторі в більш зручне місце, але перетворення роблять набагато більше. Вони будуть використовуватися для визначення різних геометрій, і ми подумаємо про трансформацію з точки зору видів об'єктів (і функцій), на які вона не впливає.
- 3.1: Основні перетворення комплексних чисел
- У цьому розділі ми розробляємо наступні основні перетворення площини, а також деякі їх важливі особливості.
- 3.2: Інверсія
- Інверсія пропонує спосіб відображення точок по колу. Це перетворення відіграє центральну роль у візуалізації перетворень неевклідової геометрії, і цей розділ є основою багатьох з того, що далі.
- 3.3: Розширена площина
- Знову розгляньте інверсію кола C, заданого |z−z_0|=r, і зауважте, що точки, близькі до z_0, зіставляються з точками на площині, далекій від z_0. Насправді послідовність точок у комплексних числах, межа яких дорівнює z_0, буде інвертована в послідовність точок, величини яких сягають ∞. І навпаки, будь-яка послідовність точок у комплексних числах, що мають величини, що йдуть до ∞, буде інвертована на послідовність точок, межа яких дорівнює z_0.
- 3.4: Перетворення Мебіуса
- Якщо скласти два перетворення Мебіуса, результатом буде ще одне перетворення Мебіуса. Оскільки перетворення Мебіуса складаються з інверсій, вони охоплять тонші якості інверсій. Наприклад, оскільки інверсія зберігає клінси, так і перетворення Мебіуса, а оскільки інверсія зберігає кутові величини, перетворення Мебіуса зберігають кути (як парну кількість інверсій).
- 3.5: Трансформації Мебіуса: ближчий погляд
- Для візуалізації перетворень Мебіуса корисно зосередитись на фіксованих точках, а у випадку двох фіксованих точок - на двох сім'ях клінів щодо цих точок.