3: Трансформації

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.4: Складні вирази
- 3.1: Основні перетворення комплексних чисел

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Перетворення будуть в центрі уваги цієї глави. Це функції в першу чергу, часто використовуються для перенесення об'єктів з одного місця в просторі в більш зручне місце, але перетворення роблять набагато більше. Вони будуть використовуватися для визначення різних геометрій, і ми подумаємо про трансформацію з точки зору видів об'єктів (і функцій), на які вона не впливає.

3.1: Основні перетворення комплексних чисел
У цьому розділі ми розробляємо наступні основні перетворення площини, а також деякі їх важливі особливості.
3.2: Інверсія
Інверсія пропонує спосіб відображення точок по колу. Це перетворення відіграє центральну роль у візуалізації перетворень неевклідової геометрії, і цей розділ є основою багатьох з того, що далі.
3.3: Розширена площина
Знову розгляньте інверсію кола C, заданого |z−z_0|=r, і зауважте, що точки, близькі до z_0, зіставляються з точками на площині, далекій від z_0. Насправді послідовність точок у комплексних числах, межа яких дорівнює z_0, буде інвертована в послідовність точок, величини яких сягають ∞. І навпаки, будь-яка послідовність точок у комплексних числах, що мають величини, що йдуть до ∞, буде інвертована на послідовність точок, межа яких дорівнює z_0.
3.4: Перетворення Мебіуса
Якщо скласти два перетворення Мебіуса, результатом буде ще одне перетворення Мебіуса. Оскільки перетворення Мебіуса складаються з інверсій, вони охоплять тонші якості інверсій. Наприклад, оскільки інверсія зберігає клінси, так і перетворення Мебіуса, а оскільки інверсія зберігає кутові величини, перетворення Мебіуса зберігають кути (як парну кількість інверсій).
3.5: Трансформації Мебіуса: ближчий погляд
Для візуалізації перетворень Мебіуса корисно зосередитись на фіксованих точках, а у випадку двох фіксованих точок - на двох сім'ях клінів щодо цих точок.