2.4: Алгебра Паулі

2.4.1 Вступ

Розглянемо сукупність всіх\(2 \times 2\) матриць зі складними елементами. Звичайні визначення складання матриць і скалярного множення комплексними числами встановлюють цю множину як чотиривимірний векторний простір над полем комплексних чисел\(\mathcal{V}(4,C)\). При звичайному множенні матриці векторний простір стає, що називається алгеброю, в технічному сенсі пояснюється в кінці Розділу 1.3. Характер множення матриць гарантує, що ця алгебра, яку слід позначити\(\mathcal{A}_{2}\), є асоціативною та некомутативною, властивості, які відповідають теоретико-груповим програмам, які ми маємо на увазі.

Назва «алгебра Паулі» випливає, звичайно, з того, що вперше\(\mathcal{A}_{2}\) був введений у фізику Паулі, щоб вписати спін електронів у формалізм квантової механіки. З того часу застосування цієї методики поширилося в більшості галузей фізики.

З точки зору математики,\(\mathcal{A}_{2}\) це лише окремий випадок алгебри\(\mathcal{A}_{n}\)\(n \times n\) матриць, за допомогою якого останні інтерпретуються як перетворення над векторним простором\(\mathcal{V}(n^{2}, C)\). Їх приведення до канонічних форм - прекрасна частина сучасної лінійної алгебри.

Якщо математики не приділяють особливої уваги справі\(n = 2\), фізики, що займаються чотиривимірним простором-часом, мають для цього всі підстави, і виявляється найбільш корисним розробити процедури та докази для окремого випадку, а не посилатися на загальні математичні теореми. . Методика для такої програми була розроблена кілька років тому.

Отриманий формалізм тісно пов'язаний з алгеброю складних кватерніонів, і був названий відповідно системою гіперкомплексних чисел. Вивчення останнього сходить до Гамільтона, але ідея була значно розвинена в останні роки. Припущення про те, що матриці (1) повинні розглядатися символічно як узагальнення комплексних чисел, які все ще зберігають «числоподібні» властивості, є привабливим, і ми будемо періодично використовувати його. Тим не менш, здається, con fining, щоб зробити це центральним керівним принципом. Використання матриць краще гармонує зі звичайною практикою фізики і математики.

У майбутньому систематичному розвитку цієї програми ми, очевидно, охопимо багато ґрунту, яка добре відома, хоча деякі докази та концепції Уїтні та Тіси, здається, не використовуються в іншому місці. Однак головною відмінною рисою цього підходу є те, що ми не застосовуємо формалізм до фізичних теорій, які передбачаються наведеними, а розвиваємо геометричні, кінематичні та динамічні додатки в тісному паралелі з нарощуванням формалізму.

Оскільки наша дискусія має бути самодостатньою та економічною, ми використовуємо посилання лише економно. Однак на більш пізньому етапі ми скажемо все необхідне для полегшення читання літератури.

2.4.2 Основні визначення та процедури

Розглядаємо\(\mathcal{A}_{2}\) множину всіх\(2 \times 2\) складних матриць

\[\begin{array}{c} {A = \begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}\\ {a_{21}}&{a_{22}} \end{pmatrix}} \end{array} \label{EQ3.4.1}\]

Хоча можна генерувати\(\mathcal{A}_{2}\) з основи

\[\begin{array}{c} {e_{1} = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{0} \end{pmatrix}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {e_{2} = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {e_{3} = \begin{pmatrix} {0}&{0}\\ {1}&{0} \end{pmatrix}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {e_{4} = \begin{pmatrix} {0}&{0}\\ {0}&{1} \end{pmatrix}} \end{array}\]

в цьому випадку елементами матриці є коефіцієнти розширення, часто зручніше генерувати її з основи, утвореної матрицями Паулі, доповненими одиничною матрицею.

Відповідно\(\mathcal{A}_{2}\) називається алгебра Паулі. Базовими матрицями є

\[\begin{array}{c} {\sigma_{0} = I = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{1} \end{pmatrix}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\sigma_{1} = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {1}&{0} \end{pmatrix}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\sigma_{2} = \begin{pmatrix} {0}&{-i}\\ {i}&{0} \end{pmatrix}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\sigma_{3} = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{-1} \end{pmatrix}} \end{array}\]

Три матриці Паулі задовольняють загальновідомим правилам множення

\[\begin{array}{cc} {\sigma_{j}^2 = 1}&{j = 1,2,3} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {\sigma_{j} \sigma_{k} = - \sigma_{k} \sigma_{j} = i \sigma_{l}}&{j k l = 1 2 3 \text{or an even permutation thereof}} \end{array} \label{EQ2.4.11}\]

Всі базові матриці є ермітієвими, або самоспряженими:

\[\begin{array}{cc} {\sigma_{\mu}^{\dagger} = \sigma_{\mu}}&{\mu = 0,1,2,3} \end{array}\]

(За умовністю римські та грецькі індекси будуть працювати від одного до трьох і від нуля до трьох відповідно.)

Ми представимо матрицю A Equation\ ref {EQ2.4.1} як лінійну комбінацію базисних матриць з коефіцієнтом\(\sigma_{\mu}\) позначеного значення\(a_{\mu}\). Ми будемо називати числа\(a_{\mu}\) складовими матриці A. Як можна зробити висновок з правил множення, отримані з елементів матриці за допомогою відношення Equation\ ref {EQ2.4.11}, матричних компонентів

\[\begin{array}{c} {a_{\mu} = \frac{1}{2}Tr(A \sigma_{\mu})} \end{array}\]

де Tr позначає трасування. Детально,

\[\begin{array}{c} {a_{0} = \frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {a_{1} = \frac{1}{2}(a_{12}+a_{21})} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {a_{2} = \frac{1}{2}(a_{12}-a_{21})} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {a_{3} = \frac{1}{2}(a_{11}-a_{22})} \end{array}\]

У практичних застосуваннях ми часто бачимо, що матриця найкраще представлена в одному контексті її складовими, а в іншому - її елементами. Зручно мати повну гнучкість, щоб вибрати за бажанням між ними. Набір з чотирьох компонентів\(a_{\mu}\), що позначаються\(\{a_{\mu}\}\), часто буде розбитий на складний скаляр a0 і складний «вектор»\(\{a_{1}, a_{2}, a_{3}\} = \vec{a}\). Аналогічно базові матриці\(\mathcal{A}_{2}\) будуть\(\sigma_{0} = 1\) позначені і\(\{\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\} = \vec{\sigma}\). З цим позначенням,

\[\begin{array}{c} {A = \sum a_{\mu} \sigma_{\mu} = a_{0}1+\vec{a} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {= \begin{pmatrix} {a_{0}+a_{3}}&{a_{1}-ia_{2}}\\ {a_{1}+ia_{2}}&{a_{0}-a_{3}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

Ми пов'язуємо з.each матрицею половину сліду і детермінанту

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} Tr A = a_{0}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {|A| = a_{0}^{2}-\vec{a}^{2}} \end{array}\]

Те, наскільки ці числа задають властивості матриці A, буде видно з обговорення їх властивостей інваріантності в наступних двох підрозділах. Позитивний квадратний корінь детермінанти певним чином є нормою матриці. Його незникаючий:\(|A| \ne 0\), є критерієм для A бути оборотним.

Такі матриці можуть бути нормовані, щоб стати одномодульними:

\[\begin{array}{c} {A \rightarrow |A|^{-1/2}A} \end{array}\]

Випадок сингулярних матриць

\[\begin{array}{c} {|A| = a_{0}^{2}-\vec{a}^{2} = 0} \end{array}\]

закликає до коментарів. Ми називаємо матриці для яких\(|A| = 0\)\(A \ne 0\), але, нуль-матриці. Через їх виникнення не\(\mathcal{A}_{2}\) відбувається ділення алгебри. Це на відміну, скажімо, з безліччю реальних кватерніонів, що є алгеброю поділу, оскільки норма зникає лише для зникаючого кватерніону.

Той факт, що нуль-матриці важливі, частково випливає з невизначеної метрики Мінковського. Як би там не було, зовсім інші додатки будуть розглянуті пізніше.

Тепер ми перерахуємо деякі практичні правила для операцій в\(\mathcal{A}_{2}\), представляючи їх у вигляді матричних компонентів, а не більш звичних елементів матриці.

Для виконання множення матриць скористаємося формулою, передбаченою правилами множення Equantion\ ref {EQ3.4.11}:

\[\begin{array}{c} {(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b}I + i(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \sigma} \end{array}\]

де\(\vec{a}\) і\(\vec{b}\) є складними векторами.

Очевидно, що для будь-яких двох матриць A і B

\[\begin{array}{c} {[A,B] = AB-BA = 2i(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \sigma} \end{array}\]

Матриці A і B комутують, якщо і тільки якщо

\[\begin{array}{c} {\vec{a} \times \vec{b} = 0} \end{array} \label{EQ2.4.26}\]

тобто якщо векторні частини\(\vec{a}\) і\(\vec{b}\) є «паралельними» або хоча б одна з них зникає

Крім внутрішніх операцій додавання і множення, існують зовнішні операції на в\(\mathcal{A}_{2}\) цілому, які аналогічні складному відмінюванню. Остання операція являє собою інволюцію, а значить, що\((z^{*})^{*} = z\). З трьох інволюцій будь-які дві можна вважати незалежними.

У\(\mathcal{A}_{2}\) нас є дві незалежні інволюції, які можуть бути застосовані спільно, щоб отримати третину:

\[\begin{array}{c} {A \rightarrow A = a_{0}I+\vec{a} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {A \rightarrow A^{\dagger} = a_{0}^{*}I+\vec{a}^{*} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {A \rightarrow \tilde{A} = a_{0}I-\vec{a} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {A \rightarrow \tilde{A}^{\dagger} = \bar{A} = a_{0}^{*}I+\vec{a}^{*} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

Матриця\(A^{\dagger}\) є гермітовим суміжним А.На жаль, немає ні узгодженого символу, ні терміну для\(\tilde{A}\). Уїтні назвала це сполученим Паулі, інші терміни - кватерніонічний кон'югат або гіперкон'югат\(A^{\ddagger}\) (див. Edwards, l.c.). Нарешті\(\bar{A}\) називається складним відображенням. Перевірити правила нескладно

\[\begin{array}{c} {(AB)^{\dagger} = B^{\dagger}A^{\dagger}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {(\tilde{AB}) = \tilde{B}\tilde{A}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {(\bar{AB}) = \bar{B}\bar{A}} \end{array} \label{EQ2.4.33}\]

Відповідно до Equantion\ ref {EQ2.4.33} операція комплексного відбиття підтримує товарний зв'язок в\(\mathcal{A}_{2}\), це автоморфізм. На відміну від цього, відмінювання гермітів і Паулі є антиаутоморфними.

Примітно\(\tilde{}, \dagger, \bar{}\), що три операції разом з оператором ідентичності утворюють групу (чотиригрупа, «Vierergruppe»). Це знак закриття: ми, мабуть, не залишили жодного важливого оператора алгебри.

У різних контекстах будь-яке з трьох відмінювань виступає як узагальнення звичайних складних відмінювань.

Ось кілька застосувань правил відмінювання.

\[\begin{array}{c} {A\tilde{A} = (a_{0}^{2}-\vec{a}^{2})1 = |A|1} \end{array}\]

Для оборотних матриць

\[\begin{array}{c} {A^{-1} = \frac{\tilde{A}}{|A|}} \end{array}\]

Для одномодульних матриць ми маємо корисне правило:

\[\begin{array}{c} {A^{-1} = \tilde{A}} \end{array} \label{EQ2.4.36}\]

Ермітіанська матриця\(A = A^{\dagger}\) має справжні складові\(h_{0}, \hat{h}\). Ми визначаємо матрицю позитивною, якщо вона Ермітова і має позитивний слід і детермінант:

\[\begin{array}{cc} {h_{0} > 0}&{|H| = (h_{0}^{2}-\vec{h}^2) > 0} \end{array}\]

Якщо H позитивний і одномодульний, його можна параметризувати як

\[\begin{array}{c} {H = \cosh(\mu/2)1 + \sinh(\mu/2) \hat{h} \cdot \vec{\sigma} = \exp \{(\mu/2)h \cdot \vec{\sigma}\}} \end{array} \label{EQ2.4.38}\]

Експоненціальна матриця визначається степеневим рядом, який зводиться до тригонометричного виразу. Коефіцієнт 1/2 з'являється тільки для зручності в наступному підрозділі.

В алгебрі Паулі звичайне визначення\(U^{\dagger} = U^{-1}\) для унітарної матриці набуває вигляду

\[\begin{array}{c} {u_{0}^{*}1+\vec{u}^{*} \cdot \vec{\sigma} = |\vec{U}|^{-1}(u_{0}1-\vec{u} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

Якщо U теж одномодульний, то

\[\begin{array}{c} {u_{0} = u_{0}^{*} = \text{real}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\vec{u} = \vec{u} = \text{imaginary}} \end{array}\]

і

\[\begin{array}{c} {u_{0}^{2}-\vec{u} \cdot \vec{u} = u_{0}^{2}+\vec{u} \cdot \vec{u}^{*} = 1}\\ {U = \cos(\phi/2)1 − i \sin(\phi/2)\hat{u} \cdot \vec{\sigma} = \exp (-i(\phi/2)\hat{u} \cdot \vec{\sigma})} \end{array} \label{EQ2.4.42}\]

Унітарна одномодульна матриця може бути представлена і в плані елементів.

\[\begin{array}{c} {\begin{pmatrix} {\xi_{0}}&{-\xi_{1}^{*}}\\ {\xi_{1}}&{\xi_{0}^{*}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

із

\[\begin{array}{c} {|\xi_{0}|^2+|\xi_{1}|^2 = 1} \end{array}\]

де\(\xi_{0}, \xi_{1}\), - так звані параметри Кейлі-Кляйна. Ми побачимо, що і ця форма, і представлення кута осі, Equation\ ref {EQ2.4.42}, є корисними у належному контексті.
Перейдемо тепер до категорії нормальних матриць N, визначеної умовою, що вони комутують зі своїм гермітовим суміжним:\(N^{\dagger}N = NN^{\dagger}\). Викликаючи умову, рівняння\ ref {EQ2.4.26}, ми маємо

\[\begin{array}{c} {\vec{n} \times \vec{n}^{*} = 0} \end{array}\]

маючи на увазі,\(n^{∗}\) що пропорційно n, тобто всі компоненти\(\vec{n}\) повинні мати однакову фазу. Нормальні матриці, таким чином, мають вигляд

\[\begin{array}{c} {N = n_{0}1+n \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

де\(n_{0}\) і n - комплексні константи, а hatn - дійсний одиничний вектор, який ми називаємо віссю N. Зокрема, будь-яка одномодульна нормальна матриця може бути виражена як

\[\begin{array}{c} {N = \cos(\kappa/2)1 + \sinh(\kappa/2)\hat{n} \cdot \vec{\sigma} = \exp ((\kappa/2)\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

де\(k = \mu-i \phi, -\infty < \mu < \infty, 0 ≤ \phi < 4\pi\), і\(\hat{n}\) є реальним одиничним вектором. Якщо\(\hat{n}\) вказує в напрямку «3», ми маємо

\[\begin{array}{c} {N_{0} = \exp ((\kappa/2) \sigma_{3}) = \begin{pmatrix} {\exp(\kappa/2)}&{0}\\ {0}&{\exp(-\kappa/2)} \end{pmatrix}} \end{array} \label{EQ3.4.48}\]

Таким чином, матричні експоненціальні, рівняння\ ref {EQ2.4.38},\ ref {EQ2.4.42} і\ ref {EQ2.4.48}, є узагальненням діагональної матриці, і остання відрізняється вимогою, щоб вісь була спрямована в напрямку z.

Очевидно, що нормальна матриця, Equation\ ref {EQ2.4.48}, є комутуючим добутком позитивної матриці, як Equation\ ref {EQ2.4.38} з\(\hat{h} = \hat{n}\) і унітарної матриці, як EQ2.4.42}, з\(\hat{u} = \hat{n}\):

\[\begin{array}{c} {N = HU = UH} \end{array} \label{EQ2.4.49}\]

Вирази в Equation\ ref {EQ2.4.49} називаються полярними формами N, назва яких вибирається, щоб припустити, що подання N на H і U аналогічно представленню комплексного числа z додатним числом r і фазовим коефіцієнтом:

\[\begin{array}{c} {z = r \exp(−i\phi/2)} \end{array}\]

Покажемо, що в більш загальному плані будь-яка оборотна матриця має дві унікальні полярні форми.

\[\begin{array}{c} {A = HU = UH'} \end{array} \label{EQ2.4.51}\]

але тільки полярні форми нормальних матриць відображають такі еквівалентні особливості:

1. H і U їздять на роботу
2. \(\hat{h} = \hat{u} = \hat{n}\)
3. \(H' = H\)

З теореми полярного розкладання ми бачимо, що наш акцент на позитивних і унітарних матрицях виправданий, оскільки всі матриці\(\mathcal{A}_{2}\) можуть бути отримані з таких факторів. Переходимо до доведення теореми, вираженої в Equation\ ref {EQ2.4.51} за допомогою явної побудови.

Спочатку формуємо матрицю\(AA^{\dagger}\), яка є позитивною за критеріями\ ref {EQ2.4.36}:

\[\begin{array}{c} {a_{0}a_{0}^{*} +\vec{a} \cdot \vec{a}^{*} > 0} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {|A||A^{\dagger}| > 0} \end{array}\]

\(AA^{\dagger}\)Дозволяти виражатися через вісь\(\hat{h}\) і гіперболічний кут\(\mu\):

\[\begin{array}{c} {AA^{\dagger} = b(\cosh \mu 1+\sinh \mu \hat{h} \cdot \hat{\sigma})}\\ {b \exp(\mu \hat{h} \cdot \hat{\sigma})} \end{array} \label{EQ2.4.54}\]

де b - позитивна константа. Ми стверджуємо, що Ермітова складова A є додатним квадратним коренем\ ref {EQ2.4.54}

\[\begin{array}{c} {H = (AA^{\dagger})^{1/2} = b^{1/2} \exp(\frac{\mu}{2} \hat{h} \cdot \hat{\sigma})} \end{array} \label{EQ2.4.55}\]

із

\[\begin{array}{cc} {U = H^{-1}A}&{A = HU} \end{array} \label{EQ2.4.56}\]

Те, що U дійсно унітарний, легко перевірити:

\[\begin{array}{cc} {U^{\dagger} = A^{\dagger}H^{-1}}&{U^{-1} = A^{-1}H} \end{array}\]

і ці вирази дорівнюють рівнянню\ ref {EQ3.4.55}. З рівняння\ ref {EQ2.4.56} отримуємо

\(A = U(U^{-1}HU)\)

і

\[\begin{array}{ccc} {A =UH'}&{\text{with}}&{H' = U^{-1}HU} \end{array} \label{EQ2.4.58}\]

Залишається показати, що полярні форми\ ref {EQ2.4.56} унікальні. Припустимо, що для конкретного А у нас є два факторизації

\[\begin{array}{c} {A = HU = H_{1}U_{1}} \end{array}\]

потім

\[\begin{array}{c} {AA^{\dagger} = H^2 = H_{1}^{2}} \end{array}\]

Але, так як\(AA^{\dagger}\) має унікальний позитивний квадратний корінь\(H_{1} = H\), і

\[\begin{array}{cc} {U = H_{1}^{-1}A = H^{-1}A = U}&{q.e.d} \end{array}\]

Полярні форми добре відомі для будь-якої\(n \times n\) матриці, хоча докази унікальності, як правило, формулюються для абстрактних перетворень, а не для матриць, і вимагають, щоб перетворення були інвертованими.

2.4.3 Обмежена група Лоренца

Завершивши класифікацію матриць\(\mathcal{A}_{2}\), ми готові інтерпретувати їх як оперні тори і встановити зв'язок з групою Лоренца. Проста процедура полягала б у введенні двовимірного складного векторного простору\(\mathcal{V}(\in, C)\). Використовуючи звичний формалізм брекета, ми пишемо

\[\begin{array}{c} {A|\xi \rangle = |\xi' \rangle} \end{array} \label{EQ3.4.62}\]

\[\begin{array}{c} {A^{\dagger} \langle \xi| = \langle \xi' |} \end{array}\]

Двокомпонентні складні вектори прийнято називати спінорами. Детально вивчимо їх властивості в розділі 5. Причина цієї затримки полягає в тому, що фізична інтерпретація спінорів є тонкою проблемою з багатьма наслідками. Рекомендується спочатку розглянути ситуації, в яких об'єкт, на який слід експлуатувати, може бути представлений\(2 \times 2\) матрицею.

Очевидний вибір полягає в розгляді ермітієвих матриць, компоненти яких трактуються як релятивістські чотиривектори. Зв'язок між чотирьохвекторами і матрицями настільки тісна, що часто зручно використовувати один і той же символ для обох:

\[\begin{array}{c} {A = a_{0}1+\vec{a} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {A = \{a_{0}, \vec{a}\}} \end{array}\]

У нас є

\[\begin{array}{c} {a_{0}^{2}-\vec{a}^{2} = |A| = Tr(A\bar{A})} \end{array}\]

або загалом

\[\begin{array}{c} {a_{0}b_{0}-\vec{a}\vec{b} = Tr(A\bar{B})} \end{array} \label{EQ2.4.66}\]

Перетворення Лоренца визначається як лінійне перетворення

\[\begin{array}{c} {\{a_{0}, \vec{a}\} = \mathcal{L} \{a'_{0}, \vec{a}'\}} \end{array} \label{EQ2.4.67}\]

що залишає вираз\ ref {EQ2.4.67} і, отже, також\ ref {EQ2.4.66} інваріантним. Крім того, ми вимагаємо, щоб знак «часової складової» a0 був інваріантним (ортохронічне перетворення Лоренца\(L^{\uparrow}\)), а детермінант\(4 \times 4\) матриці L був позитивним (власне перетворення Лоренца\(L_{+}\)). Якщо обидві\(\uparrow\) умови виконуються, ми говоримо про обмежену групу Лоренца\(L_{+}^{\uparrow}\). Це єдиний, який представляє для нас поточний інтерес, і до подальшого повідомлення «група Лоренца» повинна тлумачитися в цьому обмеженому сенсі.

Зауважте, що A можна інтерпретувати як будь-який з чотирьох векторів, розглянутих у розділі 3.2:\(R = \{r, \vec{r}\}\),

\[\begin{array}{cc} {K = \{k_{0}, \vec{k}\}}&{P = \{p_{0}, \vec{p}\}} \end{array}\]

Хоча ці вектори та їх матричні еквіваленти мають однакові властивості перетворення, вони відрізняються можливим діапазоном їх детермінант. Негатив\(|P|\) може виникнути тільки для нефізичної уявної маси спокою. На відміну від цього, позитивний R відповідає часовому зміщенню, що вказує на майбутнє, R з негативним\(|R|\) до космічного зміщення і\(|R| = 0\) пов'язаний зі світловим конусом. Для хвильового вектора ми маємо за визначенням\(|K| = 0\).

Для опису перетворення Лоренца в алгебрі Паулі спробуємо «ансац»

\[\begin{array}{c} {A' = VAW} \end{array}\]

з для\(|V| = |W| = 1\) того, щоб зберегти\(|A|\). Реальність вектора, тобто герметичність матриці А зберігається при дотриманні додаткової умови\(W = V^{\dagger}\). Таким чином перетворення

\[\begin{array}{c} {A' = VAV^{\dagger}} \end{array} \label{EQ2.4.72}\]

залишає вираз\ ref {EQ2.4.66} інваріантним. Легко показати, що\ ref {EQ2.4.67} також є інваріантним.

Складне відображення А перетворюється як

\[\begin{array}{c} {\bar{A}' = \bar{V}\bar{A}\tilde{V}} \end{array} \label{EQ2.4.73}\]

і добуток двох чотирьох векторів:

\[\begin{array}{cc} {(A\bar{B})' = VAV^{\dagger}\bar{V}\bar{B}\tilde{V}}\\ {= V(A\bar{B})V^{-1}} \end{array}\]

Це так зване перетворення подібності. Взявши слід рівняння\ ref {EQ2.4.73}, ми підтверджуємо, що внутрішній твір\ ref {EQ2.4.67} є інваріантним під\ ref {EQ2.4.72}. Ми повинні пам'ятати, що циклічна перестановка не впливає на слід добутку матриць. Таким чином, рівняння\ ref {EQ2.4.72} дійсно індукує перетворення Лоренца у чотиривекторному просторі А.

Загальновідомо, що зворотне твердження також вірно: до кожного перетворення обмеженої групи Лоренца пов'язані\(L_{+}^{\uparrow}\) дві матриці, що відрізняються лише знаком (їх параметри\(\phi\) відрізняються на\(2 \pi\)) таким чином, щоб скласти гомоморфізм два до одного між група одномодульних матриць\(\mathcal{SL}(2, C)\) і група\(L_{+}^{\uparrow}\). Кажуть також, що\(\mathcal{SL}(2, C)\) забезпечує двозначне подання\(L_{+}^{\uparrow}\). Доведемо це твердження, наочно продемонструвавши зв'язок між матрицями V і індукованими, або пов'язаними груповими операціями.

Відзначимо спочатку, що А і\(\bar{A}\) відповідають в тензорній мові контраваріантному і коваріантному представленню вектора. Проілюструємо використання формалізму шляхом надання явної форми для оберненої\ ref {EQ2.4.72}

\[\begin{array}{c} {A = V^{-1}A'V^{\dagger -1} \equiv \tilde{V}A'\bar{V}} \end{array}\]

Ми посилаємося на теорему полярного розкладання Equation\ ref {EQ2.4.49} розділу 2.4.2 і зауважимо, що достатньо встановити цей зв'язок для унітарної та додатної матриць відповідно.

Розглянемо спочатку

\[\begin{array}{c} {A' = UAU^{\dagger} \equiv UAU^{-1}} \end{array} \label{EQ2.4.75}\]

із

\(U (\hat{u}, \frac{\phi}{2}) \equiv \exp(-\frac{i \phi}{2} \hat{u} \cdot \vec{\sigma})\)

\[\begin{array}{cc} {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2} = 1}&{0 < \phi < 4\pi} \end{array} \label{EQ2.4.76}\]

Множина всіх унітарних одномодульних матриць, описаних Equation\ ref {EQ2.4.76}, утворюють групу, яку прийнято називати\(\mathcal{SU}(2)\).

Розкладемо\(\vec{a}\):

\[\begin{array}{c} {\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} +\vec{a}_{\perp}} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {\vec{a}_{\parallel} =(\vec{a} \cdot \hat{u}) \hat{u}}&{\vec{a}_{\perp} = \vec{a}-\vec{a}_{\parallel} = \hat{u} \times (\vec{a} \times \hat{u})} \end{array}\]

Легко помітити, що Equation\ ref {EQ2.4.75} залишає\(a_{0}\) і\(a_{\parallel}\) інваріантний і викликає поворот навколо\(\hat{u}\) на кут\(\phi: R \{\hat{u}, \phi\}\).

І навпаки, кожному обертанню відповідають\(R \{\hat{u}, \phi\}\) дві матриці:

\[\begin{array}{ccc} {U(\hat{u}, \phi)}&{\text{and}}&{U(\hat{u}, \phi+2\pi) = -U(\hat{u}, \phi)} \end{array}\]

У нас є\(1 \rightarrow 2\) гомоморфізм між\(\mathcal{SO}(3)\) і\(\mathcal{SU}(2)\), останній, як кажуть, є двозначним представленням першого. Встановлюючи цю відповідність, ми вирішили задачу параметризації, сформульовану на сторінці 13. Дев'ять параметрів ортогональних\(3 \times 3\) матриць зводяться до трьох незалежних\(U(\hat{u}, \frac{\phi}{2})\). Більш того, ми маємо простий результат.

\[\begin{array}{c} {U^{n} = \exp(\frac{in \phi}{2} \hat{u} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

що зводиться до теореми де Муавра, якщо\(\hat{n} \cdot \vec{\sigma} = \sigma_{3}\).

Деякі зауваження в порядку щодо двозначності\(\mathcal{SU}(2)\) представлення. Це відбувається через використання половинних кутів в алгебраїчному формалізмі, який глибоко вкорінений у геометричній структурі ротаційної групи. (Дивіться теорему Родрігеса-Гамільтона в розділі 2.2.)

Тоді як двозначність\(\mathcal{SU}(2)\) представлення не впливає на трансформацію

Вектор, заснований на двосторонньому вираженні\ ref {EQ2.4.75}, ситуація буде розглядатися як інша в спіноріальної теорії, заснованої на Equation\ ref {EQ2.4.62}, оскільки за певних умов знак спінора\(|\xi \rangle\) є фізично значущим.

Наведене вище обговорення ротаційної групи є неповним навіть в рамках класичної теорії. Обертання\(R \{\hat{u}, \frac{\phi}{2}\}\) залишає вектори уздовж\(\hat{u}\) неураженими. Більш підходящим об'єктом для обертання є декартова тріада, яка буде розглянута в розділі 5.

Розглянемо тепер випадок позитивної матриці\(V = H\)

\[\begin{array}{c} {A' = HAH} \end{array}\]

із

\[\begin{array}{c} {H = \exp(\frac{\mu}{2} \hat{h} \cdot \sigma)} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+h_{3}^{2} = 1}&{-\infty < \mu < \infty} \end{array}\]

Розкладаємо\(\vec{a}\) як

\[\begin{array}{c} {\vec{a} = a \hat{h}+\vec{a}_{\perp}} \end{array}\]

і використовуючи те, що\((\vec{a} \cdot \vec{\sigma})\) і\((\vec{b} \cdot \vec{\sigma})\) їздити на роботу\(\vec{a} \parallel \vec{b}\) і антікоммутіруют для\(\vec{a} \perp \vec{b}\), отримуємо

\[\begin{array}{c} {A' = \exp(\frac{\mu}{2} \hat{h} \cdot \sigma)(a_{0}1+a \hat{h} \cdot \sigma+\vec{a}_{\perp} \cdot \sigma) \exp(\frac{\mu}{2} \hat{h} \cdot \sigma)} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {= \exp(\mu \hat{h} \cdot \sigma)(a_{0}1+a \hat{h} \cdot \sigma)+\vec{a}_{\perp} \cdot \sigma} \end{array}\]

Звідси

\[\begin{array}{c} {a'_{0} = \cosh \mu a_{0}+ \sinh \mu a} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {a' = \sinh \mu a_{0}+ \cosh \mu a_{0}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\vec{a}'_{\perp} = \vec{a}_{\perp}} \end{array}\]

Це можна порівняти з таблицею 2.1, але пам'ятайте, що ми перейшли від пасивної до активної інтерпретації, від псевдоніма до алібі.

Позитивні матриці із загальною віссю утворюють групу («маленька група» Вігнера), але в цілому добуток ермітієвих матриць з різними осями не є Ермітієвими. Виникає унітарний фактор, який є математичною основою для знаменитої прецесії Томаса.

Розглянемо тепер нормальну матрицю

\[\begin{array}{c} {V = N = H(\hat{k}, \frac{\mu}{2})U(\hat{k}, \frac{\phi}{2}) = \exp(\frac{\mu-i \phi}{2} \hat{n} \cdot \sigma)} \end{array}\]

де ми маємо комутаційний добуток обертання та перетворення Лоренца з тією ж віссю\(\hat{n}\). Таке сузір'я Лоренца називається 4-гвинтовим

Довільна послідовність чистих перетворень Лоренца і чистих обертань пов'язана з парою матриць V і\(-V\), яка в загальному випадку має вигляд

\[\begin{array}{c} {H(\hat{h}, \frac{\mu}{2})U(\hat{\mu}, \frac{\phi}{2}) = U(\hat{\mu}, \frac{\mu}{2})H'(\hat{h}', \frac{\phi}{2})} \end{array}\]

Згідно з Equation\ ref {EQ2.4.58} Розділу 2.4.2, H і H' з'єднані подібністю трансформатора, що впливає не на кут\(\mu\), а лише на вісь перетворення. (Див. Наступний розділ.)

Ця матриця залежить від 6 параметрів\(\hat{h}, \mu, \hat{u}, \phi\), і таким чином ми вирішили загальну задачу параметризації, згадану вище.

Для нормальної\(\hat{h} = \hat{u} = \hat{n}\) матриці кількість параметрів зменшується до 4.

Наш формалізм дозволяє надати замкнуту форму для двох довільних нормальних матриць і відповідних 4-х гвинтів.

\[\begin{array}{c} {[N, N'] = 2i \sinh \frac{\kappa}{2} \sinh \frac{\kappa}{2} (\hat{n} \times \hat{n}') \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

де\(\kappa = \mu-i \phi, \kappa' = \mu'-i \phi\).

У літературі комутаційні відносини зазвичай наведені термінами нескінченно малих операторів, які визначаються наступним чином:

\[\begin{array}{c} {U(\hat{u}_{k}, \frac{d \phi}{2}) = 1-d \phi \sigma_{k} = 1+d \phi I_{k}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {I_{k} = -\frac{i}{2} \sigma_{k}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {H(\hat{h}_{k}, \frac{d \mu}{2}) = 1+\frac{d \mu}{2} \sigma_{k} = 1+d \mu L_{k}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {L_{k} = \frac{1}{2} \sigma_{k}} \end{array}\]

Комутаційні відносини є

\[\begin{array}{c} {[I_{1},I_{2}] = I_{3}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {[L_{1},L_{2}] = -I_{3}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {[L_{1},I_{2}] = L_{3}} \end{array}\]

і циклічні перестановки.

Добре відомий результат теорії Лі-Картана неперервної групи, що ці нескінченно малі генератори визначають всю групу. Оскільки ми представляли ці генератори в\(\mathcal{SL}(2,C)\), ми завершили демонстрацію того, що вся група\(L_{+}^{\uparrow}\) враховується в нашому формалізмі.

3.4.4 Класи подібності та канонічні форми активних перетворень

Очевидно, що перетворення Лоренца, індуковане матрицею,\(H(\hat{h}, \frac{\mu}{2})\) приймає особливо просту форму, якщо вісь z системи координат розміщена у напрямку\(\hat{h}\). Діагональна\(H(\hat{z}, \frac{\mu}{2})\) матриця, як кажуть, є канонічною формою перетворення. Це твердження є окремим випадком проблеми канонічних форм лінійних перетворень, важливою главою лінійної алгебри.

Розглянемо лінійне відображення у векторному просторі. Особливий вибір основи призводить до матричного представлення відображення, а уявлення, пов'язані з різними кадрами, пов'язані перетвореннями подібності. \(A_{1}\)Дозволяти, бути довільним і S оборотна матриця. Трансформація подібності здійснюється на А, шляхом

\[\begin{array}{c} {A_{2} = SA_{1}S^{-1}} \end{array} \label{EQ2.4.100}\]

Матриці, пов'язані перетворенням подібності, називаються схожими, а матриці, схожі між собою, складають клас подібності.

У звичайній практиці відображення відноситься до векторного простору, як у Equation\ ref {EQ2.4.62} Розділу 2.4.3:

\[\begin{array}{c} {A_{1} |\xi \rangle_{1} = | \xi' \rangle_{1}} \end{array} \label{EQ2.4.101}\]

Індексний індекс відноситься до основи «1». Зміна основи\(\sum_{1} \rightarrow \sum_{2}\) виражається як

\[\begin{array}{cc} {|\xi \rangle_{2} = S|\xi \rangle_{1}}&{|\xi' \rangle_{2} = S|\xi' \rangle_{1}} \end{array}\]

Вставивши в рівняння\ ref {EQ2.4.101} отримаємо

\[\begin{array}{c} {A_{1} S^{-1} |\xi \rangle_{2} = S^{-1} | \xi \rangle_{2}} \end{array}\]

і, отже,

\[\begin{array}{c} {A_{2} |\xi \rangle_{2} = | \xi \rangle_{2}} \end{array}\]

де\(A_{2}\) дійсно задано рівнянням\ ref {EQ2.4.100}

Процедура, яку ми дотримувалися до цих пір, щоб представити перетворення Лоренца,\(A_{2}\) не зовсім відповідає цій стандартній схемі.

Розглянуто відображення простору чотирьохвекторів, які, в свою чергу, були представлені у вигляді\(2 \times 2\) складних матриць. Таким чином, як оператори, так і операнди є матрицями\(A_{2}\). Незважаючи на цю різницю в інтерпретації, матричні зображення в різних кадрах все ще пов'язані відповідно до Equation\ ref {EQ2.4.100}.

Це можна показати наступним чином. Розглянемо одномодульну матрицю A, яка індукує перетворення Лоренца в P-просторі, за допомогою якого матриці відносяться до основи\(\sum_{1}\):

\[\begin{array}{c} {P_{1}' = A_{1}P_{1}A_{1}^{\dagger}} \end{array} \label{EQ2.4.105}\]

Ми інтерпретуємо Equation\ ref {EQ2.4.105} в активному сенсі як лінійне відображення P-простору на себе, що фізично відповідає деякому динамічному процесу, що змінює P лінійним способом.

У розділі 4 ми побачимо, що сила Лоренца, що діє на заряджену частинку протягом часу dt, дійсно може розглядатися як активне перетворення Лоренца. (Див. також сторінку 26.)

Процес має фізичне значення, незалежне від кадру спостерігача, але матричні уявлення\(P, P'\) і A залежать від кадру. Чотири моменти в двох кадрах пов'язані перетворенням Лоренца, інтерпретованим у пасивному сенсі:

\[\begin{array}{c} {P_{2} = SP_{1}S^{\dagger}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {P_{2} = SP_{1}' S^{\dagger}} \end{array}\]

с\(|S| = 1\). Розв'язуючи\(P, P'\) і вставляючи в рівняння\ ref {EQ2.4.105}, отримаємо

\[\begin{array}{c} {S^{-1}P_{2}' \tilde{S}^{\dagger} = A_{1}S^{-1} P_{2} \tilde{S}^{\dagger} A_{1}^{\dagger}S} \end{array}\]

або

\[\begin{array}{c} {P_{2}' = A_{2}P_{2}A_{1}^{\dagger}} \end{array}\]

де\(A_{2}\) і знову\(A_{1}\) пов'язані за допомогою перетворення подібності\ ref {EQ2.4.100}.

Ми можемо застосувати теорему полярного розкладання до матриці S. В особливому випадку, що S є унітарним, ми говоримо про унітарне перетворення подібності, відповідне обертанню системи координат, обговорюваної на початку цього розділу. Однак загальний випадок призведе нас до менш очевидних фізичних застосувань.

Наведені вище міркування забезпечують достатню мотивацію для вивчення класів подібності\(\mathcal{A}_{2}\). Ми побачимо, що всі вони мають фізичні застосування, хоча інтерпретація відображень однини буде розглянута лише пізніше.

Класи схожості можна охарактеризувати кількома зручними способами. Наприклад, можна використовувати два незалежних інваріанти подібності, які поділяються усіма\(A = a_{0}l+\vec{a} \cdot \vec{\sigma}\) матрицями класу. Нам буде зручно вибирати

1. детермінант\(|A|\), і
2. кількість\(\vec{a}^2\)

Слід також є подібністю інваріантним, але він не є самостійним:\(a_{0}^{2} = |A|+\vec{a}\).

Як варіант, можна охарактеризувати весь клас одним представницьким його членом, деяка матриця\(A_{0}\) називається канонічною формою для класу (див. Таблицю 2.2).

Спочатку ми перейдемо до характеристики класів подібності в терміні інваріантів 1 і 2. Нагадаємо, що матриця A є оборотною if\(|A| \ne 0\) і одниною if\(|A| = 0\). Без суттєвої втрати узагальненості ми можемо нормалізувати оборотні матриці\(\mathcal{A}_{2}\) to be unimodular, так що нам потрібно обговорювати тільки класи сингулярних і одномодульних матриць. Як другий інваріант для характеристики класу ми вибираємо, і ми говоримо\(\vec{a} \cdot \vec{a}\), що матриця A є осьовою if\(\vec{a} \cdot \vec{a} = 0\). У цьому випадку існує одиничний вектор\(\hat{a}\) (можливо, складний) такий, що\(\vec{a} = a \cdot \hat{a}\) де a - складна константа. Одиничний вектор\(\hat{a}\) називається віссю А. навпаки, матриця А є неосьовим\(\vec{a} \cdot \vec{a} = 0\), якщо вектор\(\vec{a}\) називається ізотропним або нульовим вектором, він не може бути виражений через вісь.

Поняття осі, як тут визначено, є узагальненням дійсної осі, введеної у зв'язку з нормальними матрицями на сторінці 33. Корисність цього поняття очевидна з наступної теореми:

Теорема 1

Для будь-яких двох одиничних векторів\(\hat{v}_{1}\), і\(\hat{v}_{2}\), дійсних або комплексних, існує матриця S така, що

\[\begin{array}{c} {\hat{v}_{2} \cdot \vec{\sigma} = S \hat{v}_{1} \cdot \vec{\sigma} S^1} \end{array}\]

Доказ

Побудуємо одну таку матрицю S з наступних міркувань. Якщо\(\hat{v}_{1}\), і\(\hat{v}_{2}\) є дійсними, то нехай S - унітарна матриця, яка обертає кожен вектор на кут π навколо осі, яка перетинає кут між\(\hat{v}_{1}\), і\(\hat{v}_{2}\):

\[\begin{array}{c} {S = -i \hat{s} \cdot \vec{\sigma}} \end{array} \label{EQ3.4.111}\]

де

\[\begin{array}{c} {s = \frac{\hat{v}_{1}+\hat{v}_{2}}{\sqrt{2\hat{v}_{1} \cdot \hat{v}_{2}+2}}} \end{array} \label{EQ3.4.112}\]

Навіть якщо і не\(\hat{v}_{2}\) є реальними\(\hat{v}_{1}\), легко перевірити, що S, як це формально задано рівняннями\ ref {EQ3.4.111} і\ ref {EQ3.4.112}, дійсно\(\hat{v}_{1}\) надсилає\(\hat{v}_{2}\). Природно, S не є унікальним; наприклад, будь-яка матриця

\[\begin{array}{c} {S = \exp \{(\frac{\mu_{2}}{2}-i \frac{\phi_{2}}{2}) \vec{v}_{2} \cdot \vec{\sigma}\}( -i \hat{s} \cdot \vec{\sigma}) \exp \{(\frac{\mu_{1}}{2}-i \frac{\phi_{1}}{2}) \vec{v}_{1} \cdot \vec{\sigma}\}.} \end{array}\]

надішлю\(\hat{v}_{1}\) на\(\hat{v}_{2}\).

Ця конструкція виходить з ладу, тільки якщо

\[\begin{array}{c} {\hat{v}_{1} \cdot \hat{v}_{2}+1 = 0} \end{array}\]

тобто для перетворення\(\hat{v}_{1} \rightarrow -\hat{v}_{2}\) У цьому тривіальному випадку ми вибираємо

\[\begin{array}{cc} {S = -i \hat{s} \cdot \vec{\sigma}}&{\hat{s} \perp \vec{v}_{1}} \end{array}\]

Оскільки в алгебрі Паулі діагональні матриці характеризуються тим, що їх вісь є\(\hat{x}_{3}\), ми довели наступну теорему:

Теорема 2

Всі осьові матриці діагонізуються, але нормальні матриці і тільки нормальні матриці діагонізуються за допомогою унітарного перетворення подібності.

Діагональні форми легко встановити як для сингулярних, так і для одномодульних випадків. (Див. Таблицю 2.2.) Через свою простоту їх називають ще й канонічними формами. Зверніть увагу, що їх можна помножити на будь-яке комплексне число, щоб отримати всі осьові матриці\(\mathcal{A}_{2}\).

Ситуація зараз цілком зрозуміла: канонічні форми показують характер відображення; унітарне перетворення подібності лише змінює геометричну орієнтацію осі. Кут кругового і гіперболічного повороту, який задається,\(a_{0}\) є інваріантним. Загальне перетворення ускладнює вісь. Така ситуація виникає\(A = HU\), якщо в полярній формі матриці фактори мають чіткі реальні осі, а значить, не коммутують.

Залишається розібратися з випадком неосьових матриць. Розглянемо\(A = \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\) с\(\vec{a}^{2} = 0\). Розкладемо ізотропний вектор\(\vec{a}\) на дійсну і уявну частини:

\[\begin{array}{c} {\vec{a} = \vec{\alpha}+i\beta} \end{array}\]

Звідси\(\vec{\alpha}^{2}-\vec{\beta}^2 = 0\) і\(\alpha \cdot \beta = 0\). Оскільки реальна і уявна частини a перпендикулярні, ми можемо обертати ці напрямки шляхом унітарного перетворення подібності в x- і y-напрямки відповідно. Перетворена матриця

\[\begin{array}{c} {\frac{\alpha}{2} (\sigma_{1}+i\sigma_{2}) = \begin{pmatrix} {0}&{\alpha}\\{0}&{0} \end{pmatrix}} \end{array} \label{EQ3.4.117}\]

з позитивом. Подальше перетворення подібності з

\[\begin{array}{c} {S = \begin{pmatrix} {\alpha^{-1/2}}&{0}\\{0}&{\alpha^{1/2}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

перетворює рівняння\ ref {EQ3.4.117} в канонічну форму, наведену в таблиці 2.2.

Як ми бачили в розділі 2.4.3, всі одномодульні матриці викликають перетворення Лоренца в Мінковському, або чотириімпульсному просторі. Згідно з результатами, зведеними в таблиці 2.2, відображення, індуковані осьовими матрицями, можуть бути приведені перетвореннями подібності в так звані чотиригвинти Лоренца, що складаються з кругового і гіперболічного обертання навколо однієї і тієї ж осі, або іншими словами: обертання навколо осі, і прискорення вздовж того ж вісь.

А як щодо перетворення Лоренца, індукованого неосьовою матрицею? Характер цих перетворень сильно відрізняється від загального випадку і становить незвичайну обмежуючу ситуацію. Його виправдано назвати винятковим перетворенням Лоренца. Особливий статус цих перетворень був визнаний Вігнером в своїй фундаментальній роботі, присвяченій уявленням групи Лоренца.

Нинішній підхід набагато елементарніший, ніж Вігнер, як з точки зору математичної техніки, так і мети на увазі. Вігнер використовує стандартну алгебраїчну технологічну унікальність елементарних дільників для встановлення канонічної форми матриць Йордана. Ми використовуємо замість цього спеціалізовану техніку, адаптовану до дуже простої ситуації в алгебрі Паулі. Більш важливим є те, що Вігнер займався проблемою уявлень неоднорідної групи Лоренца, тоді як розглядається набагато простіша проблема самої групової структури, головним чином з огляду на застосування до електромагнітної теорії.

Інтуїтивне значення виняткових перетворень найкраще розпізнається з полярної форми генеруючої матриці. Це можна здійснити шляхом безпосереднього застосування методу, розглянутого в кінці останнього розділу. Однак повчальніше висловити рішення з точки зору (кругової та гіперболічної) тригонометрії.

Ми просимо умови, які повинні задовольняти полярні фактори, щоб співвідношення

\[\begin{array}{c} {1+\hat{a} \cdot \vec{\sigma} = H(\hat{h}, \frac{\mu}{2})U(\hat{u}, \frac{\phi}{2})} \end{array}\]

слід триматися с\(\mu \ne 0, \phi \ne 0\). Так як всі матриці одномодульні, досить розглянути рівність слідів:

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} TrA = \cosh (\frac{\mu}{2}) \cos (\frac{\phi}{2})-i \sinh( \frac{\mu}{2}) \sin (\frac{\phi}{2}) \hat{h} \cdot \hat{u} = 1} \end{array}\]

Ця умова виконується тоді і тільки в тому випадку, якщо

\[\begin{array}{c} {\hat{h} \cdot \hat{u} = 0} \end{array}\]

і

\[\begin{array}{c} {\cosh (\frac{\mu}{2}) \cos (\frac{\phi}{2}) = 1} \end{array}\]

Осі кругового і гіперболічного обертання, таким чином, перпендикулярні, один одному, і кути цих обертань пов'язані унікальним чином: половина кругового кута - це так звана функція Гудера манніана половини гіперболічного кута.

\[\begin{array}{c} {\frac{\phi}{2} = gd(\frac{\mu}{2})} \end{array}\]

Однак якщо\(\mu\) і\(\phi\) нескінченно малі, ми отримуємо

\[\begin{array}{c} {(1+\frac{\mu^2}{2}+\cdots)(1+\frac{\phi^2}{2}+\cdots) = 1, i.e.} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\mu^2-\phi^2 = 0} \end{array}\]

Наостанок відзначимо, що продукти виняткових матриць не повинні бути винятковими, отже виняткові перетворення Лоренца не утворюють групи.

Незважаючи на свій особливий характер, виняткові матриці мають цікаві фізичні застосування, як у зв'язку з електромагнітним полем, про що йдеться в Розділі 4, так і для конструювання уявлень неоднорідної групи Лоренца [Pae69, Wig39].

Зробимо висновок, зазначивши, що канонічні форми таблиці 3.2 піддаються вираженню повноважень\(A_{0}^{k}\) у простій формі.

Для осьової сингулярної матриці ми маємо

\[\begin{array}{c} {A_{0}^{2} = A} \end{array}\]

Ці проекційні матриці називаються ідемпотентними. Неосьові сингулярні матриці є нільпотентними:

\[\begin{array}{c} {A_{0}^{2} = 0} \end{array}\]

Виняткові матриці (одномодульні неосьові) піднімаються до будь-якої потужності k (навіть нереальних) за формулою

\[\begin{array}{c} {A^{k} = 1^{k}(1+k \vec{a} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {= 1^{k} \exp (k \vec{a} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

Для цілого числа k множник\(1^k\) стає одиницею. Осьовий одномодульний випадок обробляється формулами, які є узагальненням відомих формул де Муавре:

\[\begin{array}{c} {A^{k} = 1^k \exp (k \frac{\kappa}{2} + kl2 \pi i)} \end{array} \label{EQ3.4.130}\]

де l - ціле число. Для цілого числа k рівняння\ ref {EQ3.4.130} зменшується до

\[\begin{array}{c} {A^k = \exp(k(\frac{\kappa}{2}) \vec{a} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

У зв'язку з цими формулами відзначимо, що для позитивного\(\phi = 0\) А (і реального) існує унікальний позитивний математичний корінь A:

\[\begin{array}{c} {A = \exp \{(\frac{\mu}{2}) \hat{a} \cdot \vec{\sigma}\}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {A^{1/m} = \exp \{(\frac{\mu}{2m}) \hat{a} \cdot \vec{\sigma}\}} \end{array}\]

Вищевикладені результати зведені в таблицю 2.2.

Таблиця 2.2: Канонічні форми для класів подібності\(\mathcal{A}_{2}\).