3.3: Розширена площина

Розглянемо ще раз інверсію про коло,$C$ заданий$|z - z_0| = r\text{,}$ і спостерігайте, що точки близькі, щоб$z_0$ отримати відображені точки$z_0\text{.}$ в площині далеко від Насправді, послідовність точок, в межі$\mathbb{C}$ яких$z_0$ буде інвертована послідовність точок, чиї величини йдуть до$\infty\text{.}$ навпаки, будь-яка послідовність точок,$\mathbb{C}$ що мають величини, що марширують,$\infty$ буде інвертована на послідовність точок, межа яких дорівнює$z_0\text{.}$

Маючи це на увазі, ми визначаємо нову точку, яка називається точкою на нескінченності, позначається$\infty.$ Приєднуйтесь до цієї нової точки до площини, щоб отримати розширену площину, позначену як${\mathbb{C}}^+\text{.}$ Тоді, можна продовжити інверсію в колі,$C$ щоб включити точки$z_0$ і$\infty\text{.}$ В зокрема, інверсія$\mathbb{C}^+$ в окружності з$C$ центром$z_0$ з радіусом$r\text{,}$$i_C: \mathbb{C}^+ \to \mathbb{C}^+\text{,}$ задається

\[ i_C(z) = \begin{cases}\dfrac{r^2}{(\overline{z-z_0})} + z_0 & \text{ if $z \neq z_0,\infty$; } \\ \infty & \text{ if $z=z_0$; } \\ z_0 & \text{ if $z = \infty$ } \end{cases}\text{.} \]

Розглядаючи інверсію як перетворення розширеної площини, ми визначаємо$z_0$ і$\infty$ бути симетричними точками щодо кола інверсії.

Простір${\mathbb{C}}^+$ буде полотном, на якому ми робимо всю нашу геометрію, і важливо почати думати про «одного з банди», просто ще один момент, який слід враховувати.$\infty$ Усі наші переклади, розширення та обертання можуть бути перевизначені, щоб включити точку$\infty\text{.}$

Отже, де$\infty$ в${\mathbb{C}}^+\text{?}$ Вас підходите$\infty$, як ви рухаєтеся в будь-якому напрямку уздовж будь-якої лінії в складній площині. Більш загально, якщо$\{z_n\}$ послідовність комплексних чисел, таких$|z_n| \to \infty$ як$n \to \infty\text{,}$ тоді ми говоримо$\displaystyle\lim_{n\to\infty} z_n = \infty\text{.}$ За угодою, ми припускаємо, що$\infty$ знаходиться на кожному рядку в розширеній площині, і відображення через будь-яку лінію виправляє$\infty\text{.}$

Теорема$\PageIndex{1}$

Будь-яке загальне лінійне перетворення, поширене на${\mathbb{C}}^+$ виправлення домену$\infty\text{.}$

Доказ

Якщо$T(z) = a z + b$ де$a$ і$b$ складні константи з$a \neq 0\text{,}$ то граничними методами з числення, а$|z_n| \to \infty\text{,}$$|a z_n + b| \to \infty$ також. Таким чином,$T(\infty) = \infty\text{.}$

Отже, з новим доменом${\mathbb{C}}^+\text{,}$ ми змінюємо нашу фіксовану кількість точок для основних перетворень:

• Переклад$T_b$${\mathbb{C}}^+$ фіксує одну точку ($\infty$).
• Обертання про$R_\theta$ походження${\mathbb{C}}^+$ фіксує$2$ точки ($0$і$\infty$).
• Розширення$T(z) = kz$$2$ точок${\mathbb{C}}^+$ фіксації, ($0$і$\infty$).
• $r_L(z)$Відображення${\mathbb{C}}^+$ про лінію$L$ фіксує всі точки на$L$ (яка тепер включає$\infty$).

Приклад$\PageIndex{1}$: Some Transformations Not Fixing $\infty$.

Наступна функція є перетворенням${\mathbb{C}}^+$

$$T(z) = \dfrac{i+1}{z+2i}\text{,}$$

факт, який ми доводимо в наступному розділі. Наразі ми запитуємо, куди$T$ відправляє$\infty\text{,}$ і який пункт надсилається$\infty\text{.}$

Першим вирішуємо друге питання. Вхідні дані, які надсилаються,$\infty$ - це комплексне число, яке робить знаменник 0. Таким чином,$T(-2i) = \infty.$

Щоб відповісти на перше питання, візьміть улюблену послідовність, яка марширує до,$\infty\text{,}$ наприклад,$1, 2, 3,\ldots\text{.}$ зображення цієї послідовності,$T(1), T(2),$$T(3),\ldots$ складається зі складних дробів, в яких чисельник постійний, але знаменник зростає необмеженим за величиною по горизонтальній лінії $\text{Im}(z) = 2\text{.}$Таким чином, частка прагне до$0$, і$T(\infty) = 0\text{.}$

Як другий приклад, ви можете перевірити, що якщо

$$T(z) = \dfrac{iz+(3i+1)}{2iz+1},$$

потім$T(\dfrac{i}{2}) = \infty$ і$T(\infty) = \dfrac{1}{2}\text{.}$

Підкреслюємо, що наступні ключові результати попереднього розділу$\mathbb{C}^+$ також поширюються на:

• Існує унікальний клін через будь-які три різні точки в$\mathbb{C}^+\text{.}$ (Якщо одна з заданих точок в теоремі$3.2.1$ є$\infty\text{,}$ унікальним кліном - це лінія через дві інші точки.)
• Теорема$3.2.3$ застосовується до всіх пунктів,$z$ які не$C\text{,}$ включають$z = z_0$ або$\infty\text{.}$
• Інверсія про клін зберігає кутові величини у всіх точках$\mathbb{C}^+$ (ми обговорюємо це нижче).
• Інверсія зберігає точки симетрії для всіх точок в$\mathbb{C}^+$ (Теорема$3.2.5$ тримає, якщо$p$ або$q$ є$\infty$).
• Теорема$3.2.7$ тепер тримається для всіх клінів, які не перетинаються, включаючи концентричні кола. Якщо кола концентричні, точки, симетричні обом, є$\infty$ і загальним центром.

Стереографічна проекція

Закриваємо цей розділ поглядом на стереографічну проекцію. Ідентифікуючи розширену площину зі сферою, ця карта пропонує нам дуже корисний спосіб подумати про точку$\infty\text{.}$

Визначення: Одиниця$2$-Sphere

Одиниця$2$ -сфера, що позначається,$\mathbb{S}^2\text{,}$ складається з усіх точок в$3$ -просторі, які є однією одиницею від початку. Тобто,

$$\mathbb{S}^2 = \{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 ~|~ a^2+b^2+c^2=1\}\text{.}$$

Зазвичай ми будемо називати одиницю$2$ -сферу як просто «сферу». Стереографічна проекція сфери на розширену площину визначається наступним чином. Нехай$N = (0,0,1)$ позначимо північний полюс на сфері. Для будь-якої точки$P \neq N$ на сфері,$\phi(P)$ це точка на промені,$\overrightarrow{NP}$ яка живе в$xy$ -площині. Див. Рисунок$3.3.1$ для зображення$P$ типової точки сфери.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Стереографічна проекція. (Авторське право; автор через джерело)

Стереографічну проекційну карту$\phi$ можна описати алгебраїчно. Лінія через$N = (0,0,1)$ і$P = (a,b,c)$ має спрямований вектор,$\overrightarrow{NP}=\langle a,b,c-1\rangle\text{,}$ тому рівняння лінії може бути виражено як

$${\vec r}(t) = \langle 0,0,1\rangle + t\langle a,b,c-1\rangle\text{.}$$

Ця лінія перетинає$xy$ -площину, коли її$z$ координата дорівнює нулю. Це відбувається тоді$t = \dfrac{1}{1-c}\text{,}$, коли відповідає точці$(\dfrac{a}{1-c}, \dfrac{b}{1-c},0)\text{.}$

Таким чином, для точки$(a,b,c)$ на сфері зі$c \neq 1\text{,}$ стереографічною проекцією$\phi:\mathbb{S}^2 \to \mathbb{C}^+$ дається

$$\phi((a,b,c)) = \dfrac{a}{1-c}+\dfrac{b}{1-c}i\text{.}$$

Куди$\phi$ посилає північний полюс? До$\infty\text{,}$ звичайно. Послідовність точок на цих$\mathbb{S}^2$ підходах$N$ матиме точки зображення$\mathbb{C}$ з величинами, які наближаються$\infty\text{.}$

Кути на$\infty$.

Якщо ми думаємо$\infty$, як просто ще один момент, має$\mathbb{C}^+\text{,}$ сенс запитати про кути в цій точці. Наприклад, будь-які дві лінії перетинаються$\infty\text{,}$ і має сенс запитати про кут перетину в$\infty\text{.}$ Ми можемо керуватися, відповідаючи на це питання стереографічною проекцією, завдяки наступній теоремі.

Теорема$\PageIndex{2}$

Стереографічна проекція зберігає кути. Тобто, якщо дві криві на поверхні сфери перетинаються під кутом,$\theta\text{,}$ то криві їх зображення в$\mathbb{C}^+$ також перетинаються під кутом.$\theta\text{.}$

Таким чином, якщо дві криві$\mathbb{C}^+$ перетинаються на,$\infty$ ми можемо визначити кут, під яким вони перетинаються рівним куту, під яким перетинаються їх криві попереднього зображення під стереографічною проекцією. Кут, під яким перетинаються дві паралельні лінії$\infty$, дорівнює 0. Крім того, якщо дві лінії перетинаються в кінцевій точці, а$p$ також під$\infty\text{,}$ кутом, під яким вони перетинаються,$\infty$ дорівнює негативному кута, під яким вони перетинаються.$p\text{.}$ Як наслідок, можна сказати, що інверсія навколо кола зберігає кутові величини у всіх точках. в$\mathbb{C}^+\text{.}$

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

У кожному конкретному випадку знайдіть$T(\infty)$ і вхід$z_0$ такий, що$T(z_0) = \infty\text{.}$

1. $T(z) = \dfrac{(3 - z)}{(2z + i)}\text{.}$
2. $T(z) = \dfrac{(z + 1)}{e^{i\pi/4}}\text{.}$
3. $T(z) = \dfrac{(az + b)}{(cz + d)}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо,$D$ це коло Аполлонія$p$ і$q\text{.}$ Доведіть, що$p$ і$q$ симетричні по відношенню до$D\text{.}$

Підказка

Згадаймо коло$C$ в доказі теореми$3.2.6$. Показати це$p$ і$q$ отримати відправлені точки, які симетричні по відношенню до$i_C(D)\text{.}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Визначте зворотну стереографічну проекційну функцію.$\phi^{-1}:\mathbb{C}^+ \to \mathbb{S}^2\text{.}$ Зокрема, показують, що для$z = x + yi \neq \infty\text{,}$

$$\phi^{-1}(x,y) = \bigg(\dfrac{2x}{x^2+y^2+1},\dfrac{2y}{x^2+y^2+1},\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}\bigg).$$