3.3: Розширена площина

Розглянемо ще раз інверсію про коло,\(C\) заданий\(|z - z_0| = r\text{,}\) і спостерігайте, що точки близькі, щоб\(z_0\) отримати відображені точки\(z_0\text{.}\) в площині далеко від Насправді, послідовність точок, в межі\(\mathbb{C}\) яких\(z_0\) буде інвертована послідовність точок, чиї величини йдуть до\(\infty\text{.}\) навпаки, будь-яка послідовність точок,\(\mathbb{C}\) що мають величини, що марширують,\(\infty\) буде інвертована на послідовність точок, межа яких дорівнює\(z_0\text{.}\)

Маючи це на увазі, ми визначаємо нову точку, яка називається точкою на нескінченності, позначається\(\infty.\) Приєднуйтесь до цієї нової точки до площини, щоб отримати розширену площину, позначену як\({\mathbb{C}}^+\text{.}\) Тоді, можна продовжити інверсію в колі,\(C\) щоб включити точки\(z_0\) і\(\infty\text{.}\) В зокрема, інверсія\(\mathbb{C}^+\) в окружності з\(C\) центром\(z_0\) з радіусом\(r\text{,}\)\(i_C: \mathbb{C}^+ \to \mathbb{C}^+\text{,}\) задається

\[ i_C(z) = \begin{cases}\dfrac{r^2}{(\overline{z-z_0})} + z_0 & \text{ if \(z \neq z_0,\infty\); } \\ \infty & \text{ if \(z=z_0\); } \\ z_0 & \text{ if \(z = \infty\) } \end{cases}\text{.} \]

Розглядаючи інверсію як перетворення розширеної площини, ми визначаємо\(z_0\) і\(\infty\) бути симетричними точками щодо кола інверсії.

Простір\({\mathbb{C}}^+\) буде полотном, на якому ми робимо всю нашу геометрію, і важливо почати думати про «одного з банди», просто ще один момент, який слід враховувати.\(\infty\) Усі наші переклади, розширення та обертання можуть бути перевизначені, щоб включити точку\(\infty\text{.}\)

Отже, де\(\infty\) в\({\mathbb{C}}^+\text{?}\) Вас підходите\(\infty\), як ви рухаєтеся в будь-якому напрямку уздовж будь-якої лінії в складній площині. Більш загально, якщо\(\{z_n\}\) послідовність комплексних чисел, таких\(|z_n| \to \infty\) як\(n \to \infty\text{,}\) тоді ми говоримо\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} z_n = \infty\text{.}\) За угодою, ми припускаємо, що\(\infty\) знаходиться на кожному рядку в розширеній площині, і відображення через будь-яку лінію виправляє\(\infty\text{.}\)

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Будь-яке загальне лінійне перетворення, поширене на\({\mathbb{C}}^+\) виправлення домену\(\infty\text{.}\)

Доказ

Якщо\(T(z) = a z + b\) де\(a\) і\(b\) складні константи з\(a \neq 0\text{,}\) то граничними методами з числення, а\(|z_n| \to \infty\text{,}\)\(|a z_n + b| \to \infty\) також. Таким чином,\(T(\infty) = \infty\text{.}\)

Отже, з новим доменом\({\mathbb{C}}^+\text{,}\) ми змінюємо нашу фіксовану кількість точок для основних перетворень:

• Переклад\(T_b\)\({\mathbb{C}}^+\) фіксує одну точку (\(\infty\)).
• Обертання про\(R_\theta\) походження\({\mathbb{C}}^+\) фіксує\(2\) точки (\(0\)і\(\infty\)).
• Розширення\(T(z) = kz\)\(2\) точок\({\mathbb{C}}^+\) фіксації, (\(0\)і\(\infty\)).
• \(r_L(z)\)Відображення\({\mathbb{C}}^+\) про лінію\(L\) фіксує всі точки на\(L\) (яка тепер включає\(\infty\)).

Приклад\(\PageIndex{1}\): Some Transformations Not Fixing \(\infty\).

Наступна функція є перетворенням\({\mathbb{C}}^+\)

\[ T(z) = \dfrac{i+1}{z+2i}\text{,} \]

факт, який ми доводимо в наступному розділі. Наразі ми запитуємо, куди\(T\) відправляє\(\infty\text{,}\) і який пункт надсилається\(\infty\text{.}\)

Першим вирішуємо друге питання. Вхідні дані, які надсилаються,\(\infty\) - це комплексне число, яке робить знаменник 0. Таким чином,\(T(-2i) = \infty.\)

Щоб відповісти на перше питання, візьміть улюблену послідовність, яка марширує до,\(\infty\text{,}\) наприклад,\(1, 2, 3,\ldots\text{.}\) зображення цієї послідовності,\(T(1), T(2),\)\(T(3),\ldots\) складається зі складних дробів, в яких чисельник постійний, але знаменник зростає необмеженим за величиною по горизонтальній лінії \(\text{Im}(z) = 2\text{.}\)Таким чином, частка прагне до\(0\), і\(T(\infty) = 0\text{.}\)

Як другий приклад, ви можете перевірити, що якщо

\[ T(z) = \dfrac{iz+(3i+1)}{2iz+1}, \]

потім\(T(\dfrac{i}{2}) = \infty\) і\(T(\infty) = \dfrac{1}{2}\text{.}\)

Підкреслюємо, що наступні ключові результати попереднього розділу\(\mathbb{C}^+\) також поширюються на:

• Існує унікальний клін через будь-які три різні точки в\(\mathbb{C}^+\text{.}\) (Якщо одна з заданих точок в теоремі\(3.2.1\) є\(\infty\text{,}\) унікальним кліном - це лінія через дві інші точки.)
• Теорема\(3.2.3\) застосовується до всіх пунктів,\(z\) які не\(C\text{,}\) включають\(z = z_0\) або\(\infty\text{.}\)
• Інверсія про клін зберігає кутові величини у всіх точках\(\mathbb{C}^+\) (ми обговорюємо це нижче).
• Інверсія зберігає точки симетрії для всіх точок в\(\mathbb{C}^+\) (Теорема\(3.2.5\) тримає, якщо\(p\) або\(q\) є\(\infty\)).
• Теорема\(3.2.7\) тепер тримається для всіх клінів, які не перетинаються, включаючи концентричні кола. Якщо кола концентричні, точки, симетричні обом, є\(\infty\) і загальним центром.

Стереографічна проекція

Закриваємо цей розділ поглядом на стереографічну проекцію. Ідентифікуючи розширену площину зі сферою, ця карта пропонує нам дуже корисний спосіб подумати про точку\(\infty\text{.}\)

Визначення: Одиниця\(2\)-Sphere

Одиниця\(2\) -сфера, що позначається,\(\mathbb{S}^2\text{,}\) складається з усіх точок в\(3\) -просторі, які є однією одиницею від початку. Тобто,

\[ \mathbb{S}^2 = \{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 ~|~ a^2+b^2+c^2=1\}\text{.} \]

Зазвичай ми будемо називати одиницю\(2\) -сферу як просто «сферу». Стереографічна проекція сфери на розширену площину визначається наступним чином. Нехай\(N = (0,0,1)\) позначимо північний полюс на сфері. Для будь-якої точки\(P \neq N\) на сфері,\(\phi(P)\) це точка на промені,\(\overrightarrow{NP}\) яка живе в\(xy\) -площині. Див. Рисунок\(3.3.1\) для зображення\(P\) типової точки сфери.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Стереографічна проекція. (Авторське право; автор через джерело)

Стереографічну проекційну карту\(\phi\) можна описати алгебраїчно. Лінія через\(N = (0,0,1)\) і\(P = (a,b,c)\) має спрямований вектор,\(\overrightarrow{NP}=\langle a,b,c-1\rangle\text{,}\) тому рівняння лінії може бути виражено як

\[ {\vec r}(t) = \langle 0,0,1\rangle + t\langle a,b,c-1\rangle\text{.} \]

Ця лінія перетинає\(xy\) -площину, коли її\(z\) координата дорівнює нулю. Це відбувається тоді\(t = \dfrac{1}{1-c}\text{,}\), коли відповідає точці\((\dfrac{a}{1-c}, \dfrac{b}{1-c},0)\text{.}\)

Таким чином, для точки\((a,b,c)\) на сфері зі\(c \neq 1\text{,}\) стереографічною проекцією\(\phi:\mathbb{S}^2 \to \mathbb{C}^+\) дається

\[ \phi((a,b,c)) = \dfrac{a}{1-c}+\dfrac{b}{1-c}i\text{.} \]

Куди\(\phi\) посилає північний полюс? До\(\infty\text{,}\) звичайно. Послідовність точок на цих\(\mathbb{S}^2\) підходах\(N\) матиме точки зображення\(\mathbb{C}\) з величинами, які наближаються\(\infty\text{.}\)

Кути на\(\infty\).

Якщо ми думаємо\(\infty\), як просто ще один момент, має\(\mathbb{C}^+\text{,}\) сенс запитати про кути в цій точці. Наприклад, будь-які дві лінії перетинаються\(\infty\text{,}\) і має сенс запитати про кут перетину в\(\infty\text{.}\) Ми можемо керуватися, відповідаючи на це питання стереографічною проекцією, завдяки наступній теоремі.

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Стереографічна проекція зберігає кути. Тобто, якщо дві криві на поверхні сфери перетинаються під кутом,\(\theta\text{,}\) то криві їх зображення в\(\mathbb{C}^+\) також перетинаються під кутом.\(\theta\text{.}\)

Таким чином, якщо дві криві\(\mathbb{C}^+\) перетинаються на,\(\infty\) ми можемо визначити кут, під яким вони перетинаються рівним куту, під яким перетинаються їх криві попереднього зображення під стереографічною проекцією. Кут, під яким перетинаються дві паралельні лінії\(\infty\), дорівнює 0. Крім того, якщо дві лінії перетинаються в кінцевій точці, а\(p\) також під\(\infty\text{,}\) кутом, під яким вони перетинаються,\(\infty\) дорівнює негативному кута, під яким вони перетинаються.\(p\text{.}\) Як наслідок, можна сказати, що інверсія навколо кола зберігає кутові величини у всіх точках. в\(\mathbb{C}^+\text{.}\)

Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

У кожному конкретному випадку знайдіть\(T(\infty)\) і вхід\(z_0\) такий, що\(T(z_0) = \infty\text{.}\)

1. \(T(z) = \dfrac{(3 - z)}{(2z + i)}\text{.}\)
2. \(T(z) = \dfrac{(z + 1)}{e^{i\pi/4}}\text{.}\)
3. \(T(z) = \dfrac{(az + b)}{(cz + d)}\text{.}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Припустимо,\(D\) це коло Аполлонія\(p\) і\(q\text{.}\) Доведіть, що\(p\) і\(q\) симетричні по відношенню до\(D\text{.}\)

Підказка

Згадаймо коло\(C\) в доказі теореми\(3.2.6\). Показати це\(p\) і\(q\) отримати відправлені точки, які симетричні по відношенню до\(i_C(D)\text{.}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Визначте зворотну стереографічну проекційну функцію.\(\phi^{-1}:\mathbb{C}^+ \to \mathbb{S}^2\text{.}\) Зокрема, показують, що для\(z = x + yi \neq \infty\text{,}\)

\[ \phi^{-1}(x,y) = \bigg(\dfrac{2x}{x^2+y^2+1},\dfrac{2y}{x^2+y^2+1},\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}\bigg). \]