3.2: Інверсія

Інверсія пропонує спосіб відображення точок по колу. Це перетворення відіграє центральну роль у візуалізації перетворень неевклідової геометрії, і цей розділ є основою багатьох з того, що далі.

Припустимо,$C$ що коло з радіусом$r$ і центром$z_0\text{.}$ Інверсія в колі$C$ посилає точку$z \neq z_0$ в точку,$z^*$ визначену наступним чином: Спочатку побудуйте промінь$z_0$ через$z\text{.}$ Потім, нехай$z^*$ буде унікальна точка на цьому промінь, який задовольняє рівнянню

$$|z-z_0|\cdot|z^*-z_0| = r^2\text{.}$$

Точка$z^*$ називається симетричною$z$ точкою до щодо$C\text{.}$

Інверсія в колі з центром$z_0$ - це перетворення на множині,$\mathbb{C}-\{z_0\}$ що складається з усіх комплексних чисел, крім$z_0\text{.}$ Ми зазвичай позначаємо інверсію в колі$C$ по По$i_C(z) = z^*\text{.}$ У наступному розділі ми обговоримо, як продовжити це перетворення таким чином, щоб включити центр. $z_0\text{.}$

Ви опрацюєте кілька особливостей інверсій кола у вправах, включаючи те, як побудувати точки симетрії за допомогою циркуля і лінійки (див. Рис.$\PageIndex{5}$). Тут ми зауважимо, що$i_C$ фіксує всі точки на колі,$C\text{,}$ а точки всередині кола зіставляються з точками поза колом і навпаки. Чим ближче$z$ добирається до центру кола, тим далі$i_C(z)$ дістається від кола.

Приклад$\PageIndex{1}$: Inversion in the Unit Circle

Одиниця окружності в$\mathbb{C}\text{,}$$\mathbb{S}^1\text{,}$ позначається коло з центром$z_0 = 0$ і$r = 1\text{.}$ радіусом Рівняння для точки,$z^*$ симетричної точці$z \neq 0$ з респектом, щоб$\mathbb{S}^1$ таким чином зменшується від$|z-z_0|\cdot|z^*-z_0| = r^2$ до

$$|z|\cdot|z^*| = 1\text{.}$$

Більше того,$z^*$ це просто масштабована версія,$z$ оскільки вони знаходяться на одному промені через походження. Тобто,$z^* = kz$ для деякого позитивного дійсного$z^*$ числа$k\text{.}$ Підключіть цей опис до рівняння точки симетрії, щоб побачити,$|z| \cdot |kz| = 1\text{,}$ що означає$k = 1/|z|^2\text{.}$ Таким чином,$z^*=(1/|z|^2)z\text{.}$ Крім того,$|z|^2 = z \cdot \overline{z}\text{,}$ так інверсія в одиничному колі$\mathbb{S}^1$ може бути записана як

$$i_{\mathbb{S}^1}(z) = 1/\overline{z}\text{.}$$

Наступну формулу інверсії про довільне коло можна отримати складом інверсії в одиничному колі з деякими загальними лінійними перетвореннями. Деталі залишені до Вправи$3.2.1$.

Інверсія в колі$C$ centered at $z_0$ with radius $r$.

Інверсія в колі по$C$ центру$z_0$ з радіусом$r$ задається

\ begin {align*} i_c (z) & =\ frac {r^2} {(\ overline {z-z_0})} + z_0\ text {.} \ end {вирівнювати*}

Приклад$\PageIndex{2}$: Inverting Some Figures in a Circle

Нижче ми перевернули коло, букву 'М, 'і невелику сітку по всьому колу по$C$ центру$z_0\text{.}$ Це виглядає так, ніби зображення кола - це інше коло, що ми незабаром доведемо, що це так. Доведемо також, що лінії, що не перетинаються з центром,$C$ виходять перевернутими в кола. Звідси випливає, що відрізки лінії в «М» відображаються на дуги кіл.

Як$\PageIndex{2}$ показує приклад, різниця між лініями та колами трохи замутнюється інверсією. Лінія може бути відображена на колі і навпаки. Далі буде корисно розглядати відображення в рядку та інверсію в колі як окремі випадки тієї ж загальної карти. Щоб прийти до цього погляду, спочатку робимо лінії та кола особливими випадками одного і того ж загального типу фігури.

Визначення: Cline

Клін - це евклідове коло або лінія. Будь-який клін може бути описаний алгебраїчно рівнянням виду

$$cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha}\overline{z} + d = 0$$

де$z = x + yi$ комплексна змінна,$\alpha$ є комплексною константою, і$c, d$ є дійсними числами. Якщо$c = 0$ рівняння описує лінію, а якщо$c \neq 0$ і$|\alpha|^2 > cd$ рівняння описує коло.

Слово «клайн» (вимовляється «Кляйн») може здатися трохи вимушеним, але воно являє собою зрушення мислення, яке ми прагнемо досягти. Потрібно почати думати про лінії і кола як про різні прояви одного і того ж загального класу об'єктів. Який клас? Клас клінів.

$z = x + yi\text{,}$Допускаючи$\alpha = a + bi$ і рівняння кліну$cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0$ можна записати як

$$c(x^2+y^2)+[ax - by + (ay+bx)i]+[ax-by - (ay+bx)i] + d = 0$$

що спрощує

$$c(x^2+y^2) + 2(ax - by) + d = 0\text{.}$$

Якщо$c = 0$ тоді ми маємо рівняння прямої, і якщо у$c \neq 0$ нас є рівняння кола, так довго, як$a^2 + b^2 > cd\text{.}$ У цьому випадку рівняння можна поставити в стандартну форму, заповнивши квадрат. Давайте побіжимо через це.

Якщо$c \neq 0\text{,}$

\ почати {вирівнювати*} c (x^2+y^2) + 2ax - 2by + d & = 0\\ x^2 +\ гідророзриву {2a} {c} x + y^2 -\ розрив {2b} {c} y & = -\ розрив {d} {c}\ x ^ 2 +\ розрив {2a} {c} x +\ bigg (\ frac {a} {c}\ bigg) ^2 + y^2 -\ розрив {2b} {c} y +\ лівий (\ frac {b} {c}\ праворуч) ^2 & = -\ frac {d} {c} +\ ліворуч (\ frac {a} {c}\ праворуч) ^2+\ ліворуч (\ frac {b} {c}\ праворуч) ^2\\\ ліворуч (x+\ розрив {a} {c} \ праворуч) ^2+\ ліворуч (y-\ frac {b} {c}\ праворуч) ^2& =\ frac {a^2 + b^2-cd} {c^2}\ end {align*}

і ми маємо рівняння кола до тих пір, поки права сторона (радіус член) є позитивним. Іншими словами, у нас є рівняння кола до тих пір, поки$a^2 + b^2>cd\text{.}$ ми підсумовуємо цю інформацію нижче.

Рівняння Кляйна

Задано$c \neq 0\text{,}$,$c, d \in \mathbb{R}\text{,}$$\alpha \in \mathbb{C}\text{,}$ якщо рівняння кліну

$$cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0$$

дає коло з центром$z_0$ і радіусом$r\text{,}$, де

$$z_0=\bigg(-\frac{\text{Re}(\alpha)}{c}, \frac{\text{Im}(\alpha)}{c}\bigg)~~~\text{and}~~~ r = \sqrt{\frac{|\alpha|^2-cd}{c^2}}\text{,}$$

до тих пір, поки$|\alpha|^2 > cd\text{.}$ якщо$c = 0\text{,}$ рівняння кліну дає лінію.

Відтепер, якщо ви читаєте фразу «інверсія в клоні», знайте, що це означає інверсію в колі або роздуми про лінію, і якщо хтось вручає вам кляп,$C\text{,}$ ви можете сказати: «Дякую! До речі, це лінія чи коло?»

Ми зауважимо тут побудова кліну через три точки в$\mathbb{C}\text{.}$ Ця конструкція часто використовується в наступних розділах для генерації фігур в неевклідовій геометрії.

Теорема$\PageIndex{1}$

Існує унікальний клін через будь-які три різні точки в$\mathbb{C}\text{.}$

Доказ

Припустимо$w$,$u\text{,}$$v\text{,}$ і є різними комплексними числами. Якщо$v$ знаходиться на лінії через,$u$ а$w$ потім ця лінія є унікальним кліном через три точки. В іншому випадку три точки не лежать на одній лінії, і ми можемо побудувати коло через ці три точки, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$. Побудуйте перпендикулярну бісектрису до сегмента$uv\text{,}$ та перпендикулярну бісектрису до сегмента$vw\text{.}$ Ці бісектриси перетинаються, оскільки три точки не колінеарні. Якщо ми називаємо точку перетину,$z_0\text{,}$ то коло по центру$z_0$ через$w$ є унікальним кліном через три точки.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Побудова унікального кола через три точки не на одній лінії. (Авторське право; автор через джерело)

Теорема$\PageIndex{2}$

Інверсія в колі відображає кліни до клінів. Зокрема, якщо клайн проходить через центр кола інверсії, його зображення буде лінією; інакше зображення кліну буде коло.

Доказ

Доведено результат у випадку інверсії в одиничному колі. Потім піде загальний доказ, оскільки будь-яка інверсія - це склад цієї конкретної інверсії разом із перекладами та розширеннями, які також зберігають клайни за теоремою$3.1.2$.

Припустимо, клін$C$ описується рівнянням кліну.

$$cz\overline{z}+\alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0\text{,}$$

де$c, d \in \mathbb{R}\text{,}$$\alpha \in \mathbb{C}\text{.}$

Ми хочемо показати, що зображення цього кліну під інверсією в одиничному колі, також$i_{\mathbb{S}^1}(C)\text{,}$ є кліном. Ну,$i_{\mathbb{S}^1}(C)$ складається з усіх точок,$w = 1/\overline{z}\text{,}$ де$z$ задовольняє рівняння кліну для$C\text{.}$ Ми показуємо, що всі такі$w$ живуть на кліні.

Якщо$z \neq 0$ тоді ми можемо помножити кожну сторону рівняння кліну на,$1/(z\cdot \overline{z})$ щоб отримати

$$c +\alpha \frac{1}{\overline{z}} + \overline{\alpha} \frac{1}{z} +d\frac{1}{z}\frac{1}{\overline{z}}=0\text{.}$$

Але так як$w = 1/\overline{z}$ і$\overline{w} = 1/z\text{,}$ це рівняння зводиться до

$$c +\alpha\cdot w + \overline{\alpha} \cdot \overline{w} + dw\overline{w}=0\text{,}$$

або

$$dw\overline{w} + \alpha \cdot w + \overline{\alpha} \cdot \overline{w} + c = 0\text{.}$$

Таким чином, точки зображення$w$ утворюють рівняння кліна. Якщо$d = 0$ тоді оригінальний клін$C$ пройшов через початок, а клін зображення є рядком. Якщо$d \neq 0$ потім$C$ не пройшло через початок, а зображення клайн являє собою коло. (Насправді, ми також повинні перевірити, що$|\alpha |^2 > dc\text{.}$ це так, оскільки оригінальне рівняння кліну гарантує$|\alpha|^2 > cd\text{.}$)

Ми будемо називати дві лінії ортогональними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Наприклад, лінія ортогональна до кола тоді і тільки тоді, коли вона проходить через центр кола. Однією дуже важливою особливістю інверсії в$C$ є те, що кліни ортогональні, щоб$C$ отримати перевернуті до себе. Щоб довести цей факт, ми спочатку доводимо наступний результат, який можна знайти в Елементах Евкліда (Книга III, Пропозиція$36$).

Лемма$\PageIndex{1}$

Припустимо,$C$ це коло з радіусом по$r$ центру$o\text{,}$ і$p$ є точкою за межами$C\text{.}$ Нехай$s = |p-o|\text{.}$ Якщо лінія через$p$ перетинається$C$ в точках,$m$ а$n\text{,}$ потім

$$|p-m|\cdot|p-n|=s^2-r^2\text{.}$$

Доказ

Припустимо, лінія через$p$ не проходить через центр,$C\text{,}$ як на схемі нижче. $q$Дозволяти бути серединою сегмента$mn\text{,}$ і нехай$d = |q - o|$, як на діаграмі. Зверніть увагу також, що лінія через$q$ і$o$ є перпендикулярною бісектрисою відрізка$mn\text{.}$ Зокрема,$|m-q|=|q-n|\text{.}$

Теорема Піфагора, застосована до$\Delta pqo$ дає

$$|p-q|^2 + d^2 = s^2, \label{3.2.1}$$

і теорема Піфагора, застосована до$\Delta nqo$ дає

$$|q-n|^2 + d^2 = r^2. \label{3.2.2}$$

Віднімаючи рівняння ($\ref{3.2.2}$) з ($\ref{3.2.1}$), ми маємо

$$|p-q|^2-|q-n|^2 = s^2-r^2\text{,}$$

які фактори як

$$(|p-q|-|q-n|)(|p-q|+|q-n|) = s^2-r^2\text{.}$$

Так$|p-q|-|q-n| = |p-m|$ і результат$|p-q| + |q-n| = |p-n|\text{,}$ випливає.

Справа в тому, що лінія через$p$ проходить через центр$C$, залишається як вправа.

Відзначимо, що величина$s^2-r^2$ в попередній лемі часто називають$p$ силою точки по відношенню до кола.$C\text{.}$ Тобто, якщо коло$C$ має радіус,$r$ а точка$p$ - відстань$s$ від центру,$C$ то величина$s^2-r^2$ називається силою точки$p\text{.}$

Теорема$\PageIndex{3}$

Припустимо,$C$ це коло в$\mathbb{C}$ центрі$z_0\text{,}$ і не$z\neq z_0$ знаходиться$C\text{.}$ на кліні через$z$ ортогональний,$C$ якщо і тільки якщо він проходить через$z^*\text{,}$ точку симетрично по відношенню до$z$$C\text{.}$

Доказ

Припустимо,$C$ є окружністю радіуса з$r$ центром$z_0\text{,}$ і$D$ є кліном через точку$z \neq z_0$ не на$C\text{.}$$z^*$ Дозволяти позначити точку симетрично відносно$z$$C\text{.}$

По-перше, припустимо,$D$ що лінія через$z\text{.}$ лінію через$z$ проходить$z^*$ тоді і тільки тоді, коли вона проходить через центр$C\text{,}$ якої є істинним тоді і тільки тоді, коли лінія ортогональна до$C\text{.}$ Таким чином, рядок$D$ через$z$ містить$z^*$ якщо і тільки якщо вона ортогональна$C\text{,}$ і теорема доведена в даному випадку.

Тепер припустимо,$D$ це коло через$z\text{.}$$o$ Let і$k$ позначимо центр і радіус$D\text{,}$ відповідно. Встановіть$s = |z_o-o|\text{,}$ і нехай$t$ позначимо точку перетину$C$ і$D$ як на малюнку нижче.

Ми повинні стверджувати, що$C$ і$D$ є ортогональними тоді і тільки тоді,$D\text{.}$ коли зараз,$C$ і$D$ ортогональні тоді і тільки тоді, коли правильно, що відбувається тоді і лише тоді$r^2 = s^2-k^2$, коли теорема Піфагора.$z^*$$\angle otz_0$ Застосовуючи лему$3.2.1$ до точки$z_0$ (яка знаходиться зовні$D$) і лінії через,$z_0$ і$z\text{,}$ ми бачимо, що

$$|z_0-z|\cdot|z_0-w| = s^2-k^2, \label{3.2.3}$$

де$w$ - друга точка перетину прямої з колом$D\text{.}$

Зверніть увагу також, що як симетричні точки, так$z$ і$z^*$ задовольняють рівняння

$$|z_0-z|\cdot|z_0-z^*| = r^2. \label{3.2.4}$$

Таким чином, якщо ми припускаємо, що$z^*$ це на,$D\text{,}$ то він повинен бути дорівнює точці,$w\text{,}$ в якій випадку рівняння ($\ref{3.2.3}$) і ($\ref{3.2.4}$) вище говорять нам. З$s^2-k^2 = r^2\text{.}$ цього випливає,$D$ що ортогональна до$C\text{.}$ навпаки, якщо$D$ ортогональна до$C\text{,}$ то$s^2-k^2=r^2\text{,}$ так $|z_0-w|=|z_0-z^*|\text{.}$Оскільки$z^*$ і обидва$w$ знаходяться на промені,$\overrightarrow{z_0z}$ це повинно бути, що$z^* = w\text{.}$ Іншими словами,$z^*$ знаходиться на$D\text{.}$

Слідство$\PageIndex{1}$

Інверсія в$C$ приймає кліни ортогональні$C$ до себе.

Теорема$\PageIndex{4}$

Інверсія в кліні зберігає кутові величини.

Доказ

Результат був викладений для рядків у теоремі$3.1.5$. Тут ми$C$ припустимо коло інверсії. Розглянемо дві криві$\boldsymbol{r_1}$ і$\boldsymbol{r_2}$ які перетинаються в точці,$z$ яка не знаходиться$C$ або в центрі$C\text{.}$ Відкликання,$\angle(\boldsymbol{r_1},\boldsymbol{r_2}) = \angle(L_1,L_2)$ де$L_i$ лінія дотична до кривої$\boldsymbol{r_i}$ в$z\text{,}$ для$i = 1,2\text{.}$ Ми можемо описати цей кут двома колами$C_1$ і$C_2$ дотичної до дотичних ліній$L_1$ і$L_2\text{,}$ відповідно, з додатковою особливістю, що кола відповідають окружності інверсії$C$ під прямим кутом, як на рис$3.2.2$. Дійсно,$C_1$ це коло через$z$ і центр$z^*$ якого знаходиться на перетині ліній$m_1$ і$k\text{,}$ де$m_1$ знаходиться лінія через$z$ що перпендикулярно$L_1\text{,}$ і$k$ перпендикулярна бісектриса відрізка$zz^*\text{.}$ Коло$C_2$ також проходить,$z$$z^*\text{,}$ і його центр знаходиться на перетині$k$ і лінії$z$,$m_2$ через яку перпендикулярно$L_2\text{.}$

Малюнок$\PageIndex{2}$: Інверсія в колі зберігає кутові величини. (Авторське право; автор через джерело)

Перевага опису$\angle(L_1,L_2)$ з цими колами полягає в тому, що зображення кута,$\angle(i_C(L_1),i_C(L_2))\text{,}$ також описується цими двома колами, в іншій точці перетину$z^*\text{.}$ Зверніть увагу, що ці кути матимуть протилежні знаки. Наприклад, на малюнку$3.2.2$, наш початковий кут негативний, описаний підмітання дуги за$C_1$ годинниковою стрілкою,$C_2\text{,}$ але на зображенні ми розгортаємо$i_C(C_1)$ проти годинникової стрілки на$i_C(C_2)\text{.}$ Ми залишаємо це як вправу для читача, щоб перевірити, що кут перетину$C_1$ і $C_2$at$z^*$ - така ж величина, що і кут між$C_1$ і$C_2$ в$z\text{.}$

Тепер ми показуємо, що інверсія зберігає кутові величини для кутів, які виникають на колі$C$ ($z$тобто увімкнено$C$). $C^\prime$Дозволяти концентричне коло до$C\text{.}$ Тоді$i_C(z) = S\circ i_{C^\prime}$ де$S$ є розширення$\mathbb{C}$ якого фіксованою точкою є загальним центром кіл$C$ і$C^\prime$ (див. Вправа$3.2.12$). Оскільки наш кут не на колі$C^\prime\text{,}$$i_{C^\prime}$ зберігає величину кута за попереднім аргументом. Розширювання$S$ зберігає кути відповідно до теореми$3.1.5$. Таким чином, також$i_C$ зберігає кутові величини. Ми залишаємо випадок кута, що виникає на початку, до наступного розділу. Маючи на увазі цей виняток, це завершує доказ.

Ще однією важливою особливістю інверсії в кліні є те, що він зберігає точки симетрії.

Теорема$\PageIndex{5}$: Inversion Preserves Symmetry Points

$i_C$Дозволяти позначити інверсія в Cline$C\text{.}$ Якщо$p$ і$q$ симетричні по відношенню до Cline$D\text{,}$ то$i_C(p)$ і$i_C(q)$ симетричні по відношенню до Cline.$i_C(D)\text{.}$

Доказ

Припустимо,$C$ це клін інверсії, і припустити$p$ і$q$ симетричні по відношенню до cline,$D$ як на малюнку$3.2.3$ (де$C$ і$D$ представлені у вигляді кіл).

Малюнок$\PageIndex{3}$: Інверсія зберігає точки симетрії: Якщо$p$ і$q$ є симетричними відносно$D$ і ми інвертуємо про клін,$C$ то точки зображення симетричні по відношенню до зображення$D\text{.}$ (Авторське право; автор через джерело)

Ми можемо побудувати два clines$E$ і$F$ що пройти через$p$ і$q\text{.}$ На малюнку, cline$E$ є коло і cline$F$ - це лінія. Ці кліни перетинаються$D$ під прямим кутом (теорема$3.2.3$). Оскільки інверсія зберігає кліни і кутові величини, ми знаємо, що$E^*=i_C(E)$ і$F^*=i_C(F)$ є клінами, що перетинають клін$D^*=i_C(D)$ під прямим кутом. Обидва$E^*$ і$F^*$ містять$p^*=i_C(p)\text{,}$ так вони обидва містять точку симетричну щодо$p^*$$D^*$ (Теорема$3.2.3$), але єдина інша точка, спільна для обох$E^*$ і$F^*$ є$q^* = i_C(q)\text{.}$ Таким чином,$p^*$ і$q^*$ симетричні щодо до$D^*\text{.}$

Закриваємо розділ двома додатками інверсії.

Теорема$\PageIndex{6}$: Apollonian Circles Theorem

Дозволяти$p,q$ бути різні точки в$\mathbb{C}\text{,}$ і$k > 0$ позитивне дійсне число. Нехай$D$ складаються з усіх точок$z$ в$\mathbb{C}$ такому, що$|z-p| = k|z - q|.$ Тоді$D$ є cline.

Доказ

Якщо$k = 1\text{,}$ множина$D$ є евклідовою лінією, відповідно до Теореми$2.4.1$, тому ми$k \neq 1\text{.}$ припускаємо, що$C$ Дозволяти бути коло з центром$p$ з радіусом$1$. Припустимо$z$, довільна точка в$D\text{.}$ множині Інвертування про$C\text{,}$ нехай$z^* = i_C(z)$ і$q^* = i_C(q)$ як на наступній схемі.

Поспостерігайте спочатку, що$\Delta pz^*q^*$ і$\Delta pqz$ схожі.

Дійсно,$|p-z|\cdot|p-z^*|=1=|p-q|\cdot|p-q^*|$ за визначенням інверсійного перетворення, тому ми маємо рівні співвідношення довжини сторін

$$\frac{|p-z^*|}{|p-q|}=\frac{|p-q^*|}{|p-z|}\text{,}$$

і включені кути рівні,$\angle q^*pz^* = \angle qpz\text{.}$

Звідси випливає, що

$$\frac{|z-q|}{|p-q|}=\frac{|z^*-q^*|}{|z^*-p|}\text{,}$$

з якого ми виводимо

\ почати {вирівнювати*} |з^*-q^*|& =|з^*-р |\ cdot\ розриву {|z-q|} {|р-q|}\\ & = [|з^*-р |\ cdot|z-p |]\ cdot\ frac {|z-q|} {|z-p|}\ cdot\ frac {|р-q|}\ cdot\ frac {|р-q|} |}\\ & = 1\ cdot\ frac {1} {k}\ cdot\ frac {1} {|p-q|}\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Таким чином, множина всіх$D$ точок$z$$|z-p|=k|z-q|$ задовольняє має зображення$i_C(D)$ під цією інверсією, що складається з усіх точок$z^*$ на колі по центру$q^*$ з радіусом$(k|p-q|)^{-1}\text{.}$ Оскільки інверсія зберігає клінси і$p$ не на ній$i_C(D)\text{,}$ випливає, що$D$ сам по собі являє собою коло.

Коли ми$k$ пропускаємо всі позитивні дійсні числа, ми отримуємо сімейство клінів, які називаються колами Аполлонія точок$\boldsymbol{p}$ і$\boldsymbol{q}$. Відзначимо, що$p$ і$q$ симетричні по відношенню до кожного кліну в цьому сімействі (див. Вправа$3.3.2$).

Малюнок$\PageIndex{4}$: Знаходження двох точок, симетричних відносно прямої та кола. (Авторське право; автор через джерело)

Теорема$\PageIndex{7}$

Припустимо, у нас є два кліни, які не перетинаються, і хоча б одна з них - коло. Тоді існують дві точки,$p$ і$q\text{,}$ які симетричні по відношенню до обох клінів.

Доказ

По-перше, припустимо, що один клін - це лінія,$L\text{,}$ а інша - коло,$C$ центроване в точці$z_0$, як показано на малюнку$3.2.4$. $L_1$Дозволяти бути лінія через$z_0$ що перпендикулярно до$L\text{,}$ і нехай$z_1$ точка перетину$L$ і$L_1\text{.}$ наступного, побудувати коло,$C_1$ що має діаметр$z_0z_1\text{.}$ Коло$C_1$ перетинає коло$C$ в деякій точці, які ми виклик$t\text{.}$ Зверніть увагу, що$\angle z_0 t z_1$ це право, і тому коло по$C_2$ центру$z_1$ через$t$ ортогональний до$C\text{.}$ Крім того, центр$C_2\text{,}$$z_1\text{,}$ лежить на лінії$L\text{,}$ так$C_2$ ортогональний до$L\text{.}$ Нехай$p$ і $q$бути двома точками, в яких$C_2$ перетинається$L_1\text{.}$ За конструкцією, і за допомогою теореми$3.2.3$,$p$ і$q$ симетричні обом$C$ і$L\text{.}$

Тепер припустимо$C_1$ і$C_2$ є колами, які не перетинаються. Спочатку ми можемо виконати інверсію в колі$C$, яке$C_1$ відображає лінію$C_1^*\text{,}$ та$C_2$ інше коло,$C_2^*\text{,}$ як запропоновано на малюнку$3.2.5$ (будь-яке коло,$C$ центроване на точці$C_1$ роботи). Тоді через попередній аргумент існують дві точки$p$,$q$ які симетричні щодо$C_1^*$ і$C_2^*\text{.}$ Оскільки інверсія зберігає точки симетрії,$i_C(p)$ і$i_C(q)$ симетричні щодо обох$i_C(C_1^*)$ і$i_C(C_2^*)\text{.}$ Але $i_C(C_1^*) = C_1$і$i_C(C_2^*) = C_2$ тому ми знайшли дві точки симетричні для обох$C_1$ і$C_2\text{.}$ (Насправді, у нас є один виняток. Якщо$C_1$ і$C_2$ є концентричними колами, ця стратегія$i_C(p)$ дасть точки,$i_C(q)\text{,}$ одна з яких є центром,$C\text{,}$ і ми ще не розширили поняття інверсії, щоб включити центр. Ми робимо це в наступному розділі таким чином, що теорема застосовується і до цього виняткового випадку.)

Малюнок$\PageIndex{5}$: За допомогою інверсії ми можемо перетворити два кола на коло та лінію. (Авторське право; автор через джерело)

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Доведіть загальну формулу для інверсії в колі по$C$ центру$z_0$ з радіусом.$r\text{.}$ Зокрема, показати в цьому випадку, що

$$i_C(z) = \frac{r^2}{(\overline{z-z_0})} + z_0.$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Побудова симетричної точки до$z$ коли$z$ знаходиться всередині кола інверсії.

Доведіть, що для точки$z$ всередині кола$C$ з центром$z_0$ (Рисунок$3.2.6$ (а)), наступна конструкція знаходить точку симетрії$z\text{.}$

1. Намалюйте промінь$z_0$ наскрізь$z\text{.}$
2. Побудувати перпендикуляр до цього променя в$z\text{.}$$t$ Дозволяти бути точкою перетину цього перпендикуляра і$C\text{.}$
3. Побудувати радіус$z_0t\text{.}$
4. Побудувати перпендикуляр до цього$t\text{.}$ радіусу в точці симетричної точки$z^*$ є точкою перетину цього перпендикуляра і променя.$\overrightarrow{z_oz}\text{.}$

Рисунок$\PageIndex{6}$: Побудова симетричної точки (a), якщо$z$ знаходиться всередині кола інверсії; (b) якщо$z$ знаходиться поза колом інверсії. (Авторське право; автор через джерело)

Вправа$\PageIndex{3}$

Побудова симетричної точки до$z$ коли$z$ знаходиться поза колом інверсії.

Доведіть, що для точки$z$ за межами кола$C$ з центром$z_0$ (рис.$3.2.6$ (b)), наступна конструкція знаходить точку симетрії$z\text{.}$

1. Побудувати коло, що має діаметр$z_0z\text{.}$$t$ Дозволяти бути точкою перетину двох кіл.
2. Побудувати перпендикуляр до$z_0z$$t\text{.}$ наскрізного$z^*$ Дозволяти бути перетином цього перпендикуляра з$z_0z\text{.}$

Вправа$\PageIndex{4}$

Припустимо,$T_1$ є інверсія в колі$|z| = r_1\text{,}$ і$T_2$ є інверсія в колі$|z| = r_2\text{,}$ де$r_1, r_2 > 0\text{.}$ Доведіть, що$T_2 \circ T_1$ це розширення. І навпаки, показати будь-яке розширення - це склад двох інверсій.

Вправа$\PageIndex{5}$

Визначте зображення прямої$y = mx + b$ (коли$b \neq 0)$ під інверсією в одиничному колі). Зокрема, показати, що зображення являє собою коло з центром$(-\dfrac{m}{2b}, \dfrac{1}{2b})$ і радіусом$\sqrt{\dfrac{(m^2 + 1)}{4b^2}}\text{.}$

Підказка

Зверніться до Вправи$2.4.1$.

Вправа$\PageIndex{6}$

Визначте зображення лінії,$L$ заданої$y = 3x + 4$ під інверсією в одиничному колі. Дайте ретельний сюжет одиничного кола, лінії$L\text{,}$ і зображення$L$ під інверсією.

Вправа$\PageIndex{7}$

Доведіть, що інверсія в одиниці кола відображає коло$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ до кола

$$\bigg(x-\frac{a}{d}\bigg)^2 + \bigg(y-\frac{b}{d}\bigg)^2 = \bigg(\frac{r}{d}\bigg)^2$$

де$d = a^2+b^2-r^2\text{,}$ передбачено, що$d \neq 0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Визначте в стандартній формі зображення кола,$C$ заданого$(x-1)^2 + y^2 = 4$ під інверсією в одиничному колі. Дайте уважний сюжет одиниці кола, кола$C\text{,}$ і зображення$C$ під інверсією.

Вправа$\PageIndex{9}$

Правда чи брехня? Якщо коло$C$ зіставляється до іншого кола під інверсією в одиничному колі, то центр$C$ отримує відображено до центру кола зображення.$i_{\mathbb{S}^1}(C)\text{.}$ Якщо твердження істинно, довести це; якщо це помилково, надати контрприклад.

Вправа$\PageIndex{10}$

Припустимо$C$ і$D$ є ортогональними колами. Слідство$3.2.1$ говорить нам, що інверсія в$C$ картах сама$D$ по собі. Доведіть, що ця інверсія також приймає інтер'єр$D$ до себе.

Вправа$\PageIndex{11}$

Завершіть доказ теореми,$3.2.4$ показавши, що кут перетину$z^*$ дорівнює куту перетину на$z$ малюнку$3.2.2$.

Вправа$\PageIndex{12}$

Припустимо,$C$ це коло$|z - z_0| = r$ і$C^\prime$ є коло$|z - z_0| = r^\prime\text{.}$ Знайти коефіцієнт розтягування$k$ в розширенні$S(z) = k(z-z_0) + z_0$ так, щоб$i_C = S \circ i_{C^\prime}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Завершіть доказ$3.2.1$ Лемми, доводячи випадок, в якому лінія через$p$ проходить через центр$C\text{.}$