3.2: Інверсія
- Page ID
- 58650
Інверсія пропонує спосіб відображення точок по колу. Це перетворення відіграє центральну роль у візуалізації перетворень неевклідової геометрії, і цей розділ є основою багатьох з того, що далі.
Припустимо,\(C\) що коло з радіусом\(r\) і центром\(z_0\text{.}\) Інверсія в колі\(C\) посилає точку\(z \neq z_0\) в точку,\(z^*\) визначену наступним чином: Спочатку побудуйте промінь\(z_0\) через\(z\text{.}\) Потім, нехай\(z^*\) буде унікальна точка на цьому промінь, який задовольняє рівнянню
\[ |z-z_0|\cdot|z^*-z_0| = r^2\text{.} \]
Точка\(z^*\) називається симетричною\(z\) точкою до щодо\(C\text{.}\)
Інверсія в колі з центром\(z_0\) - це перетворення на множині,\(\mathbb{C}-\{z_0\}\) що складається з усіх комплексних чисел, крім\(z_0\text{.}\) Ми зазвичай позначаємо інверсію в колі\(C\) по По\(i_C(z) = z^*\text{.}\) У наступному розділі ми обговоримо, як продовжити це перетворення таким чином, щоб включити центр. \(z_0\text{.}\)
Ви опрацюєте кілька особливостей інверсій кола у вправах, включаючи те, як побудувати точки симетрії за допомогою циркуля і лінійки (див. Рис.\(\PageIndex{5}\)). Тут ми зауважимо, що\(i_C\) фіксує всі точки на колі,\(C\text{,}\) а точки всередині кола зіставляються з точками поза колом і навпаки. Чим ближче\(z\) добирається до центру кола, тим далі\(i_C(z)\) дістається від кола.
Одиниця окружності в\(\mathbb{C}\text{,}\)\(\mathbb{S}^1\text{,}\) позначається коло з центром\(z_0 = 0\) і\(r = 1\text{.}\) радіусом Рівняння для точки,\(z^*\) симетричної точці\(z \neq 0\) з респектом, щоб\(\mathbb{S}^1\) таким чином зменшується від\(|z-z_0|\cdot|z^*-z_0| = r^2\) до
\[ |z|\cdot|z^*| = 1\text{.} \]
Більше того,\(z^*\) це просто масштабована версія,\(z\) оскільки вони знаходяться на одному промені через походження. Тобто,\(z^* = kz\) для деякого позитивного дійсного\(z^*\) числа\(k\text{.}\) Підключіть цей опис до рівняння точки симетрії, щоб побачити,\(|z| \cdot |kz| = 1\text{,}\) що означає\(k = 1/|z|^2\text{.}\) Таким чином,\(z^*=(1/|z|^2)z\text{.}\) Крім того,\(|z|^2 = z \cdot \overline{z}\text{,}\) так інверсія в одиничному колі\(\mathbb{S}^1\) може бути записана як
\[ i_{\mathbb{S}^1}(z) = 1/\overline{z}\text{.} \]
Наступну формулу інверсії про довільне коло можна отримати складом інверсії в одиничному колі з деякими загальними лінійними перетвореннями. Деталі залишені до Вправи\(3.2.1\).
Інверсія в колі по\(C\) центру\(z_0\) з радіусом\(r\) задається
\ begin {align*} i_c (z) & =\ frac {r^2} {(\ overline {z-z_0})} + z_0\ text {.} \ end {вирівнювати*}
Нижче ми перевернули коло, букву 'М, 'і невелику сітку по всьому колу по\(C\) центру\(z_0\text{.}\) Це виглядає так, ніби зображення кола - це інше коло, що ми незабаром доведемо, що це так. Доведемо також, що лінії, що не перетинаються з центром,\(C\) виходять перевернутими в кола. Звідси випливає, що відрізки лінії в «М» відображаються на дуги кіл.
Як\(\PageIndex{2}\) показує приклад, різниця між лініями та колами трохи замутнюється інверсією. Лінія може бути відображена на колі і навпаки. Далі буде корисно розглядати відображення в рядку та інверсію в колі як окремі випадки тієї ж загальної карти. Щоб прийти до цього погляду, спочатку робимо лінії та кола особливими випадками одного і того ж загального типу фігури.
Клін - це евклідове коло або лінія. Будь-який клін може бути описаний алгебраїчно рівнянням виду
\[ cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha}\overline{z} + d = 0 \]
де\(z = x + yi\) комплексна змінна,\(\alpha\) є комплексною константою, і\(c, d\) є дійсними числами. Якщо\(c = 0\) рівняння описує лінію, а якщо\(c \neq 0\) і\(|\alpha|^2 > cd\) рівняння описує коло.
Слово «клайн» (вимовляється «Кляйн») може здатися трохи вимушеним, але воно являє собою зрушення мислення, яке ми прагнемо досягти. Потрібно почати думати про лінії і кола як про різні прояви одного і того ж загального класу об'єктів. Який клас? Клас клінів.
\(z = x + yi\text{,}\)Допускаючи\(\alpha = a + bi\) і рівняння кліну\(cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0\) можна записати як
\[ c(x^2+y^2)+[ax - by + (ay+bx)i]+[ax-by - (ay+bx)i] + d = 0 \]
що спрощує
\[ c(x^2+y^2) + 2(ax - by) + d = 0\text{.} \]
Якщо\(c = 0\) тоді ми маємо рівняння прямої, і якщо у\(c \neq 0\) нас є рівняння кола, так довго, як\(a^2 + b^2 > cd\text{.}\) У цьому випадку рівняння можна поставити в стандартну форму, заповнивши квадрат. Давайте побіжимо через це.
Якщо\(c \neq 0\text{,}\)
і ми маємо рівняння кола до тих пір, поки права сторона (радіус член) є позитивним. Іншими словами, у нас є рівняння кола до тих пір, поки\(a^2 + b^2>cd\text{.}\) ми підсумовуємо цю інформацію нижче.
Задано\(c \neq 0\text{,}\),\(c, d \in \mathbb{R}\text{,}\)\(\alpha \in \mathbb{C}\text{,}\) якщо рівняння кліну
\[ cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0 \]
дає коло з центром\(z_0\) і радіусом\(r\text{,}\), де
\[ z_0=\bigg(-\frac{\text{Re}(\alpha)}{c}, \frac{\text{Im}(\alpha)}{c}\bigg)~~~\text{and}~~~ r = \sqrt{\frac{|\alpha|^2-cd}{c^2}}\text{,} \]
до тих пір, поки\(|\alpha|^2 > cd\text{.}\) якщо\(c = 0\text{,}\) рівняння кліну дає лінію.
Відтепер, якщо ви читаєте фразу «інверсія в клоні», знайте, що це означає інверсію в колі або роздуми про лінію, і якщо хтось вручає вам кляп,\(C\text{,}\) ви можете сказати: «Дякую! До речі, це лінія чи коло?»
Ми зауважимо тут побудова кліну через три точки в\(\mathbb{C}\text{.}\) Ця конструкція часто використовується в наступних розділах для генерації фігур в неевклідовій геометрії.
Існує унікальний клін через будь-які три різні точки в\(\mathbb{C}\text{.}\)
- Доказ
-
Припустимо\(w\),\(u\text{,}\)\(v\text{,}\) і є різними комплексними числами. Якщо\(v\) знаходиться на лінії через,\(u\) а\(w\) потім ця лінія є унікальним кліном через три точки. В іншому випадку три точки не лежать на одній лінії, і ми можемо побудувати коло через ці три точки, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Побудуйте перпендикулярну бісектрису до сегмента\(uv\text{,}\) та перпендикулярну бісектрису до сегмента\(vw\text{.}\) Ці бісектриси перетинаються, оскільки три точки не колінеарні. Якщо ми називаємо точку перетину,\(z_0\text{,}\) то коло по центру\(z_0\) через\(w\) є унікальним кліном через три точки.
Інверсія в колі відображає кліни до клінів. Зокрема, якщо клайн проходить через центр кола інверсії, його зображення буде лінією; інакше зображення кліну буде коло.
- Доказ
-
Доведено результат у випадку інверсії в одиничному колі. Потім піде загальний доказ, оскільки будь-яка інверсія - це склад цієї конкретної інверсії разом із перекладами та розширеннями, які також зберігають клайни за теоремою\(3.1.2\).
Припустимо, клін\(C\) описується рівнянням кліну.
\[ cz\overline{z}+\alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0\text{,} \]
де\(c, d \in \mathbb{R}\text{,}\)\(\alpha \in \mathbb{C}\text{.}\)
Ми хочемо показати, що зображення цього кліну під інверсією в одиничному колі, також\(i_{\mathbb{S}^1}(C)\text{,}\) є кліном. Ну,\(i_{\mathbb{S}^1}(C)\) складається з усіх точок,\(w = 1/\overline{z}\text{,}\) де\(z\) задовольняє рівняння кліну для\(C\text{.}\) Ми показуємо, що всі такі\(w\) живуть на кліні.
Якщо\(z \neq 0\) тоді ми можемо помножити кожну сторону рівняння кліну на,\(1/(z\cdot \overline{z})\) щоб отримати
\[ c +\alpha \frac{1}{\overline{z}} + \overline{\alpha} \frac{1}{z} +d\frac{1}{z}\frac{1}{\overline{z}}=0\text{.} \]
Але так як\(w = 1/\overline{z}\) і\(\overline{w} = 1/z\text{,}\) це рівняння зводиться до
\[ c +\alpha\cdot w + \overline{\alpha} \cdot \overline{w} + dw\overline{w}=0\text{,} \]
або
\[ dw\overline{w} + \alpha \cdot w + \overline{\alpha} \cdot \overline{w} + c = 0\text{.} \]
Таким чином, точки зображення\(w\) утворюють рівняння кліна. Якщо\(d = 0\) тоді оригінальний клін\(C\) пройшов через початок, а клін зображення є рядком. Якщо\(d \neq 0\) потім\(C\) не пройшло через початок, а зображення клайн являє собою коло. (Насправді, ми також повинні перевірити, що\(|\alpha |^2 > dc\text{.}\) це так, оскільки оригінальне рівняння кліну гарантує\(|\alpha|^2 > cd\text{.}\))
Ми будемо називати дві лінії ортогональними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Наприклад, лінія ортогональна до кола тоді і тільки тоді, коли вона проходить через центр кола. Однією дуже важливою особливістю інверсії в\(C\) є те, що кліни ортогональні, щоб\(C\) отримати перевернуті до себе. Щоб довести цей факт, ми спочатку доводимо наступний результат, який можна знайти в Елементах Евкліда (Книга III, Пропозиція\(36\)).
Припустимо,\(C\) це коло з радіусом по\(r\) центру\(o\text{,}\) і\(p\) є точкою за межами\(C\text{.}\) Нехай\(s = |p-o|\text{.}\) Якщо лінія через\(p\) перетинається\(C\) в точках,\(m\) а\(n\text{,}\) потім
\[ |p-m|\cdot|p-n|=s^2-r^2\text{.} \]
- Доказ
-
Припустимо, лінія через\(p\) не проходить через центр,\(C\text{,}\) як на схемі нижче. \(q\)Дозволяти бути серединою сегмента\(mn\text{,}\) і нехай\(d = |q - o|\), як на діаграмі. Зверніть увагу також, що лінія через\(q\) і\(o\) є перпендикулярною бісектрисою відрізка\(mn\text{.}\) Зокрема,\(|m-q|=|q-n|\text{.}\)
Теорема Піфагора, застосована до\(\Delta pqo\) дає
\[|p-q|^2 + d^2 = s^2, \label{3.2.1}\]
і теорема Піфагора, застосована до\(\Delta nqo\) дає
\[ |q-n|^2 + d^2 = r^2. \label{3.2.2}\]
Віднімаючи рівняння (\(\ref{3.2.2}\)) з (\(\ref{3.2.1}\)), ми маємо
\[ |p-q|^2-|q-n|^2 = s^2-r^2\text{,} \]
які фактори як
\[ (|p-q|-|q-n|)(|p-q|+|q-n|) = s^2-r^2\text{.} \]
Так\(|p-q|-|q-n| = |p-m|\) і результат\(|p-q| + |q-n| = |p-n|\text{,}\) випливає.
Справа в тому, що лінія через\(p\) проходить через центр\(C\), залишається як вправа.
Відзначимо, що величина\(s^2-r^2\) в попередній лемі часто називають\(p\) силою точки по відношенню до кола.\(C\text{.}\) Тобто, якщо коло\(C\) має радіус,\(r\) а точка\(p\) - відстань\(s\) від центру,\(C\) то величина\(s^2-r^2\) називається силою точки\(p\text{.}\)
Припустимо,\(C\) це коло в\(\mathbb{C}\) центрі\(z_0\text{,}\) і не\(z\neq z_0\) знаходиться\(C\text{.}\) на кліні через\(z\) ортогональний,\(C\) якщо і тільки якщо він проходить через\(z^*\text{,}\) точку симетрично по відношенню до\(z\)\(C\text{.}\)
- Доказ
-
Припустимо,\(C\) є окружністю радіуса з\(r\) центром\(z_0\text{,}\) і\(D\) є кліном через точку\(z \neq z_0\) не на\(C\text{.}\)\(z^*\) Дозволяти позначити точку симетрично відносно\(z\)\(C\text{.}\)
По-перше, припустимо,\(D\) що лінія через\(z\text{.}\) лінію через\(z\) проходить\(z^*\) тоді і тільки тоді, коли вона проходить через центр\(C\text{,}\) якої є істинним тоді і тільки тоді, коли лінія ортогональна до\(C\text{.}\) Таким чином, рядок\(D\) через\(z\) містить\(z^*\) якщо і тільки якщо вона ортогональна\(C\text{,}\) і теорема доведена в даному випадку.
Тепер припустимо,\(D\) це коло через\(z\text{.}\)\(o\) Let і\(k\) позначимо центр і радіус\(D\text{,}\) відповідно. Встановіть\(s = |z_o-o|\text{,}\) і нехай\(t\) позначимо точку перетину\(C\) і\(D\) як на малюнку нижче.
Ми повинні стверджувати, що\(C\) і\(D\) є ортогональними тоді і тільки тоді,\(D\text{.}\) коли зараз,\(C\) і\(D\) ортогональні тоді і тільки тоді, коли правильно, що відбувається тоді і лише тоді\(r^2 = s^2-k^2\), коли теорема Піфагора.\(z^*\)\(\angle otz_0\) Застосовуючи лему\(3.2.1\) до точки\(z_0\) (яка знаходиться зовні\(D\)) і лінії через,\(z_0\) і\(z\text{,}\) ми бачимо, що
\[ |z_0-z|\cdot|z_0-w| = s^2-k^2, \label{3.2.3}\]
де\(w\) - друга точка перетину прямої з колом\(D\text{.}\)
Зверніть увагу також, що як симетричні точки, так\(z\) і\(z^*\) задовольняють рівняння
\[ |z_0-z|\cdot|z_0-z^*| = r^2. \label{3.2.4}\]
Таким чином, якщо ми припускаємо, що\(z^*\) це на,\(D\text{,}\) то він повинен бути дорівнює точці,\(w\text{,}\) в якій випадку рівняння (\(\ref{3.2.3}\)) і (\(\ref{3.2.4}\)) вище говорять нам. З\(s^2-k^2 = r^2\text{.}\) цього випливає,\(D\) що ортогональна до\(C\text{.}\) навпаки, якщо\(D\) ортогональна до\(C\text{,}\) то\(s^2-k^2=r^2\text{,}\) так \(|z_0-w|=|z_0-z^*|\text{.}\)Оскільки\(z^*\) і обидва\(w\) знаходяться на промені,\(\overrightarrow{z_0z}\) це повинно бути, що\(z^* = w\text{.}\) Іншими словами,\(z^*\) знаходиться на\(D\text{.}\)
Інверсія в\(C\) приймає кліни ортогональні\(C\) до себе.
Інверсія в кліні зберігає кутові величини.
- Доказ
-
Результат був викладений для рядків у теоремі\(3.1.5\). Тут ми\(C\) припустимо коло інверсії. Розглянемо дві криві\(\boldsymbol{r_1}\) і\(\boldsymbol{r_2}\) які перетинаються в точці,\(z\) яка не знаходиться\(C\) або в центрі\(C\text{.}\) Відкликання,\(\angle(\boldsymbol{r_1},\boldsymbol{r_2}) = \angle(L_1,L_2)\) де\(L_i\) лінія дотична до кривої\(\boldsymbol{r_i}\) в\(z\text{,}\) для\(i = 1,2\text{.}\) Ми можемо описати цей кут двома колами\(C_1\) і\(C_2\) дотичної до дотичних ліній\(L_1\) і\(L_2\text{,}\) відповідно, з додатковою особливістю, що кола відповідають окружності інверсії\(C\) під прямим кутом, як на рис\(3.2.2\). Дійсно,\(C_1\) це коло через\(z\) і центр\(z^*\) якого знаходиться на перетині ліній\(m_1\) і\(k\text{,}\) де\(m_1\) знаходиться лінія через\(z\) що перпендикулярно\(L_1\text{,}\) і\(k\) перпендикулярна бісектриса відрізка\(zz^*\text{.}\) Коло\(C_2\) також проходить,\(z\)\(z^*\text{,}\) і його центр знаходиться на перетині\(k\) і лінії\(z\),\(m_2\) через яку перпендикулярно\(L_2\text{.}\)
Малюнок\(\PageIndex{2}\): Інверсія в колі зберігає кутові величини. (Авторське право; автор через джерело) Перевага опису\(\angle(L_1,L_2)\) з цими колами полягає в тому, що зображення кута,\(\angle(i_C(L_1),i_C(L_2))\text{,}\) також описується цими двома колами, в іншій точці перетину\(z^*\text{.}\) Зверніть увагу, що ці кути матимуть протилежні знаки. Наприклад, на малюнку\(3.2.2\), наш початковий кут негативний, описаний підмітання дуги за\(C_1\) годинниковою стрілкою,\(C_2\text{,}\) але на зображенні ми розгортаємо\(i_C(C_1)\) проти годинникової стрілки на\(i_C(C_2)\text{.}\) Ми залишаємо це як вправу для читача, щоб перевірити, що кут перетину\(C_1\) і \(C_2\)at\(z^*\) - така ж величина, що і кут між\(C_1\) і\(C_2\) в\(z\text{.}\)
Тепер ми показуємо, що інверсія зберігає кутові величини для кутів, які виникають на колі\(C\) (\(z\)тобто увімкнено\(C\)). \(C^\prime\)Дозволяти концентричне коло до\(C\text{.}\) Тоді\(i_C(z) = S\circ i_{C^\prime}\) де\(S\) є розширення\(\mathbb{C}\) якого фіксованою точкою є загальним центром кіл\(C\) і\(C^\prime\) (див. Вправа\(3.2.12\)). Оскільки наш кут не на колі\(C^\prime\text{,}\)\(i_{C^\prime}\) зберігає величину кута за попереднім аргументом. Розширювання\(S\) зберігає кути відповідно до теореми\(3.1.5\). Таким чином, також\(i_C\) зберігає кутові величини. Ми залишаємо випадок кута, що виникає на початку, до наступного розділу. Маючи на увазі цей виняток, це завершує доказ.
Ще однією важливою особливістю інверсії в кліні є те, що він зберігає точки симетрії.
\(i_C\)Дозволяти позначити інверсія в Cline\(C\text{.}\) Якщо\(p\) і\(q\) симетричні по відношенню до Cline\(D\text{,}\) то\(i_C(p)\) і\(i_C(q)\) симетричні по відношенню до Cline.\(i_C(D)\text{.}\)
- Доказ
-
Припустимо,\(C\) це клін інверсії, і припустити\(p\) і\(q\) симетричні по відношенню до cline,\(D\) як на малюнку\(3.2.3\) (де\(C\) і\(D\) представлені у вигляді кіл).
Малюнок\(\PageIndex{3}\): Інверсія зберігає точки симетрії: Якщо\(p\) і\(q\) є симетричними відносно\(D\) і ми інвертуємо про клін,\(C\) то точки зображення симетричні по відношенню до зображення\(D\text{.}\) (Авторське право; автор через джерело) Ми можемо побудувати два clines\(E\) і\(F\) що пройти через\(p\) і\(q\text{.}\) На малюнку, cline\(E\) є коло і cline\(F\) - це лінія. Ці кліни перетинаються\(D\) під прямим кутом (теорема\(3.2.3\)). Оскільки інверсія зберігає кліни і кутові величини, ми знаємо, що\(E^*=i_C(E)\) і\(F^*=i_C(F)\) є клінами, що перетинають клін\(D^*=i_C(D)\) під прямим кутом. Обидва\(E^*\) і\(F^*\) містять\(p^*=i_C(p)\text{,}\) так вони обидва містять точку симетричну щодо\(p^*\)\(D^*\) (Теорема\(3.2.3\)), але єдина інша точка, спільна для обох\(E^*\) і\(F^*\) є\(q^* = i_C(q)\text{.}\) Таким чином,\(p^*\) і\(q^*\) симетричні щодо до\(D^*\text{.}\)
Закриваємо розділ двома додатками інверсії.
Дозволяти\(p,q\) бути різні точки в\(\mathbb{C}\text{,}\) і\(k > 0\) позитивне дійсне число. Нехай\(D\) складаються з усіх точок\(z\) в\(\mathbb{C}\) такому, що\(|z-p| = k|z - q|.\) Тоді\(D\) є cline.
- Доказ
-
Якщо\(k = 1\text{,}\) множина\(D\) є евклідовою лінією, відповідно до Теореми\(2.4.1\), тому ми\(k \neq 1\text{.}\) припускаємо, що\(C\) Дозволяти бути коло з центром\(p\) з радіусом\(1\). Припустимо\(z\), довільна точка в\(D\text{.}\) множині Інвертування про\(C\text{,}\) нехай\(z^* = i_C(z)\) і\(q^* = i_C(q)\) як на наступній схемі.
Поспостерігайте спочатку, що\(\Delta pz^*q^*\) і\(\Delta pqz\) схожі.
Дійсно,\(|p-z|\cdot|p-z^*|=1=|p-q|\cdot|p-q^*|\) за визначенням інверсійного перетворення, тому ми маємо рівні співвідношення довжини сторін
\[ \frac{|p-z^*|}{|p-q|}=\frac{|p-q^*|}{|p-z|}\text{,} \]
і включені кути рівні,\(\angle q^*pz^* = \angle qpz\text{.}\)
Звідси випливає, що
\[ \frac{|z-q|}{|p-q|}=\frac{|z^*-q^*|}{|z^*-p|}\text{,} \]
з якого ми виводимо
\ почати {вирівнювати*} |з^*-q^*|& =|з^*-р |\ cdot\ розриву {|z-q|} {|р-q|}\\ & = [|з^*-р |\ cdot|z-p |]\ cdot\ frac {|z-q|} {|z-p|}\ cdot\ frac {|р-q|}\ cdot\ frac {|р-q|} |}\\ & = 1\ cdot\ frac {1} {k}\ cdot\ frac {1} {|p-q|}\ текст {.} \ end {вирівнювати*}
Таким чином, множина всіх\(D\) точок\(z\)\(|z-p|=k|z-q|\) задовольняє має зображення\(i_C(D)\) під цією інверсією, що складається з усіх точок\(z^*\) на колі по центру\(q^*\) з радіусом\((k|p-q|)^{-1}\text{.}\) Оскільки інверсія зберігає клінси і\(p\) не на ній\(i_C(D)\text{,}\) випливає, що\(D\) сам по собі являє собою коло.
Коли ми\(k\) пропускаємо всі позитивні дійсні числа, ми отримуємо сімейство клінів, які називаються колами Аполлонія точок\(\boldsymbol{p}\) і\(\boldsymbol{q}\). Відзначимо, що\(p\) і\(q\) симетричні по відношенню до кожного кліну в цьому сімействі (див. Вправа\(3.3.2\)).
Припустимо, у нас є два кліни, які не перетинаються, і хоча б одна з них - коло. Тоді існують дві точки,\(p\) і\(q\text{,}\) які симетричні по відношенню до обох клінів.
- Доказ
-
По-перше, припустимо, що один клін - це лінія,\(L\text{,}\) а інша - коло,\(C\) центроване в точці\(z_0\), як показано на малюнку\(3.2.4\). \(L_1\)Дозволяти бути лінія через\(z_0\) що перпендикулярно до\(L\text{,}\) і нехай\(z_1\) точка перетину\(L\) і\(L_1\text{.}\) наступного, побудувати коло,\(C_1\) що має діаметр\(z_0z_1\text{.}\) Коло\(C_1\) перетинає коло\(C\) в деякій точці, які ми виклик\(t\text{.}\) Зверніть увагу, що\(\angle z_0 t z_1\) це право, і тому коло по\(C_2\) центру\(z_1\) через\(t\) ортогональний до\(C\text{.}\) Крім того, центр\(C_2\text{,}\)\(z_1\text{,}\) лежить на лінії\(L\text{,}\) так\(C_2\) ортогональний до\(L\text{.}\) Нехай\(p\) і \(q\)бути двома точками, в яких\(C_2\) перетинається\(L_1\text{.}\) За конструкцією, і за допомогою теореми\(3.2.3\),\(p\) і\(q\) симетричні обом\(C\) і\(L\text{.}\)
Тепер припустимо\(C_1\) і\(C_2\) є колами, які не перетинаються. Спочатку ми можемо виконати інверсію в колі\(C\), яке\(C_1\) відображає лінію\(C_1^*\text{,}\) та\(C_2\) інше коло,\(C_2^*\text{,}\) як запропоновано на малюнку\(3.2.5\) (будь-яке коло,\(C\) центроване на точці\(C_1\) роботи). Тоді через попередній аргумент існують дві точки\(p\),\(q\) які симетричні щодо\(C_1^*\) і\(C_2^*\text{.}\) Оскільки інверсія зберігає точки симетрії,\(i_C(p)\) і\(i_C(q)\) симетричні щодо обох\(i_C(C_1^*)\) і\(i_C(C_2^*)\text{.}\) Але \(i_C(C_1^*) = C_1\)і\(i_C(C_2^*) = C_2\) тому ми знайшли дві точки симетричні для обох\(C_1\) і\(C_2\text{.}\) (Насправді, у нас є один виняток. Якщо\(C_1\) і\(C_2\) є концентричними колами, ця стратегія\(i_C(p)\) дасть точки,\(i_C(q)\text{,}\) одна з яких є центром,\(C\text{,}\) і ми ще не розширили поняття інверсії, щоб включити центр. Ми робимо це в наступному розділі таким чином, що теорема застосовується і до цього виняткового випадку.)
Малюнок\(\PageIndex{5}\): За допомогою інверсії ми можемо перетворити два кола на коло та лінію. (Авторське право; автор через джерело)
Вправи
Доведіть загальну формулу для інверсії в колі по\(C\) центру\(z_0\) з радіусом.\(r\text{.}\) Зокрема, показати в цьому випадку, що
\[ i_C(z) = \frac{r^2}{(\overline{z-z_0})} + z_0. \]
Побудова симетричної точки до\(z\) коли\(z\) знаходиться всередині кола інверсії.
Доведіть, що для точки\(z\) всередині кола\(C\) з центром\(z_0\) (Рисунок\(3.2.6\) (а)), наступна конструкція знаходить точку симетрії\(z\text{.}\)
- Намалюйте промінь\(z_0\) наскрізь\(z\text{.}\)
- Побудувати перпендикуляр до цього променя в\(z\text{.}\)\(t\) Дозволяти бути точкою перетину цього перпендикуляра і\(C\text{.}\)
- Побудувати радіус\(z_0t\text{.}\)
- Побудувати перпендикуляр до цього\(t\text{.}\) радіусу в точці симетричної точки\(z^*\) є точкою перетину цього перпендикуляра і променя.\(\overrightarrow{z_oz}\text{.}\)
Побудова симетричної точки до\(z\) коли\(z\) знаходиться поза колом інверсії.
Доведіть, що для точки\(z\) за межами кола\(C\) з центром\(z_0\) (рис.\(3.2.6\) (b)), наступна конструкція знаходить точку симетрії\(z\text{.}\)
- Побудувати коло, що має діаметр\(z_0z\text{.}\)\(t\) Дозволяти бути точкою перетину двох кіл.
- Побудувати перпендикуляр до\(z_0z\)\(t\text{.}\) наскрізного\(z^*\) Дозволяти бути перетином цього перпендикуляра з\(z_0z\text{.}\)
Припустимо,\(T_1\) є інверсія в колі\(|z| = r_1\text{,}\) і\(T_2\) є інверсія в колі\(|z| = r_2\text{,}\) де\(r_1, r_2 > 0\text{.}\) Доведіть, що\(T_2 \circ T_1\) це розширення. І навпаки, показати будь-яке розширення - це склад двох інверсій.
Визначте зображення прямої\(y = mx + b\) (коли\(b \neq 0)\) під інверсією в одиничному колі). Зокрема, показати, що зображення являє собою коло з центром\((-\dfrac{m}{2b}, \dfrac{1}{2b})\) і радіусом\(\sqrt{\dfrac{(m^2 + 1)}{4b^2}}\text{.}\)
- Підказка
-
Зверніться до Вправи\(2.4.1\).
Визначте зображення лінії,\(L\) заданої\(y = 3x + 4\) під інверсією в одиничному колі. Дайте ретельний сюжет одиничного кола, лінії\(L\text{,}\) і зображення\(L\) під інверсією.
Доведіть, що інверсія в одиниці кола відображає коло\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) до кола
\[ \bigg(x-\frac{a}{d}\bigg)^2 + \bigg(y-\frac{b}{d}\bigg)^2 = \bigg(\frac{r}{d}\bigg)^2 \]
де\(d = a^2+b^2-r^2\text{,}\) передбачено, що\(d \neq 0\text{.}\)
Визначте в стандартній формі зображення кола,\(C\) заданого\((x-1)^2 + y^2 = 4\) під інверсією в одиничному колі. Дайте уважний сюжет одиниці кола, кола\(C\text{,}\) і зображення\(C\) під інверсією.
Правда чи брехня? Якщо коло\(C\) зіставляється до іншого кола під інверсією в одиничному колі, то центр\(C\) отримує відображено до центру кола зображення.\(i_{\mathbb{S}^1}(C)\text{.}\) Якщо твердження істинно, довести це; якщо це помилково, надати контрприклад.
Припустимо\(C\) і\(D\) є ортогональними колами. Слідство\(3.2.1\) говорить нам, що інверсія в\(C\) картах сама\(D\) по собі. Доведіть, що ця інверсія також приймає інтер'єр\(D\) до себе.
Завершіть доказ теореми,\(3.2.4\) показавши, що кут перетину\(z^*\) дорівнює куту перетину на\(z\) малюнку\(3.2.2\).
Припустимо,\(C\) це коло\(|z - z_0| = r\) і\(C^\prime\) є коло\(|z - z_0| = r^\prime\text{.}\) Знайти коефіцієнт розтягування\(k\) в розширенні\(S(z) = k(z-z_0) + z_0\) так, щоб\(i_C = S \circ i_{C^\prime}\text{.}\)
Завершіть доказ\(3.2.1\) Лемми, доводячи випадок, в якому лінія через\(p\) проходить через центр\(C\text{.}\)