18.10: Теорема Шварца-Піка

Наступна теорема показує, що метрика в моделі конформного диска природно з'являється в інших галузях математики. Ми не наводимо його докази, але його можна знайти в будь-якому підручнику з геометричного складного аналізу.

Припустимо, що$\mathbb{D}$ позначає одиничний диск у комплексній площині з центром$0$; тобто комплексне число$z$ належить$\mathbb{D}$ якщо і тільки якщо$|z|<1$.

Давайте використовувати диск$\mathbb{D}$ як h-площину в конформній моделі диска; h-відстань між$z, w\in\mathbb{D}$ буде позначено$d_h(z,w)$; тобто

$d_h(z,w) := ZW_h,$

де$Z$ і$W$ h-точки зі складними координатами$z$ і$w$ відповідно.

Функція$f:\mathbb{D}\to \mathbb{C}$ називається голоморфною, якщо для кожного$z\in \mathbb{D}$ існує комплексне число$s$ таке, що

$f(z+w)=f(z)+s\cdot w+o(|w|).$

Іншими словами,$f$ складно-диференційований у будь-якого$z\in\mathbb{D}$. Комплексне число$s$ називається похідною від$f$ at$z$, або коротко$s=f'(z)$.

Теорема$\PageIndex{1}$ Schwarz-Pick theorem

Теорема$f\: \mathbb{D}\to \mathbb{D}$ Шварца—Піка Припустимо є голоморфною функцією. Тоді

$d_h(f(z),f(w))\le d_h(z,w)$

для будь-якого$z,w\in \mathbb{D}$.

Якщо рівність тримається для однієї пари різних чисел$z,w\in \mathbb{D}$, то вона тримається для будь-якої пари. В даному випадку$f$ відбувається дробове лінійне перетворення, а також рух h-площини.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що якщо дробове лінійне перетворення$f$ з'являється у випадку рівності теореми Шварца—Піка, то його можна записати як

$f(z)=\dfrac{v\cdot z+\bar w}{w\cdot z+\bar v}.$

де$v$ і$w$ складні константи такі, що$|v|>|w|$.

Підказка

Зверніть увагу, що$f = \dfrac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}$ зберігається одиничний коло$|z| = 1$. Використовуйте Слідство 10.6.1 та Пропозиція 18.12, щоб показати, що$f$ комутує з інверсією$z \mapsto 1/\bar{z}$. Іншими словами,$1/f(z) = f(1/\bar{z})$ або

$\dfrac{\bar{c} \cdot \bar{z} + \bar{d}}{\bar{a} \cdot \bar{z} + \bar{b}} = \dfrac{a/\bar{z} + b}{c/\bar{z} + d}$

для будь-якого$z \in \bar{\mathbb{C}}$. Остання ідентичність призводить до необхідних заяв. Умова$|w| < |v|$ випливає з$f(0) \in \mathbb{D}$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Нагадаємо, що гіперболічний тангенс$\tanh$ визначається на сторінці. Покажіть, що

$\tanh [\tfrac12\cdot d_h(z,w)]=\left|\frac{z-w}{1-z\cdot\bar w}\right|.$

Зробіть висновок, що нерівність в теоремі Шварца—Піка можна переписати як

$\left|\frac{z'-w'}{1-z'\cdot\bar w'}\right|\le\left|\frac{z-w}{1-z\cdot\bar w}\right|,$

де$z'=f(z)$ і$w'=f(w)$.

Підказка

Зверніть увагу, що зворотні точки$z$$w$ мають складні координати$1/\bar{z}$ і$1/\bar{w}$. Застосовуємо вправу 12.9.2 і спрощуємо.

Друга частина випливає, оскільки функція$x \mapsto \tanh (\dfrac{1}{2} \cdot x)$ збільшується.

Вправа$\PageIndex{3}$

Показати, що лема Шварца, викладена нижче, випливає з теореми Шварца-Піка.

Підказка

Застосуйте теорему Шварца-Піка для$f$ такої функції, щоб$f(0) = 0$ потім застосувати Lemma 12.3.2.

Лемма$\PageIndex{1}$ Schwarz lemma

$f\: \mathbb{D}\to \mathbb{D}$Дозволяти голоморфну функцію і$f(0)=0$. Тоді$|f(z)|\le |z|$ для будь-якого$z\in \mathbb{D}$.

Причому, якщо рівність тримає для деяких$z\ne 0$, то існує одиничне комплексне число$u$ таке, що$f(z)=u\cdot z$ для будь-якого$z\in\mathbb{D}$.