18.10: Теорема Шварца-Піка
- Page ID
- 59185
Наступна теорема показує, що метрика в моделі конформного диска природно з'являється в інших галузях математики. Ми не наводимо його докази, але його можна знайти в будь-якому підручнику з геометричного складного аналізу.
Припустимо, що\(\mathbb{D}\) позначає одиничний диск у комплексній площині з центром\(0\); тобто комплексне число\(z\) належить\(\mathbb{D}\) якщо і тільки якщо\(|z|<1\).
Давайте використовувати диск\(\mathbb{D}\) як h-площину в конформній моделі диска; h-відстань між\(z, w\in\mathbb{D}\) буде позначено\(d_h(z,w)\); тобто
\(d_h(z,w) := ZW_h,\)
де\(Z\) і\(W\) h-точки зі складними координатами\(z\) і\(w\) відповідно.
Функція\(f:\mathbb{D}\to \mathbb{C}\) називається голоморфною, якщо для кожного\(z\in \mathbb{D}\) існує комплексне число\(s\) таке, що
\(f(z+w)=f(z)+s\cdot w+o(|w|).\)
Іншими словами,\(f\) складно-диференційований у будь-якого\(z\in\mathbb{D}\). Комплексне число\(s\) називається похідною від\(f\) at\(z\), або коротко\(s=f'(z)\).
Теорема\(f\: \mathbb{D}\to \mathbb{D}\) Шварца—Піка Припустимо є голоморфною функцією. Тоді
\(d_h(f(z),f(w))\le d_h(z,w)\)
для будь-якого\(z,w\in \mathbb{D}\).
Якщо рівність тримається для однієї пари різних чисел\(z,w\in \mathbb{D}\), то вона тримається для будь-якої пари. В даному випадку\(f\) відбувається дробове лінійне перетворення, а також рух h-площини.
Показати, що якщо дробове лінійне перетворення\(f\) з'являється у випадку рівності теореми Шварца—Піка, то його можна записати як
\(f(z)=\dfrac{v\cdot z+\bar w}{w\cdot z+\bar v}.\)
де\(v\) і\(w\) складні константи такі, що\(|v|>|w|\).
- Підказка
-
Зверніть увагу, що\(f = \dfrac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}\) зберігається одиничний коло\(|z| = 1\). Використовуйте Слідство 10.6.1 та Пропозиція 18.12, щоб показати, що\(f\) комутує з інверсією\(z \mapsto 1/\bar{z}\). Іншими словами,\(1/f(z) = f(1/\bar{z})\) або
\(\dfrac{\bar{c} \cdot \bar{z} + \bar{d}}{\bar{a} \cdot \bar{z} + \bar{b}} = \dfrac{a/\bar{z} + b}{c/\bar{z} + d}\)
для будь-якого\(z \in \bar{\mathbb{C}}\). Остання ідентичність призводить до необхідних заяв. Умова\(|w| < |v|\) випливає з\(f(0) \in \mathbb{D}\).
Нагадаємо, що гіперболічний тангенс\(\tanh\) визначається на сторінці. Покажіть, що
\(\tanh [\tfrac12\cdot d_h(z,w)]=\left|\frac{z-w}{1-z\cdot\bar w}\right|.\)
Зробіть висновок, що нерівність в теоремі Шварца—Піка можна переписати як
\(\left|\frac{z'-w'}{1-z'\cdot\bar w'}\right|\le\left|\frac{z-w}{1-z\cdot\bar w}\right|,\)
де\(z'=f(z)\) і\(w'=f(w)\).
- Підказка
-
Зверніть увагу, що зворотні точки\(z\)\(w\) мають складні координати\(1/\bar{z}\) і\(1/\bar{w}\). Застосовуємо вправу 12.9.2 і спрощуємо.
Друга частина випливає, оскільки функція\(x \mapsto \tanh (\dfrac{1}{2} \cdot x)\) збільшується.
Показати, що лема Шварца, викладена нижче, випливає з теореми Шварца-Піка.
- Підказка
-
Застосуйте теорему Шварца-Піка для\(f\) такої функції, щоб\(f(0) = 0\) потім застосувати Lemma 12.3.2.
\(f\: \mathbb{D}\to \mathbb{D}\)Дозволяти голоморфну функцію і\(f(0)=0\). Тоді\(|f(z)|\le |z|\) для будь-якого\(z\in \mathbb{D}\).
Причому, якщо рівність тримає для деяких\(z\ne 0\), то існує одиничне комплексне число\(u\) таке, що\(f(z)=u\cdot z\) для будь-якого\(z\in\mathbb{D}\).