18.8: Елементарні перетворення

Наступні три типи дробових лінійних перетворень називаються елементарними:

1. $z \mapsto z + w,$
2. $z \mapsto w \cdot z$для$w \ne 0,$
3. $z\mapsto \dfrac{1}{z}.$

Геометрична інтерпретація

Припустимо, що$O$ позначає точку з комплексною координатою$0$.

Перша карта$z \mapsto z+w,$ відповідає так званому паралельному перекладу евклідової площини, її геометричний сенс повинен бути очевидним.

Друга карта називається обертальної гомотети з центром в$O$. Тобто точка відображає$O$ себе і будь-яку іншу точку$Z$ карти в точку$Z'$ таку, що$OZ'=|w| \cdot OZ$ і$\measuredangle ZOZ'=\arg w$.

Третю карту можна описати як композицію інверсії в одиничному колі з центром$O$ і відображення поперек$\mathbb{R}$ (композицію можна взяти в будь-якому порядку). Дійсно,$\arg z \equiv -\arg \dfrac{1}{z}$. Тому,

$\arg z=\arg (1/\bar z);$

тобто якщо точки$Z$ і$Z'$ мають складні координати$z$ і$1/\bar{z}$, то$Z'\in[OZ)$. Ясно,$OZ=|z|$ і$OZ'=|1/\bar{z}|=\dfrac{1}{|z|}$. Отже,$Z'$ є оберненою$Z$ в одиничному колі по центру$O$.

Нарешті,$\dfrac{1}{z}=\overline{(1/\bar{z})}$ це складна координата відображення$Z'$ поперек$\mathbb{R}$.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Карта$f:\hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$ є дробовим лінійним перетворенням тоді і тільки тоді, коли воно може бути виражене як композиція елементарних перетворень.

Доказ

частина «тільки якщо». Виправте дробове лінійне перетворення

$f(z) = \dfrac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d}$.

Припустимо$c \ne 0$. Тоді

$\begin{array} {rcl} {f(z)} & = & {\dfrac{a}{c} - \dfrac{a \cdot d - b \cdot c}{c \cdot (c \cdot z + d)} =} \\ {} & = & {\dfrac{a}{c} - \dfrac{a \cdot d - b \cdot c}{c^2} \cdot \dfrac{1}{z + \tfrac{d}{c}}} \end{array}$

Тобто,

$$f(z)=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1 (z),$$

де$f_1$,$f_2$,$f_3$, і$f_4$ є такі елементарні перетворення:

$\begin{aligned} f_1(z)&= z+\tfrac dc, & f_2(z)&= \tfrac1z, \\ f_3(z)&= - \tfrac{a\cdot d-b\cdot c}{c^2} \cdot z, & f_4(z)&= z+\tfrac ac.\end{aligned}$

Якщо$c=0$, то

В даному випадку$f(z)=f_2\circ f_1 (z)$, де

$\begin{aligned} f_1(z)&= \tfrac ad\cdot z, & f_2(z)= z+\tfrac bd.\end{aligned}$

Частина «Якщо». Потрібно показати, що складаючи елементарні перетворення, ми можемо отримати тільки дробові лінійні перетворення. Відзначимо, що досить перевірити, що склад дробового лінійного перетворення

$f(z) = \frac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d}.$

з будь-яким елементарним перетворенням$z\mapsto z+w$$z\mapsto w\cdot z$, і$z\mapsto \tfrac1z$ являє собою дробове лінійне перетворення.

Останнє робиться за допомогою прямих розрахунків.

$\begin{aligned} \frac{a\cdot (z+w) + b}{c\cdot (z+w) + d} &= \frac{a\cdot z + (b+a\cdot w)}{c\cdot z + (d+c\cdot w)}, \\ \frac{a\cdot (w\cdot z) + b}{c\cdot (w\cdot z) + d} &= \frac{(a\cdot w)\cdot z + b}{(c\cdot w)\cdot z + d}, \\ \frac{a\cdot \frac1z + b}{c\cdot \frac1z + d} &= \frac{b\cdot z + a}{d\cdot z + c}.\end{aligned}$

Слідство$\PageIndex{1}$

Зображення окружності при дробовому лінійному перетворенні є окружною лінією.

Доказ

За пропозицією достатньо перевірити$\PageIndex{1}$, що кожне елементарне перетворення посилає коло на лінію кола.

Для першого і другого елементарного перетворення останнє кидається в очі.

Як було зазначено вище, карта$z\mapsto\dfrac{1}{z}$ являє собою композицію інверсії і рефлексії. За теоремою 10.3.2, інверсія посилає окружну лінію до окружності. Звідси і результат.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що обернене дробового лінійного перетворення є дробовим лінійним перетворенням.

Підказка

Покажіть, що зворотне кожне елементарне перетворення є елементарним і використовуйте Proposition$\PageIndex{1}$.

Вправа$\PageIndex{2}$

За даними різних значень$z_0,z_1,z_\infty\in \hat{\mathbb{C}}$ побудувати дробове лінійне перетворення$f$ таке, що

$f(z_0)=0, \quad f(z_1)=1 \quad\text{and}\quad f(z_\infty)=\infty.$

Покажіть, що таке перетворення унікальне.

Підказка

Дробове лінійне перетворення

$f(z) = \dfrac{(z_1 - z_{\infty}) \cdot (z - z_0)}{(z_1 - z_0) \cdot (z - z_{\infty})}$

відповідає умові.

Щоб показати унікальність, припустимо, що існує ще одне дробове лінійне перетворення$g(z)$, яке відповідає умові. Тоді композиція$h = g\circ f^{-1}$ являє собою дробове лінійне перетворення; множина$h(z) = \dfrac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}$.

Зверніть увагу, що$h(\infty) = \infty$; отже,$c = 0$. Далі,$h(0) = 0$ має на увазі$b = 0$. Нарешті, з тих пір$h(1) = 1$, ми отримуємо це$\dfrac{a}{d} = 1$. Отже,$h$ це ідентичність; тобто$h(z) = z$ для будь-якого$z$. Звідси випливає, що$g = f$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Показати, що будь-яка інверсія являє собою склад складного сполучення і дробового лінійного перетворення.

Використовуйте теорему 14.5.1, щоб зробити висновок, що будь-яке інверсивне перетворення є або дробовим лінійним перетворенням, або комплексним сполученим до дробового лінійного перетворення.

Підказка

$Z'$Дозволяти бути зворотною точки$Z$. Припустимо, що коло інверсії має центр$W$ і радіус$r$. Дозволяти$z, z'$, і$w$ позначають комплексну координату точок$Z$$Z'$, і$W$ відповідно.

За визначенням інверсії,$\arg (z - w) = \arg (z'- w)$ і$|z - w| \cdot |z' - w| = r^2$. Звідси випливає, що$\bar{z}' - \bar{w}) \cdot (z - w) = r^2$. Рівнозначно,

$z' = \overline{(\dfrac{\bar{w} \cdot z + [r^2 - |w|^2]}{z - w})}$.