18.8: Елементарні перетворення
- Page ID
- 59200
Наступні три типи дробових лінійних перетворень називаються елементарними:
- \(z \mapsto z + w,\)
- \(z \mapsto w \cdot z\)для\(w \ne 0,\)
- \(z\mapsto \dfrac{1}{z}.\)
Припустимо, що\(O\) позначає точку з комплексною координатою\(0\).
Перша карта\(z \mapsto z+w,\) відповідає так званому паралельному перекладу евклідової площини, її геометричний сенс повинен бути очевидним.
Друга карта називається обертальної гомотети з центром в\(O\). Тобто точка відображає\(O\) себе і будь-яку іншу точку\(Z\) карти в точку\(Z'\) таку, що\(OZ'=|w| \cdot OZ\) і\(\measuredangle ZOZ'=\arg w\).
Третю карту можна описати як композицію інверсії в одиничному колі з центром\(O\) і відображення поперек\(\mathbb{R}\) (композицію можна взяти в будь-якому порядку). Дійсно,\(\arg z \equiv -\arg \dfrac{1}{z}\). Тому,
\(\arg z=\arg (1/\bar z);\)
тобто якщо точки\(Z\) і\(Z'\) мають складні координати\(z\) і\(1/\bar{z}\), то\(Z'\in[OZ)\). Ясно,\(OZ=|z|\) і\(OZ'=|1/\bar{z}|=\dfrac{1}{|z|}\). Отже,\(Z'\) є оберненою\(Z\) в одиничному колі по центру\(O\).
Нарешті,\(\dfrac{1}{z}=\overline{(1/\bar{z})}\) це складна координата відображення\(Z'\) поперек\(\mathbb{R}\).
Карта\(f:\hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}\) є дробовим лінійним перетворенням тоді і тільки тоді, коли воно може бути виражене як композиція елементарних перетворень.
- Доказ
-
частина «тільки якщо». Виправте дробове лінійне перетворення
\(f(z) = \dfrac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d}\).
Припустимо\(c \ne 0\). Тоді
\(\begin{array} {rcl} {f(z)} & = & {\dfrac{a}{c} - \dfrac{a \cdot d - b \cdot c}{c \cdot (c \cdot z + d)} =} \\ {} & = & {\dfrac{a}{c} - \dfrac{a \cdot d - b \cdot c}{c^2} \cdot \dfrac{1}{z + \tfrac{d}{c}}} \end{array}\)
Тобто,
\[f(z)=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1 (z),\]
де\(f_1\),\(f_2\),\(f_3\), і\(f_4\) є такі елементарні перетворення:
\(\begin{aligned} f_1(z)&= z+\tfrac dc, & f_2(z)&= \tfrac1z, \\ f_3(z)&= - \tfrac{a\cdot d-b\cdot c}{c^2} \cdot z, & f_4(z)&= z+\tfrac ac.\end{aligned}\)
Якщо\(c=0\), то
В даному випадку\(f(z)=f_2\circ f_1 (z)\), де
\(\begin{aligned} f_1(z)&= \tfrac ad\cdot z, & f_2(z)= z+\tfrac bd.\end{aligned}\)
Частина «Якщо». Потрібно показати, що складаючи елементарні перетворення, ми можемо отримати тільки дробові лінійні перетворення. Відзначимо, що досить перевірити, що склад дробового лінійного перетворення
\(f(z) = \frac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d}.\)
з будь-яким елементарним перетворенням\(z\mapsto z+w\)\(z\mapsto w\cdot z\), і\(z\mapsto \tfrac1z\) являє собою дробове лінійне перетворення.
Останнє робиться за допомогою прямих розрахунків.
\(\begin{aligned} \frac{a\cdot (z+w) + b}{c\cdot (z+w) + d} &= \frac{a\cdot z + (b+a\cdot w)}{c\cdot z + (d+c\cdot w)}, \\ \frac{a\cdot (w\cdot z) + b}{c\cdot (w\cdot z) + d} &= \frac{(a\cdot w)\cdot z + b}{(c\cdot w)\cdot z + d}, \\ \frac{a\cdot \frac1z + b}{c\cdot \frac1z + d} &= \frac{b\cdot z + a}{d\cdot z + c}.\end{aligned}\)
Зображення окружності при дробовому лінійному перетворенні є окружною лінією.
- Доказ
-
За пропозицією достатньо перевірити\(\PageIndex{1}\), що кожне елементарне перетворення посилає коло на лінію кола.
Для першого і другого елементарного перетворення останнє кидається в очі.
Як було зазначено вище, карта\(z\mapsto\dfrac{1}{z}\) являє собою композицію інверсії і рефлексії. За теоремою 10.3.2, інверсія посилає окружну лінію до окружності. Звідси і результат.
Показати, що обернене дробового лінійного перетворення є дробовим лінійним перетворенням.
- Підказка
-
Покажіть, що зворотне кожне елементарне перетворення є елементарним і використовуйте Proposition\(\PageIndex{1}\).
За даними різних значень\(z_0,z_1,z_\infty\in \hat{\mathbb{C}}\) побудувати дробове лінійне перетворення\(f\) таке, що
\(f(z_0)=0, \quad f(z_1)=1 \quad\text{and}\quad f(z_\infty)=\infty.\)
Покажіть, що таке перетворення унікальне.
- Підказка
-
Дробове лінійне перетворення
\(f(z) = \dfrac{(z_1 - z_{\infty}) \cdot (z - z_0)}{(z_1 - z_0) \cdot (z - z_{\infty})}\)
відповідає умові.
Щоб показати унікальність, припустимо, що існує ще одне дробове лінійне перетворення\(g(z)\), яке відповідає умові. Тоді композиція\(h = g\circ f^{-1}\) являє собою дробове лінійне перетворення; множина\(h(z) = \dfrac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}\).
Зверніть увагу, що\(h(\infty) = \infty\); отже,\(c = 0\). Далі,\(h(0) = 0\) має на увазі\(b = 0\). Нарешті, з тих пір\(h(1) = 1\), ми отримуємо це\(\dfrac{a}{d} = 1\). Отже,\(h\) це ідентичність; тобто\(h(z) = z\) для будь-якого\(z\). Звідси випливає, що\(g = f\).
Показати, що будь-яка інверсія являє собою склад складного сполучення і дробового лінійного перетворення.
Використовуйте теорему 14.5.1, щоб зробити висновок, що будь-яке інверсивне перетворення є або дробовим лінійним перетворенням, або комплексним сполученим до дробового лінійного перетворення.
- Підказка
-
\(Z'\)Дозволяти бути зворотною точки\(Z\). Припустимо, що коло інверсії має центр\(W\) і радіус\(r\). Дозволяти\(z, z'\), і\(w\) позначають комплексну координату точок\(Z\)\(Z'\), і\(W\) відповідно.
За визначенням інверсії,\(\arg (z - w) = \arg (z'- w)\) і\(|z - w| \cdot |z' - w| = r^2\). Звідси випливає, що\(\bar{z}' - \bar{w}) \cdot (z - w) = r^2\). Рівнозначно,
\(z' = \overline{(\dfrac{\bar{w} \cdot z + [r^2 - |w|^2]}{z - w})}\).