18.1: Комплексні числа

Неофіційно комплексне число - це число, яке можна поставити у вигляді

$$z=x+i\cdot y,$$

де$x$ і$y$ є дійсними числами і$i^2=-1$.

Безліч комплексних чисел буде далі позначатися$\mathbb{C}$. Якщо$x$$y$, і$z$ знаходяться як в 18.1.1, то$x$ називається дійсною частиною і$y$ уявною частиною комплексного числа$z$. Коротко написано як

$$x=\text{Re} z \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ y=\text{Im} z.$$

На більш формальному рівні комплексне число - це пара дійсних чисел$(x,y)$ з описаним нижче додаванням і множенням;$x + i\cdot y$ вираз - лише зручний спосіб написання пари$(x,y)$.

$$\begin{aligned} (x_1+i\cdot y_1) + (x_2+i\cdot y_2) &:= (x_1+x_2) + i\cdot(y_1+y_2); \\ (x_1+i\cdot y_1)\cdot(x_2+i\cdot y_2) &:= (x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2) + i\cdot(x_1\cdot y_2+y_1\cdot x_2). \end{aligned}$$