18.1: Комплексні числа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59207

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Неофіційно комплексне число - це число, яке можна поставити у вигляді

\[z=x+i\cdot y, \]

де\(x\) і\(y\) є дійсними числами і\(i^2=-1\).

Безліч комплексних чисел буде далі позначатися\(\mathbb{C}\). Якщо\(x\)\(y\), і\(z\) знаходяться як в 18.1.1, то\(x\) називається дійсною частиною і\(y\) уявною частиною комплексного числа\(z\). Коротко написано як

\[x=\text{Re} z \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ y=\text{Im} z.\]

На більш формальному рівні комплексне число - це пара дійсних чисел\((x,y)\) з описаним нижче додаванням і множенням;\(x + i\cdot y\) вираз - лише зручний спосіб написання пари\((x,y)\).

\[\begin{aligned} (x_1+i\cdot y_1) + (x_2+i\cdot y_2) &:= (x_1+x_2) + i\cdot(y_1+y_2); \\ (x_1+i\cdot y_1)\cdot(x_2+i\cdot y_2) &:= (x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2) + i\cdot(x_1\cdot y_2+y_1\cdot x_2). \end{aligned}\]