12.7: Аксіома IV

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58996

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Наступне твердження говорить про те, що Аксіома IV тримає в h-площині.

Претензія\(\PageIndex{1}\)

У h-площині ми маємо\(\triangle_h P Q R \cong \triangle_h P' Q' R'\) якщо і тільки якщо

\(Q'P_h' = QP_h,\)\(Q'R_h' -QR_h\)і\(\measuredangle_h P'Q'R' = \pm \measuredangle PQR\).

Доказ

Застосовуючи основне спостереження, можна припустити, що\(Q\) і\(Q'\) збігаються з центром абсолюту; зокрема\(Q=Q'\). В даному випадку

\(\measuredangle P' Q R'=\measuredangle_h P' Q R'=\pm\measuredangle_h P Q R=\pm\measuredangle P Q R.\)

Так як

\(Q P_h=Q P'_h\)і\(Q R_h=Q R'_h,\)

Лема 12.3.2 означає, що те саме стосується евклідових відстаней; тобто

\(Q P=Q P'\)і\(Q R=Q R'.\)

За SAS відбувається рух евклідової площини, яка посилає\(Q\) до себе,\(P\) до\(P'\) і\(R\) до\(R'\)

Зверніть увагу, що центр абсолюту фіксується відповідним рухом. Звідси випливає, що цей рух дає також рух h-площині; зокрема,\(\triangle_h P' Q R'\) h-трикутники\(\triangle_h P Q R\) і h-конгруентні.