12.7: Аксіома IV

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Наступне твердження говорить про те, що Аксіома IV тримає в h-площині.

Претензія $\PageIndex{1}$

У h-площині ми маємо $\triangle_h P Q R \cong \triangle_h P' Q' R'$ якщо і тільки якщо

$Q'P_h' = QP_h,$ $Q'R_h' -QR_h$ і $\measuredangle_h P'Q'R' = \pm \measuredangle PQR$ .

Доказ

Застосовуючи основне спостереження, можна припустити, що $Q$ і $Q'$ збігаються з центром абсолюту; зокрема $Q=Q'$ . В даному випадку

$\measuredangle P' Q R'=\measuredangle_h P' Q R'=\pm\measuredangle_h P Q R=\pm\measuredangle P Q R.$

Так як

$Q P_h=Q P'_h$ і $Q R_h=Q R'_h,$

Лема 12.3.2 означає, що те саме стосується евклідових відстаней; тобто

$Q P=Q P'$ і $Q R=Q R'.$

За SAS відбувається рух евклідової площини, яка посилає $Q$ до себе, $P$ до $P'$ і $R$ до $R'$

Зверніть увагу, що центр абсолюту фіксується відповідним рухом. Звідси випливає, що цей рух дає також рух h-площині; зокрема, $\triangle_h P' Q R'$ h-трикутники $\triangle_h P Q R$ і h-конгруентні.

Претензія12.7.1\PageIndex{1}

Претензія $\PageIndex{1}$