12.4: Аксіома I

Очевидно, що h-площина містить щонайменше дві точки. Тому, щоб показати, що аксіома I тримається в h-площині, нам потрібно показати, що h-відстань, визначена в 12.1, є метрикою на h-площині; тобто умови (a) - (d) у визначенні 1.3.1 утримують для h-відстані.

Наступна заява говорить про те, що h-відстань відповідає умовам (a) та (b)

Претензія$\PageIndex{1}$

З огляду на h-точки$P$ і$Q$, у нас є$PQ_h \ge 0$ і$PQ_h=0$ якщо і тільки якщо$P=Q$.

Доказ

Згідно з Леммою 12.3.1 та основним спостереженням (Теорема 12.3.1), можна припустити, що$Q$ це центр абсолюту. В даному випадку

і тому

Більше того, рівності тримаються якщо і тільки якщо$P=Q$.

Наступне твердження говорить про те, що h-відстань відповідає умові

Претензія$\PageIndex{2}$

Для будь-яких h-точок$P$ і$Q$, у нас є$PQ_h=QP_h$.

Доказ

Дозволяти$A$ і$B$ бути ідеальними точками$(PQ)_h$ і$A,P,Q,B$ з'являються на лінії кола, що містять$(PQ)_h$ в тому ж порядку.

Тоді

$\begin{array} {rcl} {PQ_h} & = & {\ln \dfrac{AQ \cdot BP}{QB \cdot PA} =} \\ {} & = & {=\ln \dfrac{BP \cdot AQ}{PA \cdot QB}=} \\ {} & = & {QP_h} \end{array}$

Наступна заява показує, зокрема, що нерівність трикутника (яка є визначенням 1.3.1d) має значення для$h$ -відстані.

Претензія$\PageIndex{3}$

З огляду на трійку h-точок$P$$Q$, і$R$, ми маємо

Більш того, рівність тримається тоді і тільки якщо$P$$Q$, і$R$ лежать на одній h-лінії в тому ж порядку.

Доказ

Без втрати спільності можна вважати, що$P$ це центр абсолютного і$PQ_h \ge QR_h >0$.

Припустимо, що$\Delta$ позначає h-коло з центром$Q$ і h-радіусом$\rho=QR_h$. $S$$T$Дозволяти і бути точками перетину$(PQ)$ і$\Delta$.

За Лемма 12.3.3,$PQ_h\z\ge QR_h$. Тому можна вважати, що точки$P$,$S$$Q$, і$T$ з'являються на h-лінії в тому ж порядку.

Відповідно до Лемма Лемма 12.3.4,$\Delta$ є евклідовим колом; припустимо, що$\hat Q$ позначає його евклідовий центр. Зверніть увагу, що$\hat Q$ це середина Евкліда$[ST]$.

За нерівністю евклідового трикутника

$$PT = P\hat{Q}+\hat{Q} R \ge PR$$

і рівність тримається тоді і тільки якщо$T=R$.

За Лемма 12.3.2,

$\begin{array} {l} {PT_h = \ln \dfrac{1 + PT}{1 - PT},} \\ {PR_h = \ln \dfrac{1 + PR}{1 - PR}.} \end{array}$

Оскільки функція$f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$ збільшується для$x\in[0,1)$, нерівність 12.4.1 передбачає

$PT_h\ge PR_h$

і рівність тримається тоді і тільки якщо$T=R$.

Нарешті, застосувавши Lemma 12.3.3 знову, ми отримуємо це

$PT_h=PQ_h+QR_h.$

Звідси випливає претензія.