12.3: Допоміжні заяви

Можна порівняти конформну модель з телескопом — це дає можливість побачити h-площину з евклідової площини. Продовжуючи цю аналогію далі, ми можемо сказати, що наступна лема буде використана для націлювання телескопа в будь-яку конкретну точку в h-площині.

Лемма$\PageIndex{1}$

Розглянемо h-площину з одиничною окружністю як абсолютну. $O$Дозволяти бути центром абсолюту і$P$ бути іншою h-точкою. Припустимо, що$P'$ позначає зворотне$P$ в абсолюті.

Потім коло$\Gamma$ з центром$P'$ і радіусом$\dfrac{\sqrt{1-OP^2}}{OP}$ перпендикулярно абсолюту. Більш того,$O$ є зворотним$P$ в$\Gamma$.

Доказ

Випливає з вправи 10.5.2.

Припустимо,$\Gamma$ це лінія кола, яка перпендикулярна до абсолюту. Розглянемо інверсію$X \mapsto X'$ в$\Gamma$, або якщо$\Gamma$ це лінія,$X \mapsto X'$ встановлена як відображення поперек$\Gamma$.

Наступне спостереження говорить про те, що карта$X \mapsto X'$ поважає всі поняття, введені в попередньому розділі. Разом з лемою вище, це означає, що в будь-якій задачі, яка сформульована повністю в h-терміні, ми можемо припустити, що задана h-точка лежить в центрі абсолюту.

Теорема$\PageIndex{1}$

$X \mapsto X'$Описана вище карта являє собою біекцію від h-площини до себе. Причому для будь-яких h-точок$P$$Q$,$R$ таких, що$P\ne Q$ і$Q\ne R$, дотримуються наступні умови:

1. h-лінія$(PQ)_h$, h-half-line$[PQ)_h$ та h-сегмент$[PQ]_h$ перетворюються в$(P'Q')_h$$[P'Q')_h$, і$[P'Q']_h$ відповідно.
2. $\delta(P',Q')=\delta(P,Q)$і$P'Q'_h=PQ_h$.
3. $\measuredangle_h P'Q'R' \equiv -\measuredangle_h PQR$.

Повчально порівнювати це спостереження з пропозицією [prop:reflection].

Доказ

Згідно з теоремою 10.5.1, карта посилає абсолют собі. Зверніть увагу, що точки на$\Gamma$ не рухаються, з цього випливає, що точки всередині абсолюту залишаються всередині після відображення. Звідки$X \mapsto X'$ це біекція від h-площини до себе.

Частина (а) випливає з теореми 10.3.1 та теореми 10.6.1.

Частина (b) випливає з теореми 10.2.1.

Частина (c) випливає з теореми 10.6.1.

Лемма$\PageIndex{2}$

Припустімо, що абсолют є одиничною окружністю з центром$O$. З огляду на h-точку$P$, встановлюють$x=OP$ і$y=OP_h$. Тоді

$y = \ln \dfrac{1 + x}{1 - x}$і$x = \dfrac{e^y - 1}{e^y + 1}.$

Спостерігайте, що згідно з лемою,$OP_h \to \infty$ як$OP \to 1$. Тобто, якщо$P$ наближається до абсолюту в евклідовому сенсі, він тікає до нескінченності в h-сенсі.

Доказ

Зверніть увагу, що h-лінія$(OP)_h$ утворює діаметр абсолютного. Якщо$A$ і$B$ є ідеальними точками, як при визначенні h-відстані, то

$\begin{array} {l} {OA = OB = 1,} \\ {PA = 1 + x,} \\ {PB = 1 - x.} \end{array}$

Зокрема,

$y = \ln \dfrac{AP \cdot BO}{PB \cdot OA} = \ln \dfrac{1 + x}{1 - x}.$

Взявши експоненціальну функцію лівої та правої сторони і застосувавши очевидні маніпуляції алгебри, отримуємо, що

$x=\dfrac{e^y-1}{e^y+1}$.

Лемма$\PageIndex{3}$

Припустімо точки$P$$Q$, і$R$ з'являються на одній h-лінії в тому ж порядку. Тоді

$PQ_h + QR_h = PR_h.$

Доказ

Зверніть увагу, що

$PQ_h + QR_h = PR_h$

еквівалентний

$$\delta (P, Q) \cdot \delta (Q,R) = \delta (P, R).$$

Нехай$A$ і$B$ будуть ідеальними точками$(PQ)_h$. Без втрати спільності можна вважати, що точки$A$,,$P$$Q$$R$, і$B$ з'являються в тому ж порядку на окружній лінії, що містить$(PQ)_h$. Тоді

$\begin{array} {rcl} {\delta (P, Q) \cdot \delta (Q, R)} & = & {\dfrac{AQ \cdot BP}{QB \cdot PA} \cdot \dfrac{AR \cdot BQ}{RB \cdot QA} =} \\ {} & = & {\dfrac{AR \cdot BP}{RB \cdot PA} =} \\ {} & = & {\delta (P, R).} \end{array}$

Звідси випливає 12.3.1.

$P$Дозволяти бути h-точка і$\rho>0$. Безліч усіх h-точок,$Q$$PQ_h=\rho$ таких як h-коло з центром$P$ і h-радіусом$\rho$.

Лемма$\PageIndex{4}$

Будь-яке h-коло - це евклідове коло, яке повністю лежить в h-площині.

Точніше для будь-якої h-точки$P$ і$\rho\ge 0$ є$\hat\rho\ge 0$ і точка$\hat P$ така, що

для будь-якої точки h$Q$.

Причому якщо$O$ це центр абсолюту, то

1. $\hat{O}=O$для будь-яких$\rho$ і
2. $\hat{P} \in (OP)$для будь-якого$P\ne O$.

Доказ

За словами Лемми$\PageIndex{2}$,$OQ_h\z= \rho$ якщо і тільки якщо

Тому локус h-точок$Q$ такий, що$OQ_h= \rho$ є евклідовим кругом, позначають його по$\Delta_{\rho}$.

Якщо$P \ne O$, то за Леммою$\PageIndex{1}$ і основним спостереженням (теоремою$\PageIndex{1}$) відбувається інверсія, яка поважає всі h-поняття і посилає$O \mapsto P$.

$\Delta_{\rho}'$Дозволяти бути зворотним$\Delta_{\rho}$. Так як інверсія зберігає h-відстань,$PQ_h=\rho$ якщо і тільки якщо$Q \in \Delta_{\rho}'$.

Відповідно до теореми 10.3.1,$\Delta_\rho'$ є евклідовим кругом. Нехай$\hat P$ і$\hat\rho$ позначають евклідовий центр і радіус$\Delta_\rho'$.

Нарешті, зверніть увагу, що$\Delta_\rho'$ відображає себе поперек$(OP)$; тобто центр$\hat P$ лежить на$(OP)$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо$P$$\hat P$,, і$O$ знаходяться як в Леммі$\PageIndex{1}$ і$P \ne O$. Покажіть, що$\hat{P} \in [OP]$.

Підказка

Нехай$X$ і$Y$ позначають точки перетинів$(OP)$ і$\Delta_{rho}'$. Розглянемо ізометрія$(OP) \to \mathbb{R}$ така, яка$O$ відповідає 0. Дозволяти$x, y, p$, і$\hat{p}$ позначають дійсне число, відповідне$X, Y, P$, і$\hat{P}$.

Можна припустити, що$p > 0$ і$x < y$. Зверніть увагу, що$\hat{p} = \dfrac{x + y}{2}$ і

$\dfrac{(1 + x) \cdot (1 - p)}{(1 - x) \cdot (1 + p)} = \dfrac{(1 + p) \dot (1 - y)}{(1 - p) \cdot (1 + y)}$.

Залишається показати, що все це має на увазі$0 < \hat{p} < p$.