12.6: Аксіома III

Зауважте, що перша частина Axiom III випливає безпосередньо з визначення міри h-кута, визначеного на сторінці. Залишається показати, що$\measuredangle_h$ задовольняє умовам Аксіома IIiA, Аксіома IIiB і Аксіома IIiC.

Наступні два твердження говорять про те, що$\measuredangle_h$ задовольняє IIiA та IIiB.

Претензія$\PageIndex{1}$

З огляду на h-half-line$[O P)_h$ і$\alpha\in(-\pi,\pi]$, існує унікальна h-half-лінія$[O Q)_h$ така, що$\measuredangle_h P O Q= \alpha$.

Претензія$\PageIndex{2}$

Для будь-яких h-точок$P$$Q$, і$R$ відмінні від точки h$O$, ми маємо

$\measuredangle_h P O Q+\measuredangle_h Q O R \equiv\measuredangle_h P O R.$

Доказ$\PageIndex{1}$ і$\PageIndex{2}$

Застосовуючи основне спостереження, можна припустити, що$O$ це центр абсолюту. У цьому випадку для будь-якої h-точки$P \ne O$ h-half-line$[OP)_h$ є перетином евклідової півлінії$[OP)$ з h-площиною. Звідси претензія$\PageIndex{1}$ і претензія$\PageIndex{2}$ випливають з аксіом Axiom IIiA і Axiom IIiB евклідової площини.

Претензія$\PageIndex{3}$

Функція

є безперервним в будь-якій трійці точок$(P,Q,R)$ таких$Q\ne P$, що$Q\ne R$, і$\measuredangle_h P Q R\ne\pi$.

Доказ

Припустимо, що$O$ позначає центр абсолюту. Можна припустити, що$Q$ відрізняється від$O$.

Припустимо, що$Z$ позначає$Q$ обернене в абсолюті; припустимо, що$\Gamma$ позначає коло перпендикулярно до абсолюту і по центру$Z$. Відповідно до Лемми 12.3.1, точка$O$ є зворотною від$Q$ in$\Gamma$.

Нехай$P'$ і$R'$ позначають інверсії в$\Gamma$ точках$P$ і$R$ відповідно. Відзначимо,$P'$ що точка повністю визначається точками$Q$ і$P$. Більш того, карта$(Q,P)\mapsto P'$ є безперервною в будь-якій парі точок$(Q,P)$ таких, що$Q\ne O$. Те ж саме стосується і карти$(Q,R)\mapsto R'$

Згідно з основним спостереженням

$\measuredangle_h P Q R\equiv -\measuredangle_h P' O R'.$

Оскільки$\measuredangle_h P' O R'=\measuredangle P' O R'$ і карти$(Q,P)\mapsto P'$,$(Q,R)\mapsto R'$ є суцільними, то претензія випливає з відповідної аксіоми евклідової площини.