Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.6: Аксіома III

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59011

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Зауважте, що перша частина Axiom III випливає безпосередньо з визначення міри h-кута, визначеного на сторінці. Залишається показати, що\(\measuredangle_h\) задовольняє умовам Аксіома IIiA, Аксіома IIiB і Аксіома IIiC.

    Наступні два твердження говорять про те, що\(\measuredangle_h\) задовольняє IIiA та IIiB.

    Претензія\(\PageIndex{1}\)

    З огляду на h-half-line\([O P)_h\) і\(\alpha\in(-\pi,\pi]\), існує унікальна h-half-лінія\([O Q)_h\) така, що\(\measuredangle_h P O Q= \alpha\).

    Претензія\(\PageIndex{2}\)

    Для будь-яких h-точок\(P\)\(Q\), і\(R\) відмінні від точки h\(O\), ми маємо

    \(\measuredangle_h P O Q+\measuredangle_h Q O R \equiv\measuredangle_h P O R.\)

    Доказ\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\)

    Застосовуючи основне спостереження, можна припустити, що\(O\) це центр абсолюту. У цьому випадку для будь-якої h-точки\(P \ne O\) h-half-line\([OP)_h\) є перетином евклідової півлінії\([OP)\) з h-площиною. Звідси претензія\(\PageIndex{1}\) і претензія\(\PageIndex{2}\) випливають з аксіом Axiom IIiA і Axiom IIiB евклідової площини.

    Претензія\(\PageIndex{3}\)

    Функція

    є безперервним в будь-якій трійці точок\((P,Q,R)\) таких\(Q\ne P\), що\(Q\ne R\), і\(\measuredangle_h P Q R\ne\pi\).

    Доказ

    Припустимо, що\(O\) позначає центр абсолюту. Можна припустити, що\(Q\) відрізняється від\(O\).

    Припустимо, що\(Z\) позначає\(Q\) обернене в абсолюті; припустимо, що\(\Gamma\) позначає коло перпендикулярно до абсолюту і по центру\(Z\). Відповідно до Лемми 12.3.1, точка\(O\) є зворотною від\(Q\) in\(\Gamma\).

    Нехай\(P'\) і\(R'\) позначають інверсії в\(\Gamma\) точках\(P\) і\(R\) відповідно. Відзначимо,\(P'\) що точка повністю визначається точками\(Q\) і\(P\). Більш того, карта\((Q,P)\mapsto P'\) є безперервною в будь-якій парі точок\((Q,P)\) таких, що\(Q\ne O\). Те ж саме стосується і карти\((Q,R)\mapsto R'\)

    Згідно з основним спостереженням

    \(\measuredangle_h P Q R\equiv -\measuredangle_h P' O R'.\)

    Оскільки\(\measuredangle_h P' O R'=\measuredangle P' O R'\) і карти\((Q,P)\mapsto P'\),\((Q,R)\mapsto R'\) є суцільними, то претензія випливає з відповідної аксіоми евклідової площини.