12.5: Аксіома II

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59017

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Зверніть увагу, що після того, як буде доведено наступне твердження, Axiom II випливає з Слідство 10.5.2.

Претензія\(\PageIndex{1}\)

Підмножина h-площини є h-лінією тоді і лише тоді, коли вона утворює лінію для h-відстані у значенні Визначення 1.5.1.

Доказ

\(\ell\)Дозволяти бути h-line. Застосовуючи основне спостереження (теорема 12.3.1) можна припустити, що\(\ell\) містить центр абсолюту. В даному випадку\(\ell\) відбувається перетин діаметра абсолютної і h-площини. \(A\)\(B\)Дозволяти і бути кінцевими точками діаметра.

Розглянемо карту,\(\iota : \ell \to \mathbb{R}\) визначену як

Зверніть увагу, що\(\iota :\ell\to \mathbb{R}\) це біекція.

Далі, якщо\(X,Y\in \ell\) і точки\(A\),,\(X\)\(Y\), і\(B\) з'являються далі\([AB]\) в тому ж порядку, то

\(\iota(Y)-\iota(X)=\ln \dfrac{AY}{YB}-\ln \dfrac{AX}{XB}=\ln \dfrac{AY\cdot BX}{YB\cdot XB}=XY_h.\)

Доведено, що будь-яка h-лінія є лінією для h-відстані. Зворотне випливає з п.12.4.3.