12.5: Аксіома II

Зверніть увагу, що після того, як буде доведено наступне твердження, Axiom II випливає з Слідство 10.5.2.

Претензія$\PageIndex{1}$

Підмножина h-площини є h-лінією тоді і лише тоді, коли вона утворює лінію для h-відстані у значенні Визначення 1.5.1.

Доказ

$\ell$Дозволяти бути h-line. Застосовуючи основне спостереження (теорема 12.3.1) можна припустити, що$\ell$ містить центр абсолюту. В даному випадку$\ell$ відбувається перетин діаметра абсолютної і h-площини. $A$$B$Дозволяти і бути кінцевими точками діаметра.

Розглянемо карту,$\iota : \ell \to \mathbb{R}$ визначену як

Зверніть увагу, що$\iota :\ell\to \mathbb{R}$ це біекція.

Далі, якщо$X,Y\in \ell$ і точки$A$,,$X$$Y$, і$B$ з'являються далі$[AB]$ в тому ж порядку, то

$\iota(Y)-\iota(X)=\ln \dfrac{AY}{YB}-\ln \dfrac{AX}{XB}=\ln \dfrac{AY\cdot BX}{YB\cdot XB}=XY_h.$

Доведено, що будь-яка h-лінія є лінією для h-відстані. Зворотне випливає з п.12.4.3.