13.9: Затримка та зворотний зв'язок

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62661

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нехай\(f(t) = 0\) для\(t < 0\). Зафіксуйте\(a > 0\) і нехай\(h(t) = f(t - a)\). Отже,\(h(t)\) є відкладена версія сигналу\(f(t)\). Рівняння властивості Лапласа 13.5.8 говорить

\[H(s) = e^{-as} F(s),\]

де\(H\) і\(F\) є перетворення Лапласа\(h\) і\(f\) відповідно.

Тепер, припустимо, у нас є система з системною функцією\(G(s)\). (Знову ж таки, називається системою відкритого контуру.) Як і раніше, може подавати вихід назад через систему. Але, замість того, щоб просто множити вихід на скаляр, ми можемо затримати його також. Це фіксується фактором зворотного зв'язку\(ke^{-as}\).

Системна функція для системи замкнутого циклу є

\[G_{CL} (s) = \dfrac{G}{1 + ke^{-as} G}\]

Зверніть увагу, навіть якщо ви починаєте з раціональної функції, системна функція замкнутого контуру з затримкою не раціональна. Зазвичай він має нескінченну кількість полюсів.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Припустимо\(G(s) = 1\),\(a = 1\) і\(k = 1\) знайдіть полюси\(G_{CL} (s)\).

Рішення

\[G_{CL} (s) = \dfrac{1}{1 + e^{-s}}.\]

Таким чином, полюси відбуваються де\(e^{-s} = -1\), тобто в\(in \pi\), де\(n\) непарне ціле число. На уявній осі існує нескінченна кількість полюсів.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Припустимо\(G(s) = 1\),\(a = 1\) і\(k = 1/2\) знайдіть полюси\(G_{CL} (s)\). Чи стабільна система замкнутого циклу?

Рішення

\[G_{CL} (s) = \dfrac{1}{1 + e^{-s}/2}.\]

Таким чином, полюси відбуваються де\(e^{-s} = -2\), тобто в\(-\log (2) + in\pi\), де\(n\) непарне ціле число. Так як\(-\log (2) < 0\), в лівій півплощині існує нескінченна кількість полюсів. При всіх полюсах в лівій півплощині система стабільна.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Припустимо\(G(s) = 1\),\(a = 1\) і\(k = 2\) знайдіть полюси\(G_{CL} (s)\). Чи стабільна система замкнутого циклу?

Рішення

\[G_{CL} (s) = \dfrac{1}{1 + 2e^{-s}}.\]

Таким чином, полюси відбуваються де\(e^{-s} = -1/2\), тобто в\(\log (2) + in\pi\), де\(n\) непарне ціле число. Так як\(\log (2) > 0\), в правій півплощині існує нескінченна кількість полюсів. З полюсами в правій півплощині система не стійка.

Зауваження

Якщо\(\text{Re} (s)\) досить великий, ми можемо висловити системну функцію.

\[G(s) = \dfrac{1}{1 + k e^{-as}}\]

як геометричний ряд

\[\dfrac{1}{1+ke^{-as}} = 1 - ke^{-as} + k^2 e^{-2as} - k^3 e^{-3as} + \ ...\]

Отже, для введення\(F(s)\), у нас є вихід

\[X(s) = G(s) F(s) = F(s) - ke^{-as} F(s) + k^2 e^{-2as} F(s) - k^3 e^{-3as} F(s) + \ ...\]

Використовуючи формулу зсуву Рівняння Рівняння 13.5.8, ми маємо

\[x(t) = f(t) - kf(t - a) + k^2 f(t - 2a) - k^3 f(t - 3a) + \ ...\]

(Це насправді не нескінченна серія, тому що\(f(t) = 0\) для\(t < 0\).) Якщо вхід обмежений, а\(k < 1\) потім навіть для великих\(t\), ряд обмежується. Таким чином, обмежений вхід дає обмежений вихід —це також те, що мається на увазі під стабільністю. З іншого боку\(k > 1\), якщо, то обмежений вхід може призвести до необмеженого виходу —це нестабільність.