13.1: Короткий вступ до лінійних інваріантних систем часу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62679

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Почнемо з визначення наших термінів.

Сигнал. Сигнал - це будь-яка функція часу.

Системні. Система - це якась машина або процедура, яка приймає один сигнал, як вхід робить щось з ним і виробляє інший сигнал як вихід.

Лінійна система. Лінійна система - це та, яка діє лінійно на входи. Тобто\(f_1 (t)\) і\(f_2 (t)\) є входами в систему з виходами\(y_1 (t)\) і\(y_2 (t)\) відповідно, потім вхід\(f_1 + f_2\) видає вихід\(y_1 + y_2\) і, для будь-якої постійної\(c\), вхід\(cf_1\) видає вихід\(cy_1\).

Це часто формулюється в одному реченні, оскільки вхід\(c_1f_1 + c_2 f_2\) виробляє вихід\(c_1 y_1 + c_2 y_2\), тобто лінійні комбінації входів виробляють лінійну комбінацію відповідних виходів.

Часова незмінність. Припустимо, система приймає вхідний сигнал\(f(t)\) і виробляє вихідний сигнал\(y(t)\). Система називається інваріантної за часом, якщо вхідний сигнал\(g(t) = f(t - a)\) виробляє вихідний сигнал\(y(t - a)\).

LTI. Лінійну інваріантної системи часу ми будемо називати системою LTI.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо диференціальне рівняння постійного коефіцієнта

\[3y'' + 8y' + 7y = f(t)\]

Це рівняння моделює затухаючий гармонічний генератор, скажімо масу на пружині з демпфером, де\(f(t)\) знаходиться сила на масі і\(y(t)\) є її зміщення від рівноваги. Якщо\(f\) розглядати як вхід, так і\(y\) вихід, то це лінійна інваріантна за часом (LTI) система.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Є багато варіацій на цю тему. Наприклад, у нас може бути система LTI

\[3y'' + 8y' + 7y = f'(t)\]

де ми\(f(t)\) називаємо вхідний сигнал і\(y (t)\) вихідний сигнал.