11.2: Дотичні вектори як комплексні числа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62851

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У попередніх класах ви використовували параметризовані криві\(\gamma (t) = (x(t), y(t))\) в\(xy\) -plane. Розглянутий таким чином, тангенс вектор є всього лише похідною:

\[\gamma '(t) = (x' (t), y' (t)).\]

Примітка, як вектор,\((x', y')\) являє собою зміщення. Якщо вектор починається з початку, то кінцева точка знаходиться в\((x', y')\). Більш типово ми малюємо вектор, починаючи з точки\(\gamma (t)\).

Ви також можете використовувати раніше параметризовані криві\(\gamma (t) = x(t) + iy(t)\) в комплексній площині. Розглянутий таким чином, тангенс вектор є всього лише похідною:

\[\gamma '(t) = x' (t) + iy' (t).\]

Повинно бути зрозуміло, що ці уявлення рівнозначні. Вектор\((x', y')\) і комплексне число представляють\(x' + iy'\) одне і те ж зміщення. Крім того, довжина вектора і кут між двома векторами однакові в обох уявленнях.

Мислення дотичних векторів до кривих як комплексних чисел дозволяє нам переосмислювати конформальність в терміні комплексних чисел.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(f(z)\) конформний,\(z_0\) то існує комплексне число,\(c = ae^{i \phi}\) таке, що карта\(f\) множить дотичні вектори на\(z_0\) на\(c\). І навпаки, якщо карта\(f\) множить всі дотичні вектори\(z_0\) на,\(c = ae^{i \phi}\)\(f\) то конформний на\(z_0\).

Доказ: За визначенням\(f\) конформний\(z_0\) означає, що існує кут\(\phi\) і скаляр,\(a > 0\) такий, що карта\(f\) обертає дотичні вектори на на\(z_0\) на\(\phi\) і масштабує їх\(a\). Це саме ефект множення на\(c = ae^{i \phi}\).