7.5: Функції потоку

У всьому, що ми робили вище бідних старих\(\psi\) просто позначений як гармонійний сполучений потенційної функції\(\phi\). Давайте звернемо увагу на нього і розберемося, чому вона називається функцією потоку.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Припустимо, що

\[\Phi = \phi + i\psi\]

є комплексним потенціалом для поля швидкостей\(F\). Потім рідина тече по кривих рівня\(\psi\). Тобто\(F\) є скрізь дотичною до кривих рівня\(\psi\). Криві рівня\(\psi\) називаються обтічними лініями і\(\psi\) називаються функцією потоку.

Доказ

Знову ми вже зробили більшу частину важкого підйому, щоб довести це. \(F\)Оскільки швидкість потоку в кожній точці, потік завжди дотичний до\(F\). Також потрібно пам'ятати, що\(\nabla \phi\) знаходиться перпендикулярно рівню кривих\(\phi\). Отже, ми маємо:

1. Потік паралельний\(F\).
2. \(F = \nabla \phi\), Таким чином, потік ортогональний кривих рівня\(\phi\).
3. Оскільки\(\phi\) і\(\psi\) є гармонічними сполученНЯМИ, криві рівня ортогональні кривим рівня\(\phi\).\(\psi\)

Поєднуючи 2 і 3 ми бачимо, що потік повинен бути вздовж кривих рівня\(\psi\).

Приклади

Ми проілюструємо обтічні лінії в серії прикладів, які починаються з визначення комплексного потенціалу для векторного поля.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Uniform flow

Нехай

\[\Phi (z) = z. \nonumber\]

Знайдіть\(F\) і намалюйте сюжет обтічків. Вкажіть напрямок потоку.

Рішення

Напишіть

\[\Phi = x + iy. \nonumber\]

Так

\[\phi = x \text{ and } F = \nabla \phi = (1, 0), \nonumber\]

який говорить, що потік має рівномірну швидкість і вказує праворуч. У нас також є

\[\psi = y, \nonumber\]

тому обтічні лінії є\(y =\) постійними горизонтальними лініями (рис.\(\PageIndex{1}\)).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Рівномірний потік вправо. (CC BY-NC; Відповідальний)

Зверніть увагу, що ще один спосіб побачити, що потік знаходиться праворуч - перевірити напрямок, в якому потенціал\(\phi\) збільшується. Примітки до теми 5 показують зображення цього складного потенціалу, які показують як обтічні лінії, так і рівнопотенційні лінії.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Linear Source

Нехай

\[\Phi (z) = \log (z). \nonumber\]

Знайдіть\(F\) і намалюйте сюжет обтічків. Вкажіть напрямок потоку.

Рішення

Напишіть

\[\Phi = \log (r) + i \theta.\nonumber\]

Так

\[\phi = \log(r) \text{ and } F = \nabla \phi = (x/r^2, y/r^2),\nonumber\]

який говорить, що потік радіальний і зменшується в швидкості, коли він отримує далі від початку. Поле не визначено в\(z = 0\). У нас також є

\[\psi = \theta,\nonumber\]

так обтічні лінії - це промені від початку (рис.\(\PageIndex{2}\)).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Лінійне джерело: радіальний потік від початку. (CC BY-NC; Відповідальний)

точки застою

Точка стагнації - це точка, де поле швидкості дорівнює 0.

Визначення: Точки стагнації

Якщо\(\Phi\) складний потенціал для поля,\(F\) то точки стагнації\(F = 0\) - це саме ті точки,\(z\) де\(\Phi '(z) = 0\).

Визначення: Доказ

Це зрозуміло, оскільки\(F = (\phi_x, \phi_y)\) і\(\Phi ' = \phi_x - i \phi_y\).

Приклад\(\PageIndex{3}\): Stagnation Points

Намалюйте обтічні лінії та визначте точки стагнації потенціалу\(\Phi (z) = z^2\).

Рішення

(Ми намалювали криві рівня для цього в розділі 5.) У нас є

\[\Phi = (x^2 - y^2) + i2xy.\nonumber\]

Тож обтічні лінії є гіперболами:\(2xy = \) постійними. Оскільки\(\phi = x^2 - y^2\)\(|x|\) збільшується зі збільшенням і зменшується у міру\(|y|\) збільшення, стрілки, які вказують у бік збільшення\(\phi\), такі, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Застій течії: точка застою в\(z = 0\). (CC BY-NC; Відповідальний)

Точки стагнації - це нулі

\[\Phi '(z) = 2z, \nonumber\]

тобто єдина точка застою знаходиться на\(z = 0\).

Точки стагнації також називають критичними точками векторного поля.