Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.4: Комплексні потенціали

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62798

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для цього існують різні способи. Ми почнемо з того, що кожна складна аналітична функція призводить до ірротаційного, нестисливого потоку. Тоді ми підемо назад і побачимо, що всі такі потоки призводять до аналітичної функції. Ми навчимося називати аналітичну функцію комплексним потенціалом потоку.

    Дратівливо, нам доведеться переключити позначення. Тому що\(u\) і\(v\) вже зайняті векторним полем\(F\), ми будемо називати наш складний потенціал

    \[\Phi = \phi + i \psi.\]

    Аналітичні функції дають нам нестисливі, ірротаційні потоки

    \(\Phi (z)\)Дозволяти аналітичної функції на області\(A\). Для\(z = x + iy\) нас пишемо

    \[\Phi (z) = \phi (x, y) + i\psi (x, y).\]

    З цього ми можемо визначити векторне поле

    \[F = \nabla \phi = (\phi _x, \phi _y) =: (u, v),\]

    тут ми маємо на увазі, що\(u\) і\(v\) визначаються\(\phi_x\) і\(\phi_y\).

    З нашої роботи над аналітичними та гармонійними функціями ми можемо скласти перелік властивостей цих функцій.

    1. \(\phi\)і\(\psi\) обидва гармонійні.
    2. Криві рівня\(\phi\) і\(\psi\) є ортогональними.
    3. \(\Phi ' = \phi_x - i \phi_y.\)
    4. \(F\)є розбіжність і завиток вільний (доказ трохи нижче). Тобто аналітична функція\(\Phi\) дала нам нестисливе, ірротаційне векторне поле\(F\).

    Стандартною термінологією\(\phi\) є виклик потенційної функції для векторного поля\(F\). Ми також будемо називати\(\Phi\) комплексну потенційну функцію для\(F\). Функція\(\psi\) буде називатися stream function of\(F\) (назва буде пояснено найближчим часом). Функція\(\Phi '\) буде називатися складною швидкістю.

    \(Proof\). (\(F\)Завиток і розбіжність вільні.) Це легкий наслідок визначення. знаходимо

    \(\text{curl } F = v_x - u_y = \phi_{yx} - \phi_{xy} = 0\)

    \(\text{div } F = u_x + v_y = \phi_{xx} + \phi_{yy} = 0\)(Так як\(\phi\) є гармонійним).

    Ми відкладемо приклади до отримання складного потенціалу з потоку.

    Нестисливі, ірротаційні потоки завжди мають складні потенційні функції

    З технічних причин потрібно додати припущення,\(A\) яке просто пов'язано. Зазвичай це не проблема, оскільки ми часто працюємо локально на диску навколо точки\((x_0, y_0)\).

    Теорема\(\PageIndex{1}\)

    Припустимо,\(F = (u, v)\) це нестисливе, ірротаційне поле на просто пов'язаної області\(A\). Потім існує аналітична функція,\(\Phi\) яка є складною потенційною функцією для\(F\).

    Доказ

    Ми зробили всі важкі підйоми для цього в попередніх темах. Ключ полягає в тому, щоб використовувати властивість,\(\Phi ' = u - iv\) щоб вгадати\(\Phi '\). Працюючи ретельно, визначаємо

    \[g(z) = u - iv\]

    Крок 1: Покажіть, що\(g\) є аналітичним. Тримаючи знаки прямо, рівняння Коші Рімана

    \[u_x = (-v)_y \text{ and } u_y = -(-v)_x = v_x.\]

    Але, це саме рівняння в рівнянні 7.4.8. Таким чином\(g(z)\), є аналітичним.

    Крок 2: Оскільки\(A\) це просто пов'язано, теорема Коші говорить, що\(g(z)\) має антидеривативне\(A\). Називаємо антидеривативом\(\Phi (z)\).

    Крок 3: Покажіть, що\(\Phi (z)\) це складна потенційна функція для\(F\). Це означає, що ми повинні показати, що якщо ми пишемо\(\Phi = \phi + i\psi\), то\(F = \nabla \phi\). Для цього просто розкручуємо визначення.

    \[\begin{array} {lcr} {\Phi ' = \phi_x - i\phi_y} &\ \ \ \ & {\text{(standard formula for } \Phi ')} \\ {\Phi ' = g = u - iv} &\ \ \ \ & {(\text{definition of } \Phi \text{ and } g)} \end{array}\]

    Порівнюючи ці рівняння, отримаємо

    \[\phi_x = u,\ \ \ \ \phi_y = v.\]

    Але це говорить саме про це\(\nabla \phi = F\). КВЕД

    Приклад\(\PageIndex{1}\): Source Fields

    Векторне поле

    \[F = a \left(\dfrac{x}{r^2}, \dfrac{y}{r^2} \right) \nonumber\]

    моделює джерело, що виштовхує воду або 2D електричне поле позитивного заряду на початку. (Якщо ви віддаєте перевагу 3D-модель, це поле нескінченного дроту з рівномірною щільністю заряду вздовж\(z\) -осі.)

    Покажіть, що\(F\) це без завитків і без розбіжностей, і знайдіть свій складний потенціал.

    006 - (Приклад 7.5.1) .svg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Поле швидкості вихідного поля. (CC BY-NC; Відповідальний)

    Ми могли б обчислити безпосередньо, що це без завитків і без розбіжностей від 0. Альтернативним методом є пошук складного потенціалу\(\Phi\). Якщо ми зможемо знайти його, то це покаже,\(F\) що це завиток і розбіжність вільні\(\phi\) і знайти і\(\psi\) все відразу. Якщо такого немає,\(\Phi\) то ми будемо знати, що не\(F\) є і завивкою, і розбіжністю вільними.

    Одним із стандартних методів є використання формули для\(\Phi '\):

    \[\Phi ' = u - iv = a \dfrac{(x - iy)}{r^2} = a \dfrac{\overline{z}}{(\overline{z} z)} = \dfrac{a}{z}.\]

    Це аналітично, і ми маємо

    \[\Phi (z) = a \log (z).\]