Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.3: Фізичні припущення та математичні наслідки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62787

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Це цілий розділ, тому ми почнемо з перерахування математичних властивостей, які випливатимуть з наших припущень про поле швидкості\(F = u + iv\).

    1. \(F = F(x, y)\)є функцією\(x, y\), але не часу\(t\) (стаціонарної).
    2. \(\text{div } F = 0\)(Розбіжність вільна).
    3. \(\text{curl } F = 0\)(Завиток вільний).

    Фізичні припущення

    Ми зробимо деякі стандартні фізичні припущення. Вони не стосуються всіх потоків, але вони стосуються великої кількості з них, і вони є гарною відправною точкою для розуміння потоку рідини в цілому. Більш важливі до 18.04, це потоки, які легко сприйнятливі до складного аналізу.

    Ось припущення про витрату, ми обговоримо їх далі нижче:

    1. Потік стаціонарний.
    2. Потік нестисливий.
    3. Потік ірротаційний.

    Стаціонарність ми вже обговорювали раніше, тому давайте тепер обговоримо два інших властивості.

    нестисливість

    Будемо вважати на всьому протязі, що рідина нестислива. Це означає, що щільність рідини постійна по всій області. Математично це говорить про те, що поле швидкості\(F\) повинно бути вільним від розбіжності, тобто для\(F = (u, v)\):

    \[\text{div } F \equiv \nabla \cdot F = u_x + v_y = 0.\]

    Щоб зрозуміти це, нагадаємо, що дивергенція вимірює нескінченно малий потік поля. Якщо потік не дорівнює нулю в точці,\((x_0, y_0)\) то поблизу цієї точки поле виглядає так:

    004 - (7.4.1) .SVG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Зліва: Дивергентне поле:\(\text{div} F > 0\), праворуч: Збіжне поле:\(\text{div} F < 0\). (CC BY-NC; Відповідальний)

    Якщо поле розходиться або сходиться, то щільність повинна змінюватися! Тобто потік не є нестисливим.

    Як потік рідини, зображення лівої руки представляє джерело, а права - раковина. В електростатиці, де\(F\) виражає електричне поле, ліва картина - це поле позитивної щільності заряду, а права - негативна щільність заряду.

    Якщо ви віддаєте перевагу нескінченно малому поясненню, ми можемо згадати теорему Гріна у формі потоку. Він говорить, що для простої замкнутої кривої\(C\) і поля\(F = (u, v)\), диференційованого на і всередині\(C\), потік\(F\) наскрізного\(C\) задовольняє

    \[\text{Flux of } F \text{ across } C = \int_C F \cdot n\ ds = \int \int_R \text{div } F\ dx \ dy,\]

    де\(R\) знаходиться регіон всередині\(C\). Тепер, припустимо\(\text{div } F (x_0, y_0) > 0\), що, то\(\text{div } F(x, y) > 0\) для всіх\((x, y)\) близьких до\((x_0, y_0)\). Отже, вибирайте невелику криву\(C\) навколо\((x_0, y_0)\) такої, що\(\text{div } F > 0\) на і всередині\(C\). За теоремою Гріна

    \[\text{Flux of } F \text{ through } C = \int \int_R \text{div } F \ dx \ dy > 0.\]

    Зрозуміло, що якщо з області є чистий потік, щільність зменшується, а потік не є нестисливим. Той самий аргумент буде триматися, якщо\(\text{div } F(x_0, y_0) < 0\). Зроблено висновок, що нестисливе еквівалентно вільній розбіжності.

    Ірротаційний потік

    Будемо вважати, що рідина ірротаційна. Це означає, що в нескінченно малих вихорів немає\(A\). Математично це говорить про те, що поле швидкості\(F\) повинно бути вільним, тобто для\(F = (u, v)\):

    \[\text{curl } F \equiv \nabla \times F = v_x - u_y = 0.\]

    Щоб зрозуміти це, нагадаємо, що локон вимірює нескінченно мале обертання поля. Фізично це означає, що маленьке весло, розміщене в потоці, не буде крутитися в міру руху з потоком.

    Приклади

    Приклад\(\PageIndex{1}\): Eddies

    Вихровий - ірротаційний! Вихровий з прикладу 7.3.2 є ірротаційним. Вихору на початку немає,\(A = C - \{0\}\) і ви можете легко перевірити, що\(\text{curl }F = 0\) скрізь\(A\). Це фізично неможливо: якби ви поставили в потік невелике весло колесо, воно б подорожувало навколо походження, не обертаючись!

    Приклад\(\PageIndex{2}\): Shearing Flows

    Потоки зсуву обертальні. Ось приклад векторного поля, яке має обертання, хоча і не обов'язково завихрення.

    005 - (7.4.2) .SVG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Стрижка потоку. коробка обертається, тому що струм швидше вгорі. (CC BY-NC; Відповідальний)

    Поле\(F = (ay, 0)\) горизонтальне, але\(\text{curl } F = -a \ne 0\). Оскільки верх рухається швидше, ніж нижній, він буде обертати квадратну частку рідини. Знак мінус говорить, що посилка буде обертатися за годинниковою стрілкою! Це називається стрижним потоком. Вода на одному рівні буде стригтися від рівня над ним.

    Резюме

    (A) Стаціонарний:\(F\) залежить від\(x, y\), але не\(t\), тобто,

    \[F(x, y) = (u(x, y), v(x, y)). \nonumber\]

    (B) Нестисливий: розбіжність вільна:

    \[\text{div } F = u_x + v_y = 0, \text{ i.e. } u_x = -v_y. \nonumber\]

    (C) Ірротаційний: завиток вільний:

    \[\text{curl } F = v_x - u_y = 0, \text{ i.e., } u_y = v_x. \nonumber\]

    Для подальшого використання ми ставимо останні дві рівності в нумерованому рівнянні:

    \[u_x = -v_y \text{ and } u_y = v_x \nonumber\]

    Вони виглядають майже як рівняння Коші-Рімана (зі знаковими відмінностями)!