6.3: Позначення Del

Ось швидке нагадування про використання позначень\(\nabla\). Для функції\(u(x, y)\) та векторного поля\(F(x, y) = (u, v)\) ми маємо

\(\begin{array} {rcl} {(\text{i})} & & {\nabla = (\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y})} \\ {(\text{ii})} & & {\text{grad} u = \nabla u = (u_x, u_y)} \\ {(\text{iii})} & & {\text{curl} F = \nabla \times F = (v_x - u_y)} \\ {(\text{iv})} & & {\text{div} F = \nabla \cdot F = u_x + v_y} \\ {(\text{v})} & & {\text{div grad } u = \nabla \cdot \nabla u = \nabla ^2 u = u_{xx} + u_{yy}} \\ {(\text{vi})} & & {\text{curl grad } u = \nabla \times \nabla u = 0} \\ {(\text{vii})} & & {\text{div curl } F = \nabla \cdot \nabla \times F = 0} \end{array}\)

Аналітичні функції мають гармонійні фігури

Зв'язок між аналітичною та гармонійною функціями дуже міцний. Багато в чому він відображає зв'язок між синусом\(e^z\) і косинусом.

Нехай\(z = x + iy\) і пишуть\(f(z) = u(x, y) + iv (x, y).\)

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) аналітичний на області,\(A\) то обидва\(u\) і\(v\) є гармонійними функціями на\(A\).

Доказ

Це простий наслідок рівнянь Коші-Рімана. Так як у\(u_x = v_y\) нас є

\[u_{xx} = v_{yx}.\]

Так само\(u_y = -v_x\) має на увазі

\[u_{yy} = -v_{xy}.\]

Так як у\(v_{xy} = v_{yx}\) нас є

\[u_{xx} + u_{yy} = v_{yx} - v_{xy} = 0.\]

Тому\(u\) гармонійний. Ми можемо впоратися\(v\) аналогічно.

Примітка

Оскільки ми знаємо, що аналітична функція нескінченно диференційовна, ми знаємо\(u\) і\(v\) маємо необхідні дві неперервні часткові похідні. Це також гарантує, що змішані часткові згодні, тобто\(v_{xy} = v_{yx}\).

Для завершення тісного зв'язку між аналітичною та гармонійною функціями показано, що будь-яка хар-монічна функція є реальною частиною аналітичної функції.

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Якщо\(u(x, y)\) є гармонійним на просто пов'язаній області\(A\), то\(u\) є реальною частиною аналітичної функції\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\).

Доказ

Це схоже на наш доказ того, що аналітична функція має антидериватив. Спочатку ми придумуємо кандидата,\(f(z)\) а потім показуємо, що він має потрібні нам властивості. Ось деталі, розбиті на етапи 1-4.

1. Знайдіть кандидата, зателефонуйте йому\(g(z)\), бо\(f'(z)\):
   Якщо у нас був аналітик\(f\) з\(f = u + iv\), то Коші-Ріман каже, що\(f' = u_x - iu_y\). Отже, давайте визначимо
   \[g = u_x - iu_y.\]
   Це наш кандидат на\(f'\).
2. Показати,\(g(z)\) що аналітично:
   Пишіть\(g = \phi + i\psi\), де\(\phi = u_x\) і\(\psi = -u_y\). Перевірка рівнянь Коші-Рімана у нас\(u\) є
   \[\begin{bmatrix} \phi_x & \phi_y \\ \psi_x & \psi_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{xx} & u_{xy} \\ -u_{yx} & -u_{yy} \end{bmatrix}\]
   Оскільки є гармонійним ми знаємо\(u_{xx} = -u_{yy}\), так що\(\phi_x = \psi_y\). Зрозуміло, що\(\phi_y = -\psi_x\). Таким чином\(g\) задовольняє рівняння Коші-Рімана, тому воно є аналітичним.
3. \(f\)Дозволяти бути антипохідним від\(g\):
   Оскільки просто\(A\) пов'язано наше твердження теореми Коші гарантує, що\(g(z)\) має антипохідне в\(A\). Нам потрібно буде трохи метушитися, щоб отримати константу інтеграції точно правильно. Отже, виберіть базову точку\(z_0\) в\(A\). Визначте антипохідне\(g(z)\) від від
   \[f(z) = \int_{z_0}^{z} g(z)\ dz + u(x_0, y_0).\]
   (Знову ж таки, за теоремою Коші цей інтеграл може бути вздовж будь-якого шляху\(A\) від\(z_0\) до\(z\).)
4. Покажіть, що справжня частина\(f\) є\(u\).
   Давайте напишемо\(f = U + iV\). Отже,\(f'(z) = U_x - i U_y\). Під
   \[f'(z) = g(z) = u_x - iu_y.\]
   конструкцією це означає перші частки\(U\) і\(u\) однакові, тому\(U\) і\(u\) відрізняються максимум постійною. Однак, також по будівництву,
   \[f(z_0) = u(x_0, y_0) = U(x_0, y_0) + iV(x_0, y_0),\]
   Так,\(U(x_0, y_0) = u(x_0, y_0)\) (і\(V(x_0, y_0) = 0\)). Оскільки вони згодні в один момент, ми повинні мати\(U = u\), тобто реальна частина\(f\) - це те\(u\), що ми хотіли довести.

Важливий наслідок

\(u\)нескінченно диференційований.

Доказ

За визначенням нам потрібна лише гармонійна функція,\(u\) щоб мати безперервні другі частки. Оскільки аналітика\(f\) нескінченно диференційована, ми показали, що так є\(u\)!

гармонійні сполучення

Визначення: Гармонічні сполучення

Якщо\(u\) і\(v\) є реальною і уявною частинами аналітичної функції, то ми говоримо\(u\) і\(v\) є гармонійними сполученнями.

Примітка

Якщо\(f(z) = u + iv\) аналітичний, то так і є\(if(z) = -v + iu\). Отже, якщо\(u\) і\(v\) є гармонійними сполученнями і так є\(u\) і\(-v\).