6.3: Позначення Del

Ось швидке нагадування про використання позначень$\nabla$. Для функції$u(x, y)$ та векторного поля$F(x, y) = (u, v)$ ми маємо

$\begin{array} {rcl} {(\text{i})} & & {\nabla = (\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y})} \\ {(\text{ii})} & & {\text{grad} u = \nabla u = (u_x, u_y)} \\ {(\text{iii})} & & {\text{curl} F = \nabla \times F = (v_x - u_y)} \\ {(\text{iv})} & & {\text{div} F = \nabla \cdot F = u_x + v_y} \\ {(\text{v})} & & {\text{div grad } u = \nabla \cdot \nabla u = \nabla ^2 u = u_{xx} + u_{yy}} \\ {(\text{vi})} & & {\text{curl grad } u = \nabla \times \nabla u = 0} \\ {(\text{vii})} & & {\text{div curl } F = \nabla \cdot \nabla \times F = 0} \end{array}$

Аналітичні функції мають гармонійні фігури

Зв'язок між аналітичною та гармонійною функціями дуже міцний. Багато в чому він відображає зв'язок між синусом$e^z$ і косинусом.

Нехай$z = x + iy$ і пишуть$f(z) = u(x, y) + iv (x, y).$

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ аналітичний на області,$A$ то обидва$u$ і$v$ є гармонійними функціями на$A$.

Доказ

Це простий наслідок рівнянь Коші-Рімана. Так як у$u_x = v_y$ нас є

$$u_{xx} = v_{yx}.$$

Так само$u_y = -v_x$ має на увазі

$$u_{yy} = -v_{xy}.$$

Так як у$v_{xy} = v_{yx}$ нас є

$$u_{xx} + u_{yy} = v_{yx} - v_{xy} = 0.$$

Тому$u$ гармонійний. Ми можемо впоратися$v$ аналогічно.

Примітка

Оскільки ми знаємо, що аналітична функція нескінченно диференційовна, ми знаємо$u$ і$v$ маємо необхідні дві неперервні часткові похідні. Це також гарантує, що змішані часткові згодні, тобто$v_{xy} = v_{yx}$.

Для завершення тісного зв'язку між аналітичною та гармонійною функціями показано, що будь-яка хар-монічна функція є реальною частиною аналітичної функції.

Теорема$\PageIndex{2}$

Якщо$u(x, y)$ є гармонійним на просто пов'язаній області$A$, то$u$ є реальною частиною аналітичної функції$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$.

Доказ

Це схоже на наш доказ того, що аналітична функція має антидериватив. Спочатку ми придумуємо кандидата,$f(z)$ а потім показуємо, що він має потрібні нам властивості. Ось деталі, розбиті на етапи 1-4.

1. Знайдіть кандидата, зателефонуйте йому$g(z)$, бо$f'(z)$:
   Якщо у нас був аналітик$f$ з$f = u + iv$, то Коші-Ріман каже, що$f' = u_x - iu_y$. Отже, давайте визначимо
   $$g = u_x - iu_y.$$
   Це наш кандидат на$f'$.
2. Показати,$g(z)$ що аналітично:
   Пишіть$g = \phi + i\psi$, де$\phi = u_x$ і$\psi = -u_y$. Перевірка рівнянь Коші-Рімана у нас$u$ є
   $$\begin{bmatrix} \phi_x & \phi_y \\ \psi_x & \psi_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{xx} & u_{xy} \\ -u_{yx} & -u_{yy} \end{bmatrix}$$
   Оскільки є гармонійним ми знаємо$u_{xx} = -u_{yy}$, так що$\phi_x = \psi_y$. Зрозуміло, що$\phi_y = -\psi_x$. Таким чином$g$ задовольняє рівняння Коші-Рімана, тому воно є аналітичним.
3. $f$Дозволяти бути антипохідним від$g$:
   Оскільки просто$A$ пов'язано наше твердження теореми Коші гарантує, що$g(z)$ має антипохідне в$A$. Нам потрібно буде трохи метушитися, щоб отримати константу інтеграції точно правильно. Отже, виберіть базову точку$z_0$ в$A$. Визначте антипохідне$g(z)$ від від
   $$f(z) = \int_{z_0}^{z} g(z)\ dz + u(x_0, y_0).$$
   (Знову ж таки, за теоремою Коші цей інтеграл може бути вздовж будь-якого шляху$A$ від$z_0$ до$z$.)
4. Покажіть, що справжня частина$f$ є$u$.
   Давайте напишемо$f = U + iV$. Отже,$f'(z) = U_x - i U_y$. Під
   $$f'(z) = g(z) = u_x - iu_y.$$
   конструкцією це означає перші частки$U$ і$u$ однакові, тому$U$ і$u$ відрізняються максимум постійною. Однак, також по будівництву,
   $$f(z_0) = u(x_0, y_0) = U(x_0, y_0) + iV(x_0, y_0),$$
   Так,$U(x_0, y_0) = u(x_0, y_0)$ (і$V(x_0, y_0) = 0$). Оскільки вони згодні в один момент, ми повинні мати$U = u$, тобто реальна частина$f$ - це те$u$, що ми хотіли довести.

Важливий наслідок

$u$нескінченно диференційований.

Доказ

За визначенням нам потрібна лише гармонійна функція,$u$ щоб мати безперервні другі частки. Оскільки аналітика$f$ нескінченно диференційована, ми показали, що так є$u$!

гармонійні сполучення

Визначення: Гармонічні сполучення

Якщо$u$ і$v$ є реальною і уявною частинами аналітичної функції, то ми говоримо$u$ і$v$ є гармонійними сполученнями.

Примітка

Якщо$f(z) = u + iv$ аналітичний, то так і є$if(z) = -v + iu$. Отже, якщо$u$ і$v$ є гармонійними сполученнями і так є$u$ і$-v$.