6.2: Гармонічні функції

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6: Гармонічні функції
- 6.3: Позначення Del

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Почнемо з визначення гармонійних функцій і розглядаємо деякі їх властивості.

Визначення: Гармонічні функції

Функція $u(x, y)$ називається гармонічною, якщо вона двічі безперервно диференційована і задовольняє наступному рівнянню з частинними похідними:

$\nabla ^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0. \label{6.2.1}$

Рівняння\ ref {6.2.1} називається рівнянням Лапласа. Таким чином, функція гармонічна, якщо вона задовольняє рівняння Лапласа. Оператор $\nabla ^2$ називається лапласиан і $\nabla ^2 u$ називається лапласіан $u$ .