6: Гармонічні функції
Гармонічні функції з'являються регулярно і відіграють фундаментальну роль у математиці, фізиці та техніці. У цій темі ми дізнаємося визначення, деякі ключові властивості і їх щільне з'єднання з комплексним аналізом. Ключовий зв'язок з 18.04 полягає в тому, що як реальна, так і уявна частини аналітичних функцій є гармонійними. Ми побачимо, що це простий наслідок рівнянь Коші - Рімана. У наступній темі ми розглянемо деякі додатки до гідродинаміки.
- 6.2: Гармонічні функції
- Почнемо з визначення гармонійних функцій і розглядаємо деякі їх властивості.
- 6.3: Позначення Del
- Ось швидке нагадування про використання позначення.
- 6.4: Другий доказ того, що u і v є гармонічними
- Цей факт, що u і v є гармонічними, досить важливий, що ми дамо другий доказ, використовуючи інтегральну формулу Коші. Однією з переваг цього доказу є те, що він нагадує нам, що інтегральна формула Коші може перенести загальне питання про аналітичні функції на питання про функцію 1/z. Почнемо з легкого для виведення факту.