6: Гармонічні функції
- Page ID
- 62592
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Гармонічні функції з'являються регулярно і відіграють фундаментальну роль у математиці, фізиці та техніці. У цій темі ми дізнаємося визначення, деякі ключові властивості і їх щільне з'єднання з комплексним аналізом. Ключовий зв'язок з 18.04 полягає в тому, що як реальна, так і уявна частини аналітичних функцій є гармонійними. Ми побачимо, що це простий наслідок рівнянь Коші - Рімана. У наступній темі ми розглянемо деякі додатки до гідродинаміки.
- 6.2: Гармонічні функції
- Почнемо з визначення гармонійних функцій і розглядаємо деякі їх властивості.
- 6.3: Позначення Del
- Ось швидке нагадування про використання позначення.
- 6.4: Другий доказ того, що u і v є гармонічними
- Цей факт, що u і v є гармонічними, досить важливий, що ми дамо другий доказ, використовуючи інтегральну формулу Коші. Однією з переваг цього доказу є те, що він нагадує нам, що інтегральна формула Коші може перенести загальне питання про аналітичні функції на питання про функцію 1/z. Почнемо з легкого для виведення факту.