Search

4.5: Теорема Стокса
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/04%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8/4.05%3A_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0
Поки єдиними типами лінійних інтегралів, які ми обговорювали, є ті, що вздовж кривих в $\mathbb{R}^ 2$ . Але визначення та властивості, які були розглянуті в розділах 4.1 і 4.2 можуть бути легко розши...Поки єдиними типами лінійних інтегралів, які ми обговорювали, є ті, що вздовж кривих в $\mathbb{R}^ 2$ . Але визначення та властивості, які були розглянуті в розділах 4.1 і 4.2 можуть бути легко розширені, щоб включити функції трьох змінних, так що тепер ми можемо обговорити лінійні інтеграли вздовж кривих в $\mathbb{R}^ 3$ .
7.3: Лінійні інтеграли
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%A5%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%85%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%85%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%B3%D0%B0_(Ellgen)/07%3A_%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B6%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD/7.03%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8
Значення відмінності між точними та неточними диференціальними виразами потрапляє у фокус, коли ми використовуємо диференціал, df, щоб знайти, як змінюється величина, f, коли система переходить від ст...Значення відмінності між точними та неточними диференціальними виразами потрапляє у фокус, коли ми використовуємо диференціал, df, щоб знайти, як змінюється величина, f, коли система переходить від стану, визначеного (x₂, y₂), до стану, визначеного (x₂, y₂).
9.5: Лінійні інтеграли
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%A5%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%85%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%B2_%D1%85%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%97_(Levitus)/09%3A_%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D0%B8/9.05%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8
\[\int\limits_{path}{\left(-\dfrac{RT}{V^2}dV+\dfrac{R}{V} dT\right)}=\int\limits_{path 1}\left(-\dfrac{RT}{V^2}dV+\dfrac{R}{V} dT\right)+\int\limits_{path 2}\left(-\dfrac{RT}{V^2}dV+\dfrac{R}{V} dT\r... $\int\limits_{path}{\left(-\dfrac{RT}{V^2}dV+\dfrac{R}{V} dT\right)}=\int\limits_{path 1}\left(-\dfrac{RT}{V^2}dV+\dfrac{R}{V} dT\right)+\int\limits_{path 2}\left(-\dfrac{RT}{V^2}dV+\dfrac{R}{V} dT\right) \nonumber$
2.4: Лінійні інтеграли
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/02%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F/2.04%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8
Ми вже бачили один тип інтеграла вздовж кривих. Зараз ми побачимо секунду, яка, виявляється, має значні зв'язки з консервативними векторними полями. Вона виникла з поняття «робота» в класичній механіц...Ми вже бачили один тип інтеграла вздовж кривих. Зараз ми побачимо секунду, яка, виявляється, має значні зв'язки з консервативними векторними полями. Вона виникла з поняття «робота» в класичній механіці.
4.1: Лінійні інтеграли
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/04%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8/4.01%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8
У цьому розділі ми побачимо, як визначити інтеграл функції (або реальної, або векторної) двох змінних над загальним шляхом (тобто кривою) в $\mathbb{R}^2$ . Це визначення буде мотивовано фізичним поня...У цьому розділі ми побачимо, як визначити інтеграл функції (або реальної, або векторної) двох змінних над загальним шляхом (тобто кривою) в $\mathbb{R}^2$ . Це визначення буде мотивовано фізичним поняттям про працю. Почнемо з реальних функцій двох змінних.
16.2: Лінійні інтеграли
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/16%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F/16.02%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8
Лінійні інтеграли мають безліч застосувань в техніці та фізиці. Вони також дозволяють зробити кілька корисних узагальнень фундаментальної теореми числення. Причому, вони тісно пов'язані з властивостям...Лінійні інтеграли мають безліч застосувань в техніці та фізиці. Вони також дозволяють зробити кілька корисних узагальнень фундаментальної теореми числення. Причому, вони тісно пов'язані з властивостями векторних полів, як ми побачимо.
3.6: Лінійні інтеграли
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/03%3A_%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D1%8F%D0%B4)/3.06%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8
$\dfrac{df(\gamma (t))}{dt} = \nabla f(\gamma (t)) \cdot \gamma '(t) = F(\gamma (t)) \cdot y'(t).$ \[\begin{array} {rcl} {\int_{\gamma} F \cdot dr} & = & {\int_a^b F (\gamma (t)) \cdot y' (t)\ dt} \... $\dfrac{df(\gamma (t))}{dt} = \nabla f(\gamma (t)) \cdot \gamma '(t) = F(\gamma (t)) \cdot y'(t).$ $\begin{array} {rcl} {\int_{\gamma} F \cdot dr} & = & {\int_a^b F (\gamma (t)) \cdot y' (t)\ dt} \\ {} & = & {\int_a^b \dfrac{df(\gamma (t))}{dt} dt} \\ {} & = & {f(\gamma (b)) - f(\gamma (a))} \\ {} & = & {f(P) - f(Q)} \end{array}$ Якщо $F$ векторне поле є градієнтним полем, з $F = \nabla f$ , то ми викликаємо $f$ потенційну функцію для $F$ .