3.2: Параметризовані криві

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми часто використовуємо грецьку літерну гамму для параметризованої кривої, тобто

$\gamma (t) = (x(t), y(t)). \nonumber$

Ми думаємо про це як рухому точку, що простежується крива в площині. Вектор дотичної

$\gamma '(t) = (x'(t), y'(t)) \nonumber$

дотична до кривої в точці $(x (t), y(t))$ . Його довжина $|\gamma '(t)|$ - це миттєва швидкість рухомої точки.

Приклад $\PageIndex{1}$

Параметризуйте пряму лінію від точки $(x_0, y_0)$ до $(x_1, y_1)$ .

Рішення

Завжди існує багато параметризацій заданої кривої. Стандартним для прямих є

$\gamma (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + t(x_1 - x_0, y_1 - y_0), \text{ with } 0 \le t \le 1. \nonumber$

Параметризуємо коло радіуса $r$ навколо точки $(x_0, y_0)$ .

Рішення

Знову ж таки, є багато параметризацій. Ось стандартний з окружністю, пройденим в напрямку проти годинникової стрілки:

$\gamma (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + r(\cos (t), \sin (t)), \text{ with } 0 \le t \le 2\pi. \nonumber$