3.2: Параметризовані криві

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62734

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми часто використовуємо грецьку літерну гамму для параметризованої кривої, тобто

\[\gamma (t) = (x(t), y(t)). \nonumber\]

Ми думаємо про це як рухому точку, що простежується крива в площині. Вектор дотичної

\[\gamma '(t) = (x'(t), y'(t)) \nonumber\]

дотична до кривої в точці\((x (t), y(t))\). Його довжина\(|\gamma '(t)|\) - це миттєва швидкість рухомої точки.

001 - (3.3 - Параметризована крива) .svg — Рисунок\(\PageIndex{1}\): Параметризована крива\(\gamma (t)\) з деякими дотичними векторами\(\gamma '(t)\). (CC BY-NC; Уміти Кая)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Параметризуйте пряму лінію від точки\((x_0, y_0)\) до\((x_1, y_1)\).

Рішення

Завжди існує багато параметризацій заданої кривої. Стандартним для прямих є

\[\gamma (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + t(x_1 - x_0, y_1 - y_0), \text{ with } 0 \le t \le 1. \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Параметризуємо коло радіуса\(r\) навколо точки\((x_0, y_0)\).

Рішення

Знову ж таки, є багато параметризацій. Ось стандартний з окружністю, пройденим в напрямку проти годинникової стрілки:

\[\gamma (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + r(\cos (t), \sin (t)), \text{ with } 0 \le t \le 2\pi. \nonumber\]

002 - (3,3- коло) .svg — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Лінія від\((x_0, y_0)\) to (\(x_1, y_1\)) і обведіть навколо\((x_0, y_0)\). (CC BY-NC; Уміти Кая)