2.4: Точка на нескінченності

За визначенням розширена комплексна площина$= C \cup \{\infty\}$. Тобто у нас є одна точка на нескінченності, про яку слід думати в обмежуючому сенсі, описаному наступним чином.

Послідовність точок$\{z_n\}$ переходить до нескінченності, якщо$|z_n|$ йде до нескінченності. Ця «точка на нескінченності» наближається в будь-якому напрямку, в якому ми йдемо. Всі послідовності, показані на малюнку$\PageIndex{1}$, зростають, тому всі вони йдуть до однієї (тієї ж) «точки на нескінченності».

Малюнок$\PageIndex{1}$: Різні послідовності все йдуть до нескінченності. (CC BY-NC; Відповідаючи)

Якщо ми намалюємо велике коло навколо 0 в площині, то область за межами цього кола називаємо околицем нескінченності (рис.$\PageIndex{2}$).

Малюнок$\PageIndex{2}$: Затінена область за межами кола радіуса$R$ - це околиця нескінченності.

Межі за участю нескінчен

Ключовою ідеєю є$1/\infty = 0$. Під цим ми маємо на увазі

$$\lim_{z \to \infty} \dfrac{1}{z} = 0$$

Потім ми маємо такі факти:

• $\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} 1/f(z) = 0$
• $\lim_{z \to \infty} = w_0 \Leftrightarrow \lim_{z \to 0} f(1/z) = w_0$
• $\lim_{z \to \infty} = \infty \Leftrightarrow \lim_{z \to 0} \dfrac{1}{f(1/z)} = 0$

Приклад$\PageIndex{1}$

$\lim_{z \to \infty} e^z$не визначено, оскільки воно має різні значення, якщо ми йдемо до нескінченності в різних напрямках, наприклад, у нас є$e^z = e^x e^{iy}$ і

$\lim_{x \to -\infty} e^x e^{iy} = 0$
$\lim_{x \to +\infty} e^x e^{iy} = \infty$
$\lim_{y \to +\infty} e^x e^{iy}$не визначено, оскільки$x$ є постійним, тому$e^x e^{iy}$ петлі по колу нескінченно довго.

Приклад$\PageIndex{2}$

Показати$\lim_{z \to \infty} z^n = \infty$ (для$n$ натурального цілого числа).

Рішення

Нам потрібно показати, що$|z^n|$ стає великим, як$|z|$ стає великим. Пишіть$z = Re^{i \theta}$, потім

$$|z^n| = |R^n e^{in \theta}| = R^n = |z|^n \nonumber$$

Стереографічна проекція зі сфери Рімана

Одним із способів візуалізації точки$\infty$ є використання (одиниці) сфери Рімана та пов'язаної стереографічної проекції. $\PageIndex{4}$На малюнку зображена сфера, екватором якої є одиничне коло в комплексній площині.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Стереографічна проекція від сфери до площини. (CC BY-NC; Відповідаючи)

Стереографічна проекція від сфери до площини здійснюється шляхом проведення січної лінії від північного полюса$N$ через точку на сфері і бачачи, де вона перетинає площину. Це дає відповідність 1-1 між точкою на сфері$P$ і точкою в комплексній площині$z$. Легко побачити показати, що формула стереографічної проекції є

$$P = (a, b, c) \mapsto z = \dfrac{a}{1 - c} + i \dfrac{b}{1 - c}.$$

Точка$N = (0, 0, 1)$ особлива, січні лінії від$N$ наскрізного$P$ стають дотичними лініями до сфери, на$N$ якій ніколи не перетинаються площину. $N$Вважаємо точку на нескінченності.

На малюнку вище область поза великим колом через точку$z$ є сусідством нескінченності. Він відповідає маленькій круглої ковпачку навколо$N$ на сфері. Тобто маленька шапка навколо$N$ - це сусідство точки на нескінченності на сфері!

$\PageIndex{4}$На малюнку показаний ще один поширений варіант стереографічної проекції. На цьому малюнку сфера сидить своїм південним полюсом біля початку. Ми все ще проектуємо, використовуючи січні лінії з північного полюса.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Альтернативна стереографічна проекція від сфери до площини. (CC BY-NC; Відповідаючи)