2.10: Додаток - Межі
- Page ID
- 62573
Інтуїтивна ідея за межами відносно проста. Тим не менш, в 19 столітті математики були стурбовані відсутністю строгості, тому вони поставили обмеження та аналіз на тверду основу з ретельними визначеннями та доказами. У цьому додатку ми даємо вам формальне визначення та пов'язуємо його з інтуїтивною ідеєю. У 18.04 нам не знадобиться цей рівень формальності. Тим не менш, приємно знати, що основи міцні, і деяким студентам це може здатися цікавим.
Межі послідовностей
Інтуїтивно, ми говоримо, що послідовність складних чисел\(z_1, z_2, ...\) сходиться до\(a\) якщо для великих\(n\),\(z_n\) дійсно близько до\(a\). Щоб бути трохи точніше, якщо ми поставимо невелике коло радіуса\(\epsilon\) навколо,\(a\) то в кінцевому підсумку послідовність повинна залишатися всередині кола. Давайте звернемося до цього як послідовність, яку захоплює коло. Це має бути вірним для будь-якого кола, незалежно від того, наскільки маленьким, хоча послідовність може зайняти більше часу, щоб «захопити» меншим колом.
Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Послідовність нанизується вздовж кривої, показаної прямуючи до\(a\). Чим більше коло радіуса\(\epsilon_2\) захоплює послідовність до часу\(n = 47\), менший коло не захоплює його до\(n = 59\). Зверніть увагу, що\(z_{25}\) знаходиться всередині більшого кола, але оскільки пізніші точки знаходяться поза колом, ми не говоримо, що послідовність захоплена\(n = 25\).
Послідовність\(z_1, z_2, z_3, ...\) сходиться до значення,\(a\) якщо для кожного\(\epsilon > 0\) є число\(N_{\epsilon}\) таке, що\(|z_n - a| < \epsilon\) для всіх\(n > N_{\epsilon}\). Ми пишемо це як
\[\lim_{n \to \infty} z_n = a.\]
Знову ж таки, визначення просто говорить, що в кінцевому підсумку послідовність знаходиться в межах\(\epsilon\)\(a\), незалежно від того, наскільки малі ви вибрали\(\epsilon\).
Показати, що послідовність\(z_n = (1/n + i)^2\) має межу -1.
Рішення
Це зрозуміло, тому що\(1/n \to 0\). Для практики давайте фразовуємо це з точки зору епсилонів: враховуючи, що\(\epsilon > 0\) ми повинні вибрати\(N_{\epsilon}\) таке, що
\[|z_n - (-1)| < \epsilon \text{ for all } n > N_{\epsilon} \nonumber\]
Одна стратегія полягає в тому, щоб подивитися\(|z_n + 1|\) і побачити, що\(N_{\epsilon}\) повинно бути. У нас є
\[|z_n - (-1)| = \left|(\dfrac{1}{n} + i)^2 + 1\right| = \left|\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2i}{n}\right| < \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n} \nonumber\]
Отже, все, що нам потрібно зробити, це вибрати досить\(N_{\epsilon}\) великий, що
\[\dfrac{1}{N_{\epsilon}^2} + \dfrac{2}{N_{\epsilon}} < \epsilon \nonumber \]
Оскільки це можна чітко зробити, ми це довели\(z_n \to i\).
Це було явно більше роботи, ніж ми хочемо зробити для кожного ліміту. На щастя, більшу частину часу ми можемо застосовувати загальні правила для визначення ліміту, не вдаючись до епсилонів!
Зауваження
- У 18.04 ми зможемо визначити межу більшості конкретних прикладів послідовностей. Формальне визначення потрібне при абстрактній роботі з послідовностями.
- Для математиків\(\epsilon\) це один з перехідних символів для невеликого числа. Видатний і досить ексцентричний математик Пол Ердос називав дітей епсилонами, як у «Як справи епсілони?»
- Термін «захоплений колом» не є загальним вживанням, але він захоплює те, що відбувається.
\(\lim_{z \to z_0} f(z)\)
Іноді нам потрібні межі форми\(\lim_{z \to z_0} f(z) = a\). Знову ж таки, інтуїтивний сенс зрозумілий: як\(z\) наближається,\(z_0\) ми повинні бачити,\(f(z)\) наблизитися до\(a\). Ось технічне визначення
Припустимо,\(f(z)\) визначається на проколотому диску\(0 < |z - z_0| < r\) навколо\(z_0\). Ми говоримо,\(\lim_{z \to z_0} f(z) = a\) якщо для кожного\(\epsilon > 0\) знайдеться\(\delta\) таке, що
\(|f(z) - a| < \epsilon\)всякий раз\(0 < |z - z_0| < \delta\)
Це говорить саме про те, що як\(z\) стає ближче (всередині\(\delta\)) до\(z_0\) нас\(f(z)\) є близьким (з\(\epsilon\)) до\(a\). Так як\(\epsilon\) можна зробити так мало, як ми хочемо,\(f(z)\) треба йти\(a\).
Зауваження
- Використання проколотого диска (також званого віддаленим сусідством)\(f(z)\) означає, що не потрібно визначати при\(z_0\) і, якщо він є, то\(f(z_0)\) не обов'язково дорівнює\(a\). Якщо\(f(z_0) = a\) тоді ми говоримо,\(f\) що безперервний в\(z_0\).
- Попросіть будь-якого математика заповнити фразу «Для кожного\(\epsilon\)», і шанси на те, що вони відповідуть «є\(\delta\)...»
Зв'язок між межами послідовностей і меж функцій
Ось еквівалентний спосіб визначення меж функцій: межа,\(\lim_{z \to z_0} f(z) = a\) якщо для кожної послідовності точок\(\{z_n\}\) з лімітом\(z_0\) послідовність\(\{f(z_n)\}\) має обмеження\(a\).