2.10: Додаток - Межі

Інтуїтивна ідея за межами відносно проста. Тим не менш, в 19 столітті математики були стурбовані відсутністю строгості, тому вони поставили обмеження та аналіз на тверду основу з ретельними визначеннями та доказами. У цьому додатку ми даємо вам формальне визначення та пов'язуємо його з інтуїтивною ідеєю. У 18.04 нам не знадобиться цей рівень формальності. Тим не менш, приємно знати, що основи міцні, і деяким студентам це може здатися цікавим.

Межі послідовностей

Інтуїтивно, ми говоримо, що послідовність складних чисел$z_1, z_2, ...$ сходиться до$a$ якщо для великих$n$,$z_n$ дійсно близько до$a$. Щоб бути трохи точніше, якщо ми поставимо невелике коло радіуса$\epsilon$ навколо,$a$ то в кінцевому підсумку послідовність повинна залишатися всередині кола. Давайте звернемося до цього як послідовність, яку захоплює коло. Це має бути вірним для будь-якого кола, незалежно від того, наскільки маленьким, хоча послідовність може зайняти більше часу, щоб «захопити» меншим колом.

Це проілюстровано на малюнку$\PageIndex{1}$. Послідовність нанизується вздовж кривої, показаної прямуючи до$a$. Чим більше коло радіуса$\epsilon_2$ захоплює послідовність до часу$n = 47$, менший коло не захоплює його до$n = 59$. Зверніть увагу, що$z_{25}$ знаходиться всередині більшого кола, але оскільки пізніші точки знаходяться поза колом, ми не говоримо, що послідовність захоплена$n = 25$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Послідовність точок, що сходяться до$a$. (CC BY-NC; Відповідальний)

Визначення

Послідовність$z_1, z_2, z_3, ...$ сходиться до значення,$a$ якщо для кожного$\epsilon > 0$ є число$N_{\epsilon}$ таке, що$|z_n - a| < \epsilon$ для всіх$n > N_{\epsilon}$. Ми пишемо це як

$$\lim_{n \to \infty} z_n = a.$$

Знову ж таки, визначення просто говорить, що в кінцевому підсумку послідовність знаходиться в межах$\epsilon$$a$, незалежно від того, наскільки малі ви вибрали$\epsilon$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Показати, що послідовність$z_n = (1/n + i)^2$ має межу -1.

Рішення

Це зрозуміло, тому що$1/n \to 0$. Для практики давайте фразовуємо це з точки зору епсилонів: враховуючи, що$\epsilon > 0$ ми повинні вибрати$N_{\epsilon}$ таке, що

$$|z_n - (-1)| < \epsilon \text{ for all } n > N_{\epsilon} \nonumber$$

Одна стратегія полягає в тому, щоб подивитися$|z_n + 1|$ і побачити, що$N_{\epsilon}$ повинно бути. У нас є

$$|z_n - (-1)| = \left|(\dfrac{1}{n} + i)^2 + 1\right| = \left|\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2i}{n}\right| < \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n} \nonumber$$

Отже, все, що нам потрібно зробити, це вибрати досить$N_{\epsilon}$ великий, що

$$\dfrac{1}{N_{\epsilon}^2} + \dfrac{2}{N_{\epsilon}} < \epsilon \nonumber$$

Оскільки це можна чітко зробити, ми це довели$z_n \to i$.

Це було явно більше роботи, ніж ми хочемо зробити для кожного ліміту. На щастя, більшу частину часу ми можемо застосовувати загальні правила для визначення ліміту, не вдаючись до епсилонів!

Зауваження

1. У 18.04 ми зможемо визначити межу більшості конкретних прикладів послідовностей. Формальне визначення потрібне при абстрактній роботі з послідовностями.
2. Для математиків$\epsilon$ це один з перехідних символів для невеликого числа. Видатний і досить ексцентричний математик Пол Ердос називав дітей епсилонами, як у «Як справи епсілони?»
3. Термін «захоплений колом» не є загальним вживанням, але він захоплює те, що відбувається.

$\lim_{z \to z_0} f(z)$

Іноді нам потрібні межі форми$\lim_{z \to z_0} f(z) = a$. Знову ж таки, інтуїтивний сенс зрозумілий: як$z$ наближається,$z_0$ ми повинні бачити,$f(z)$ наблизитися до$a$. Ось технічне визначення

Визначення

Припустимо,$f(z)$ визначається на проколотому диску$0 < |z - z_0| < r$ навколо$z_0$. Ми говоримо,$\lim_{z \to z_0} f(z) = a$ якщо для кожного$\epsilon > 0$ знайдеться$\delta$ таке, що

$|f(z) - a| < \epsilon$всякий раз$0 < |z - z_0| < \delta$

Це говорить саме про те, що як$z$ стає ближче (всередині$\delta$) до$z_0$ нас$f(z)$ є близьким (з$\epsilon$) до$a$. Так як$\epsilon$ можна зробити так мало, як ми хочемо,$f(z)$ треба йти$a$.

Зауваження

1. Використання проколотого диска (також званого віддаленим сусідством)$f(z)$ означає, що не потрібно визначати при$z_0$ і, якщо він є, то$f(z_0)$ не обов'язково дорівнює$a$. Якщо$f(z_0) = a$ тоді ми говоримо,$f$ що безперервний в$z_0$.
2. Попросіть будь-якого математика заповнити фразу «Для кожного$\epsilon$», і шанси на те, що вони відповідуть «є$\delta$...»

Зв'язок між межами послідовностей і меж функцій

Ось еквівалентний спосіб визначення меж функцій: межа,$\lim_{z \to z_0} f(z) = a$ якщо для кожної послідовності точок$\{z_n\}$ з лімітом$z_0$ послідовність$\{f(z_n)\}$ має обмеження$a$.